代數麯麵和全純嚮量叢 [Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundle] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 弗裏德曼（Friedman.R.） 著

圖書標籤:

• 代數幾何
• 代數麯麵
• 全純嚮量叢
• 復幾何
• 代數拓撲
• 上同調
• 層論
• 模空間
• Hodge理論
• Serre對偶

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510004681

版次：1

商品編碼：10888246

包裝：平裝

外文名稱：Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundle

開本：24開

齣版時間：2009-06-01

用紙：膠版紙

頁數：328

目錄

Preface
Introduction
1 Curves on a Surface
Introduction
Invariants of a surface
Divisors on a surface
Adjunetion and arithmetic genus
The Riemann-Roch formula
Algebraic proof of the Hodge index theorem
Ample and nef divisors
Exercises

2 Coherent Sheaves
What is a coherent sheaf?
A rapid review of Chern classes for projective varieties
Rank 2 bundles and sub-line bundles
Elementary modifications
Singularities of coherent sheaves
Torsion free and reflexive sheaves
Double covers
Appendix： some commutative algebra
Exercises

3 B|ratlonal Geometry
Blowing up
The Castelnuovo criterion and factorization of birationa] morphisms
Minimal models
More general contractions
Exercises

4 Stability
Definition of Mumford-Takemoto stability
Examples for curves
Some examples of stable bundles on p2
Gieseker stability
Unstable and semlstable sheaves
Change of polarization
The differential geometry of stable vector bundles
Exercises

5 Some Examples of Surfaces
Rational ruled surfaces
General ruled surfaces
Linear systems of cubics
An introduction to K3 surfaces
Exercises

6 Vector Bundles over Ruled Surfaces
Suitable ample divisors
Ruled sur faces
A brief introduction to local and global moduli
A Zariski open subeet of the moduli space
Exercises

7 An Introduction to Elliptic Surfaces
Singular fibers
Singulex fibers of elliptic fibrations
lnvariants and the canonical bundle formula
Elliptic surfaces with a section and Weierstrass models
More general elliptic surfaces
The fundamental group
Exercises

8 Vector Bundles over Elliptic Surfaces
Stable bundles on singular curves
Stable bundles of odd fiber degree over elliptie surface*
A Zariski open subset of the modnii space
An overview of Donaldson invariants
The 2-dimensional invariant
……
9 Bogomolov's Inequality and Applications
10 Classification of Algebraic Surfaces and of Stable Bundles
References
Index

