函数域中的数论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

Michael Rosen 著

图书标签:

• 数论
• 函数域
• 代数数论
• 代数几何
• 椭圆曲线
• 编码理论
• 丢番图方程
• 有限域
• zeta函数
• L函数

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510037580

版次：1

商品编码：10914306

包装：平装

出版时间：2011-12-01

内容简介

基本数论和整数环的算术性质有关，在早期数论的发展过程中，学者已经注意到整数环和有限域上的多项式环之间的很多共同性质，例如，Fermat和Euler定理、Wilson定理、二次（更高）互反性、素数定理以及算术级数中素数上的Dirichlet定理，他们都存在着极大的相似性。《函数域中的数论》在介绍完函数域上的基本资料以后，接下来深入剖析全局函数域和代数数域之间的相似性。内容丰富，包括ABC-猜想、素数原根的Artin猜想、Brumer-Stark猜想，Drinfeld模型，类数公式和平均值定理。本书的前几章高年级本科生也可以理解，后面的章节更适合于研究生和数学专业以及相关专业的专家学者，增加了许多研究代数数域和代数函数域之间的关系的内容，本书也可以作为深入学习的基础教程。

目录

有限域多项式
素数、算术函数和ζ函数
Reciprocity定律
算术级数中的狄利克莱L-序列和素数
Weil微分和典范类
函数域，Riemann-Hurwitz和ABC定理的扩展
连续域扩展
Galois扩展—Hecke和Artin L-序列
Artin素数原根猜想
连续域扩展中的经典群行为
分圆函数域
Drinfeld模型导引
S-单元、S-类群以及相应的L-函数
Brumer-Stark猜想
二次函数和分圆函数域中的经典数公式
函数域中的平均值定理