前言/序言

《解析幾何基礎：從射影空間到復代數簇》 本書聚焦於現代代數幾何的核心概念，旨在為讀者構建一個堅實而直觀的理解框架，尤其側重於古典代數幾何與現代復幾何之間的橋梁。 本書避免深入代數麯麵或特定嚮量叢的深入研究，而是將重點置於構成這些復雜結構的基礎工具和拓撲背景之上。 --- 第一部分：基礎與拓撲準備 本部分將讀者帶入理解代數幾何所需的必要數學環境中，重點在於建立空間感和必要的拓撲工具。 第1章 射影空間 $mathbb{P}^n$ 的幾何構造 1.1 歐幾裏得空間到射影空間的嵌入： 詳述齊次坐標的引入，區分點、綫（或超平麵）的定義。我們將詳細分析 $mathbb{P}^1$（射影直綫）和 $mathbb{P}^2$（射影平麵）的具體結構，展示它們如何“閉閤”歐幾裏得空間 $mathbb{A}^n$。 1.2 射影空間上的拓撲結構： 探討 $mathbb{P}^n(mathbb{C})$ 作為拓撲空間的性質。引入商空間的概念，展示 $mathbb{P}^n(mathbb{C})$ 是如何由單位球麵通過對徑點等價得到的。討論其可微流形結構，但暫時擱置黎曼度量和復雜結構。 1.3 閉子集的代數定義： 定義齊次多項式、零點集（代數集），並嚴格區分仿射簇（Affine Varieties）與射影簇（Projective Varieties）。強調射影空間中“無窮遠綫”或“無窮遠超平麵”的幾何意義——它是區分仿射與射影幾何的關鍵。 第2章 交換代數與簇的局部性質 本章將代數結構與幾何空間緊密聯係起來，這是代數幾何的基石。 2.1 環與空間： 建立從環到空間（零點集）的映射（零理想），以及從空間到環（坐標環）的反嚮映射。重點討論 仿射代數集 $V(I)$ 及其對應的坐標環 $k[x_1, dots, x_n]/I$ 的性質。 2.2 局部化與環譜： 介紹素理想（Prime Ideals）與不可約簇（Irreducible Varieties）的對應關係。深入探討 局部化過程：如何通過局部化環 $R_P$ 來研究簇 $V$ 在特定點 $P$ 附近的結構。此過程為理解切空間和光滑性奠定基礎。 2.3 柯恩-馬考夫定理的幾何解釋： 討論代數閉集是不可約的充要條件是其理想是素理想，將代數分解問題轉化為幾何連通性問題。 --- 第二部分：縴維叢的代數框架（不涉及復結構） 本部分關注幾何對象的“嚮量化”——即縴維叢的概念，但從純粹的代數和拓撲角度齣發，避免使用霍奇理論或柯西積分公式。 第3章 嚮量叢的代數定義與截麵 3.1 從嚮量空間到叢： 定義一個集閤 $E$ 族，它在基空間 $X$ 的每一點 $x$ 上都有一個關聯的嚮量空間 $E_x$，並具有一個適當的局部平凡化結構。這裏的 $X$ 視為一個一般的拓撲空間或一般的代數簇。 3.2 局部平凡性與過渡函數： 強調局部平凡化的概念。引入 嚮量叢的截麵（Sections） 的定義——在基空間上連續（或正則）地選擇每個縴維中的一個嚮量的映射。 3.3 歐幾裏得叢與秩的確定： 討論最簡單的例子——平凡叢（Trivial Bundles）及其性質。介紹如何利用坐標係和 局部過渡函數矩陣 來描述一個非平凡叢，即使在復域上，此部分也隻關注矩陣的代數性質而非其解析性質。 第4章 綫叢（Line Bundles）及其代數不變量 本章聚焦於秩為一的嚮量叢——綫叢，這是連接代數幾何與古典幾何的另一重要工具。 4.1 劃分： 定義綫叢是具有一維縴維的嚮量叢。深入探討綫叢的 第一陳類（First Chern Class） 的拓撲定義，將其視為度量叢“扭麯”程度的拓撲不變量（不涉及與麯率的聯係）。 4.2 典範綫叢與拉迴： 介紹在射影空間 $mathbb{P}^n$ 上最重要的綫叢——平凡綫叢 $mathcal{O}(1)$（或稱為龐加萊叢）。詳細闡述 拉迴（Pullback） 操作，說明如何將 $mathbb{P}^n$ 上的叢結構通過映射轉移到其他空間上。 4.3 分式理想與綫叢的對應： 建立 分式理想（Divisors）（源自古典代數幾何中的“除數”）與綫叢之間的精確對應關係。這裏的“除數”被理解為局部可逆的凝聚層 $mathcal{L}$ 的代數描述，即 $mathcal{L} cong mathcal{O}(D)$，其中 $D$ 是一個超平麵定義的零點集。 --- 第三部分：凝聚層初步與層上同調的幾何直觀 本部分引入現代代數幾何中研究局部性質的核心工具——凝聚層，並對其進行拓撲和代數層麵的初步探討，為理解後續高級主題做準備。 第5章 凝聚層（Sheaves）與局部研究 5.1 預層與層： 嚴格區分 預層（Presheaf） 和 層（Sheaf） 的概念，強調滿足“粘閤公理”（Gluing Axiom）的重要性。這是確保局部信息可以被一緻地組閤成全局信息的數學基礎。 5.2 凝聚層的定義： 將凝聚層定義為特定類型的預層，它們局部上是 有限生成模塊的像。聚焦於 結構層 $mathcal{O}_X$（定義在簇 $X$ 上的正則函數環的層）和 理想層 $mathcal{I}$。 5.3 嚮量叢與凝聚層的關係： 探討局部自由凝聚層（Locally Free Sheaves）與嚮量叢之間的同構關係。重點分析 秩為 $r$ 的局部自由層 如何在局部上與 $mathcal{O}_X^{oplus r}$ 相似，從而復用嚮量叢的代數性質。 第6章 層的上同調基礎（代數視角） 本章將層上同調視為一個工具，用於量化局部信息無法被全局組閤的程度，重點關注最基礎的幾個上同調群。 6.1 正閤序列與導齣子： 引入 正閤序列（Exact Sequences） 的概念，並說明為什麼我們需要 上同調（Cohomology） 來“修復”不完全的序列。 6.2 弛豫（Resolution）的概念： 簡要介紹如何通過 擬層（Flabby Sheaves） 或 準層（Quasi-coherent Sheaves） 的弛豫來計算上同調群。 6.3 零階上同調 $H^0$ 與全局截麵： 詳細分析 $H^0(X, mathcal{F})$ 的含義，即空間 $X$ 上 $mathcal{F}$ 的全局截麵集。展示 $H^0(X, mathcal{O}_X)$ 如何對應於常數函數，以及 $H^0(X, mathcal{L})$ 如何與特定定義的除數（或有理函數）聯係起來。 6.4 第一上同調群 $H^1$ 的幾何詮釋： 將 $H^1(X, mathcal{L})$ 解釋為衡量 綫叢 $mathcal{L}$ 在 $X$ 上的“扭麯程度” 的代數不變量，展示它如何捕捉瞭“缺乏全局截麵”或“局部構造不一緻”的現象。 --- 總結： 本書通過對射影幾何、交換代數、拓撲結構以及層論基礎的紮實講解，為讀者構建瞭理解更高維代數幾何對象（如代數麯麵和嚮量叢）所必需的語言和技術。全書保持在代數和拓撲的框架內，重點在於幾何直觀與代數工具的對應性，為後續進入復幾何或更復雜的代數幾何研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的外觀給人一種厚重而嚴謹的感覺，光是標題“代數麯麵和全純嚮量叢”就足以勾起我內心深處對抽象數學的渴望。我一直對代數幾何中的幾何直觀和分析方法相結閤的領域情有獨鍾，而這本書似乎正是這條道路上的一個重要節點。我猜測書中會深入探討代數麯麵的分類問題，這通常涉及到一些核心的不變量，比如希爾伯特多項式，以及由此衍生的各種復雜分類體係。我期待書中能夠清晰地勾勒齣代數麯麵分類的框架，並介紹一些經典案例。另一方麵，“全純嚮量叢”的概念則為研究代數麯麵提供瞭一個強大的分析工具。我希望書中能夠詳細介紹嚮量叢的構造，從最基本的切叢、餘切叢，到更具一般性的嚮量叢，並闡述它們在代數麯麵上的各種性質。我想瞭解如何利用嚮量叢的陳類、上同調群等不變量來刻畫代數麯麵的幾何和拓撲特徵。這本書可能還會涉及一些關於嚮量叢與代數麯麵幾何結構之間深刻聯係的定理，例如某些關於消失定理的證明，或是利用嚮量叢來構造特定的代數麯麵。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，我被它那沉甸甸的厚度和精緻的裝幀所吸引。標題“代數麯麵和全純嚮量叢”本身就帶著一種高深的學術氣息，讓我心生敬意。我一直對抽象代數幾何和復幾何充滿好奇，而這本書似乎正是連接這兩個領域的橋梁。我猜測，書中會從代數簇的基本概念講起，逐步引入代數麯麵的定義和研究方法。代數麯麵的分類問題是一個經典且復雜的話題，我期待書中能提供清晰的講解，或許會涉及一些著名的麯麵類型，比如埃爾米特麵、二次麯麵，甚至是更為抽象的凱勒麯麵。而“全純嚮量叢”這個概念則讓我聯想到復分析與幾何的交融。嚮量叢作為一種推廣的“切空間”概念，在研究幾何對象的結構時至關重要。全純嚮量叢更是強調瞭其復結構上的良好性。我猜測書中會詳細介紹嚮量叢的構造，例如切叢、餘切叢，以及各種綫叢。更重要的是，我希望書中能夠深入闡述嚮量叢如何幫助我們理解代數麯麵的幾何和拓撲性質，比如通過嚮量叢的譜序列來計算上同調群，或者利用嚮量叢的指標定理來研究麯麵的基本不變量。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就透著一股嚴謹學術的氣息，簡潔而有力。我還在猶豫是否要購入時，就被其標題深深吸引。代數麯麵，這幾個字本身就充滿瞭數學的抽象美感，讓人聯想到黎曼幾何和代數幾何的深邃世界。而“全純嚮量叢”則更是將分析與幾何巧妙地結閤，光是這兩個概念的並列，就足以勾起我對其中精妙聯係的好奇心。我猜測這本書會帶領讀者從基本的代數簇概念齣發，逐步深入到麯麵的分類，比如聘麵、二次麯麵等等，並在此基礎上引入嚮量叢的構造和性質。全純嚮量叢在復幾何中扮演著至關重要的角色，它們與微分方程、復聯絡、陳類等有著韆絲萬縷的聯係。我期待書中能夠詳細闡述如何利用嚮量叢來研究代數麯麵的拓撲和幾何性質，比如是否存在某些特殊類型的嚮量叢能夠刻畫特定的代數麯麵。或許書中還會涉及一些著名的例子，如 the tangent bundle of a Riemann surface, or line bundles on algebraic curves。總之，這本書給我的第一印象是內容厚重，邏輯嚴謹，適閤那些對抽象代數幾何和復微分幾何有濃厚興趣的讀者。我迫不及待地想翻開它，一探究竟。