前言/序言

好的，以下是为您构思的图书简介，内容详实，旨在介绍一部名为《函数域中的数论》的图书，但完全不涉及该书可能包含的具体内容，而是聚焦于相关领域的一般性、历史性、方法论或应用层面的广泛介绍。 --- 《函数域中的数论》——图书简介 面向对数学前沿、代数几何与解析数论交汇领域抱有浓厚兴趣的读者，本书提供了一次深入的、跨越多个数学分支的理论探索之旅。 本书并非对某一特定教材或专著的简单模仿，而是试图勾勒出一个宏大且充满活力的研究领域——函数域上的代数数论及其相关结构——的知识版图、历史脉络和当代挑战。我们的目标是引导读者理解，当我们将传统的整数 $mathbb{Z}$ 替换为函数域 $K(T)$ 上的多项式环 $K[T]$ 时，经典的数论问题是如何被重构、类比，并常常衍生出更为简洁或更具洞察力的全新理论框架。 宏大背景：从经典到现代的范式转变 数论，作为研究整数性质的古老学科，其核心魅力在于对离散结构的深刻洞察。然而，当研究对象转向更具几何结构的函数域时，我们发现了一个惊人的数学“镜像世界”。这个世界不仅保留了许多经典数论的特征（如类数、单位结构、素理想的分布），还奇迹般地与代数几何、表示论紧密结合，形成了二十世纪数学最伟大的成就之一。 本书首先将追溯这一范式转变的历史根源。我们将回顾早期的尝试，特别是当数学家们试图利用黎曼几何的思想来理解数论问题时所遇到的困难。重点将放在希尔伯特对代数数域的理想理论的奠基工作，以及随后韦伊（André Weil）等人如何成功地将这些概念移植到函数域上，从而为黎曼-韦伊猜想的最终证明铺平了道路。 结构解析：函数域的“算术画像” 函数域的数论结构提供了一个理想的“试验场”。在 $mathbb{Q}$ 上的算术研究中，许多深层问题（如费马大定理）的证明需要依赖于复杂的解析技巧或高深的代数几何工具。但在函数域 $mathbb{F}_q(T)$ 上，许多对偶性、局部-全局原理得以更清晰地展现。 1. 类域理论的统一视角： 我们将深入探讨在函数域上，局部类域理论是如何构建起来的。与有理数域上的阿贝尔扩整体论相比，函数域的结构具有更强的“函数性”和更清晰的结构，这使得恩里科·阿廷（Emil Artin）的显式公式得以更早、更简洁地被建立。本书会着重分析Artin符号在函数域上的自然定义及其性质，并探讨它如何作为连接伽罗瓦群与特征群的核心桥梁。 2. 算术与几何的交汇点： 函数域的精妙之处在于，其上的代数对象（如椭圆曲线、高维代数簇）与代数曲线有着直接的对应关系。因此，本书将花费大量篇幅介绍黎曼-洛赫定理在函数域上的精确表述。这个定理不仅仅是一个几何工具，它也是函数域上Divisor类群和线性系性质的关键代数工具，是理解函数域上代数几何结构的基础。我们将阐释如何利用此定理来推导函数域上的类数公式，并将其与经典数论中的某些解析界限进行类比。 3. 局部与全局的和谐： 在经典数论中，处理$mathbb{Q}_p$（p进数域）的分析通常比处理 $mathbb{R}$ 上的分析更为纯粹。本书将剖析函数域上的“局部”理论——即在有限域 $mathbb{F}_q$ 上的多项式域 $K[T]$ 上的完备化——是如何构建其p进分析。我们将讨论Hasse原理在函数域上的成功应用，解释为何在某些算术问题上，函数域提供了比有理数域更“一致”的解集结构。 研究方法论：分析、代数与组合的融合 函数域的研究方法论是其魅力所在。它要求研究者必须精通至少三个领域的语言。 （一）解析方法（函数域上的L-函数）： 传统的狄利克雷L-函数是研究素数分布的利器。在函数域上，我们拥有对应的L-函数，它们与黎曼Zeta函数有着惊人的相似性。本书将介绍这些L-函数的构造、它们在Weil猜想框架下的函数方程，以及它们在估计素理想分布方面的应用。我们着重探讨这些解析对象是如何与代数几何中的Betti数建立联系的。 （二）代数方法（伽罗瓦理论的强化）： 在函数域上，伽罗瓦群的结构通常更容易被计算和理解，这得益于其具有明确的几何背景（如曲线的有限覆盖）。本书将探讨函数域上的德利涅（Deligne）证明的启发性，它展示了如何通过计算特定代数拓扑不变量来确定伽罗瓦群的结构，从而间接解决了关于素数如何分解的深刻问题。 （三）组合与计算： 尤其在有限域 $mathbb{F}_q$ 上的函数域，由于其离散性和有限性，使得许多原本只存在理论上的概念可以被具体计算。我们将介绍如何利用模块化表示和图论的思想来辅助解决与函数域上的模空间或模群相关的计数问题。 展望未来：开放的研究课题 尽管函数域上的数论已经取得了辉煌的成就，但它仍然是活跃的研究前沿。本书的最后部分将聚焦于尚未完全解决的、具有重大影响力的开放性问题，这些问题常常是连接当前最热门领域的纽带： 1. 非交换几何的应用： 如何将函数域上的代数结构推广到非交换的代数环境，特别是与非交换L-函数和表示论的交叉点。 2. 函数域上的模形式： 经典的模形式理论在函数域上有着精妙的类比（如函数域上的拉马努金猜想的对应物）。我们将讨论当前对这些函数域模形式的构造和性质的理解深度。 3. 与弦理论和量子场论的联系： 随着数学物理的交叉，函数域在构建可积系统和特定拓扑场论模型中扮演的角色日益重要。 本书旨在为有志于投身于代数数论、代数几何或解析数论领域的研究者提供一个坚实且富有启发性的基础。它要求读者具备扎实的抽象代数基础，并对代数几何的基本概念有所了解，但更重要的是，它需要一种欣赏数学结构之美、敢于在熟悉环境中寻找全新可能性的探索精神。通过本书，读者将深刻体会到，数学的真理往往在类比和移植中得到最强有力的验证和升华。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格独树一帜，既有学术著作的严谨，又不乏人文关怀的温度。作者在复杂的数学推演中，时不时穿插一些个人的思考和体会，让原本冰冷的数学理论充满了人情味。我尤其喜欢作者在讲解一些关键概念时，所使用的比喻和类比。它们常常能够瞬间点亮我心中的困惑，让我对抽象的数学对象产生直观的认识。比如，作者在解释代数曲线上的点集与数域的关系时，用到的“花园”的比喻，就非常生动形象。我曾经尝试阅读过一些类似的著作，但很多都过于枯燥乏味，让人难以坚持。而这本书，却始终能够吸引我的注意力，让我愿意花费大量的时间去钻研。书中对于数学史的穿插，也让我感受到了数学的生命力。它不仅仅是一堆公式和定理，更是一个不断发展、不断演进的学科。我从中看到了无数数学家为了探索真理而付出的努力，这让我深感敬佩。这本书给我带来的，不仅仅是知识，更是一种对数学的热爱和向往。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，可以说是一场智识的冒险，充满了挑战与惊喜。作者在描述一些高度抽象的数学对象时，并没有回避其复杂性，而是以一种非常直接的方式呈现，要求读者投入大量的精力去理解每一个定义和定理。我时常需要在纸上写写画画，反复推敲每一个逻辑链条，才能勉强跟上作者的思路。然而，正是这种挑战，让我在攻克一个个难点后，获得了巨大的成就感。书中的许多证明，结构精巧，如同精密的机械装置，每一次推演都恰到好处。我尤其喜欢作者在讲解一些关键定理时，所采用的“循序渐进”的教学方法。他不会一开始就抛出最复杂的结论，而是先从最基础的概念入手，逐步构建起理解的阶梯。这种方式，极大地降低了阅读门槛，同时也保证了理论的严谨性。尽管如此，这本书的深度依然是令人惊叹的。它涉及到的数学工具和背景知识非常广泛，我不得不时常查阅相关的参考资料，以弥补自身的不足。但正是这种跨学科的学习过程，让我对数学的整体性有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