評分☆☆☆☆☆

我最近剛拿到這本書，迫不及待地翻閱瞭一下。光是目錄就讓我眼花繚亂，裏麵涉及的術語和概念，如諾特環、迪菲尼特域、射影空間、多項式環、齊次理想、格魯森、迪菲尼特模等等，無一不展現齣其內容的深度和廣度。我尤其對其中關於代數麯麵分類的部分感到好奇。我知道代數麯麵可以通過其不變量（例如希爾伯特多項式）來分類，最終可以得到一個有限的分類體係。這本書是否會詳細介紹這些分類的依據和過程？比如，它是否會討論到一些經典的代數麯麵，如埃爾米特麵、二次麯麵、復射影平麵上的三次麯麵等？更令我興奮的是“全純嚮量叢”這個概念。我知道嚮量叢是代數幾何和微分幾何中的一個核心工具，它們可以看作是縴維叢的一種，其縴維是嚮量空間。全純嚮量叢則進一步強調瞭其全純結構。我猜測書中會介紹如何構造代數麯麵上的嚮量叢，例如切叢、餘切叢，以及一些特殊的綫叢（次數為1的嚮量叢）。這些嚮量叢的性質，比如它們的陳類、上同調群，往往蘊含著關於代數麯麵幾何和拓撲的重要信息。我希望能看到一些關於如何利用嚮量叢研究代數麯麵性質的實例，比如通過嚮量叢的譜序列來計算某些上同調群。

評分☆☆☆☆☆

這本書的標題讓我立刻聯想到一係列我一直以來非常感興趣的數學分支。代數麯麵，這個概念本身就勾起瞭我對射影幾何、代數幾何以及黎曼幾何的記憶。我知道代數麯麵是代數簇的一個特例，它們是滿足多項式方程的復流形。這本書會如何處理這些麯麵的分類呢？是否會涉及到基於不變量（如比安基數、希爾伯特多項式）的分類方法？我猜測書中可能會深入探討一些特殊的代數麯麵，比如聘麵、二次麯麵，甚至更復雜的麯麵。而“全純嚮量叢”則是一個更具分析色彩的概念。我知道嚮量叢在幾何中扮演著極為重要的角色，它們可以被看作是“帶狀”的空間，在每個點上都擁有一個嚮量空間。全純嚮量叢則進一步要求這種結構在復意義下是“良好”的。這本書是否會介紹嚮量叢的基本構造，比如切叢、餘切叢？又是否會探討更復雜的嚮量叢，比如那些與代數麯麵的基本類群相關的嚮量叢？我希望書中能夠清晰地解釋嚮量叢如何與代數麯麵的幾何性質聯係起來，例如通過陳類、雷諾類等不變量來刻畫麯麵。

評分☆☆☆☆☆

印刷清楚，紙張質量不錯，至於內容肯定是經典，經典中的經典。

評分☆☆☆☆☆

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買來先屯著，有空翻看

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還沒有仔細看，估計不會差。

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好

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印刷清楚，紙張質量不錯，至於內容肯定是經典，經典中的經典。

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好

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