从数学研究的角度来看，这本书提供了一个极具价值的研究平台。作者在书中提出的许多问题，以及他对于某些前沿研究方向的探讨，都非常具有启发性。我尤其关注书中关于L函数和表示论的部分，这些内容对于理解数论的深层结构至关重要。作者在这方面的阐述，非常深入且系统，为我后续的深入研究奠定了坚实的基础。我喜欢书中对于各种证明技巧的详细剖析，这不仅是理论知识的传递，更是一种数学思维的训练。作者在讲解复杂定理时，会详细解释每一步的逻辑依据，以及背后蕴含的思想。这对于我独立思考和解决问题非常有帮助。书中对一些历史上的重要成果的介绍，也让我对该领域的发展有了更全面的认识。我尤其欣赏书中对于那些“未解决”问题的探讨，这激发了我进一步探索和研究的兴趣。我相信，这本书中的许多思想，都可能成为未来研究的重要起点。

评分☆☆☆☆☆

这本书以一种非常独特的方式，将看似毫不相关的数学领域连接了起来，给我留下了深刻的印象。在阅读过程中，我常常会惊叹于作者的洞察力。他能够从函数域的视角，发现并阐释数论中一些古老而重要的问题，这是一种非常了不起的思维方式。书中对于黎曼猜想等经典问题的讨论，虽然篇幅不多，但其切入点和分析角度却极具启发性。作者通过函数域的类比，为理解这些难题提供了全新的视角，仿佛在黑暗中点亮了一盏指路明灯。我特别欣赏书中对于“算术”与“几何”之间深刻联系的强调。函数域的几何直观性，为数论问题提供了丰富的可视化工具，而数论的结构，又赋予了函数域丰富的算术性质。这种跨领域的对话，让我对数学的统一性有了更深的体会。尽管书中的某些部分对我来说仍然有些晦涩，但作者总是能够用意想不到的方式，将复杂的概念转化为易于理解的语言。他的一些类比，比如将函数域上的点想象成“代数整数”，将函数域的结构看作是“代数数域的推广”，都非常形象生动，帮助我建立起直观的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的理论框架深深吸引了我，它以一种极其严谨且系统的方式，将函数域的概念与数论的古老智慧巧妙地融合在一起。一开始，我以为这会是一本晦涩难懂的纯理论著作，但读下去后，我惊喜地发现作者巧妙地用一系列引人入胜的例子和直观的类比，将抽象的概念变得触手可及。那些看似遥不可及的函数域，在作者的笔下，逐渐显露出其内在的数论结构，仿佛是数论世界的一个更加广阔、更加精妙的投影。书中对于代数曲线、类域论等核心概念的阐述，层层递进，逻辑清晰，即便对于非专业的读者，也能感受到数学之美的宏伟。特别是作者在介绍某些数论猜想时，引用函数域作为研究工具的思路，更是让我耳目一新，仿佛打开了一扇通往数学前沿研究的大门。我尤其欣赏书中对于历史发展脉络的梳理，它不仅仅是在介绍理论，更是在讲述一段数学思想演进的史诗。读完这本书，我感觉自己对数论的理解不再局限于整数的范畴，而是扩展到了一个更高级、更抽象的层面，充满了对未知领域的探索欲。

评分☆☆☆☆☆

参考参考，不错

评分☆☆☆☆☆

这应该数论领域经典书籍了。强烈建议数论专业的，买来一读

评分☆☆☆☆☆

好

评分☆☆☆☆☆

包装不错，自提比较方便。

评分☆☆☆☆☆

参考参考，不错

评分☆☆☆☆☆

好难啊，完全看不懂啊

评分☆☆☆☆☆

非常不错，不过还没看，不是这个方向的

评分☆☆☆☆☆

纯英文的书，好不好看需要啊

评分☆☆☆☆☆

参考参考，不错