拓撲空間 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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☆☆☆☆☆

[美] Gerard Buskes（布斯科斯） 著

圖書標籤:

• 拓撲學
• 點集拓撲
• 數學分析
• 實分析
• 拓撲空間
• 鄰域
• 距離空間
• 連續性
• 緊緻性
• 連通性

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510040634

版次：1

商品編碼：10914321

包裝：平裝

外文名稱：Topological Spaces: From Distance to Neighborhood

開本：24開

齣版時間：2012-01-01

用紙：膠版紙

頁數：313

正文語種：英文

內容簡介

《拓撲空間》是一部本科生學習拓撲空間的基礎教程。引導讀者很好的學習拓撲中有關幾何的東西什麼是最重要的。《拓撲空間》的內容分為三大部分，綫和麵、矩陣空間和拓撲空間。書中將大量的數學詞匯概念囊括其中，不要求讀者對簡單定理或者集閤知識十分瞭解，從而減少讀者理解上的難度。收斂定理的應用在幫助讀者抓住重點的同時，逐漸接觸並理解拓撲的概念，書中的知識點步步逼近，前九節重在為本科生講述矩陣空間的知識，同時也包括瞭大量的材料，這些將成為研究生學習的教程。

內頁插圖

目錄

Preface
PART Ⅰ THE LINE AND THE PLANE
Chapter 1 What Topology Is About
Topological Equivalence
Continuity and Convergence
A Few Conventions
Extra: Topological Diversions
Exercises
Chapter 2 Axioms for R
Extra: Axiom Systems
Exercises
Chapter 3 Convergent Sequences and Continuity
Subsequences
Uniform Continuity
The Plane
Extra: Bolzano （1781-1848）
Exercises
ChaPter 4 Curves in the Plane
Curves
Homeomorphic Sets
Brouwer's Theorem
Extra: L.E.J. Brouwer （1881-1966）

PART Ⅱ METRI SPACES
Chapter 5 Metrics
Extra: Camille Jordan （1838-1922）
Exercises
Chapter 6 Open and Closed Sets
Subsets of a Metric Space
Collections of Sets
Similar Metrics
Interior and Closure
The Empty Set
Extra: Cantor （1845-1918）
Exercises
Chapter 7 Completeness
Extra: Meager Sets and the Mazur Game
Exercises
Chapter 8 Uniform Convergence
Extra: Spaces of Continuous Functions
Exercises
Chapter 9 Sequential Compactness
Extra: The p-adic Numbers
Exercises
Chapter 10 Convergent Nets
Inadequacy of Sequences
Convergent Nets
-Extra: Knots
Exercises
Chapter 11 Transition to TOpology
Generalized Convergence
Topologies
Extra: The Emergence of the Professional Mathematician
Exercises

PART Ⅲ TOPOLOGICAL SPACES
Chapter 12 Topological Spaces
Extra: Map Coloring
Exercises
Chapter 13 Compactness and the Hausdorff Property
Compact Spaces
Hausdorff Spaces
Extra: Hausdorff and the Measure Problem
Exercises
Chapter 14 Products and Quotients
Product Spaces
Quotient Spaces
Extra: Surfaces
Exercises
Chapter 15 The Hahn-Tietze-Tong-Urysohn Theorems
Urysohn's Lemma
Interpolation and Extension
Extra: Nonstandard Mathematics
Exercises
Chapter 16 Connectedness
Connected Spaces
The Jordan Theorem
Extra: Continuous Deformation of Curves
Exercises
Chapter 17 Tvchonoffs Theorem
Extra: The Axiom of Choice
Exercises

PAler Ⅳ PosTsciuer
Chapter 18 A Smorgasbord for Further Study
Countability Conditions
Separation Conditions
Compactness Conditions
Compactifications
Connectivity Conditions
Extra: Dates from the History of General Topology
Exercises
Chapter 19 Countable Sets
Extra: The Continuum Hypothesis
A Farewell to the Reader
Literature
Index of Symbols
Index of Terms

前言/序言

抽象的邊界與無限的結構：一個未探索的數學領域 本書帶領讀者踏入一個既古老又充滿活力的數學分支——代數幾何的宏偉殿堂。我們不將目光投嚮點集拓撲或度量空間的直觀圖像，而是深入挖掘那些由多項式方程所定義的、超越傳統歐幾裏得幾何範疇的結構。 第一部分：零點的低語——代數與幾何的交匯 本書伊始，我們聚焦於代數簇（Algebraic Varieties）的基礎。代數簇是多項式方程組的零點集閤，它們是連接純粹代數（如環論）與幾何直觀的橋梁。我們將從基礎的仿射空間（Affine Space）——即 $mathbb{A}^n$ 開始，詳細剖析如何用理想（Ideals）來描述這些幾何對象。關鍵在於理解希爾伯特零點定理（Hilbert's Nullstellensatz），它是代數幾何的基石，揭示瞭理想與代數集之間深刻的對偶關係。 我們不會討論任何關於鄰域、開集或連續映射的概念。相反，重點在於如何使用諸如初等對稱多項式、範德濛行列式等代數工具來精確地描述麯綫和麯麵的性質。我們將詳細分析代數簇的維度（Dimension），但這維度是通過多項式環的Krull維度（Krull Dimension）來定義的，而非基於任何拓撲基的局部性質。讀者將看到，一個代數簇的“平滑性”或“奇點”完全可以通過研究其結構環（Structure Ring）上的局部性質——例如局部環的正則性（Regularity）——來判斷。 第二部分：射影的視角與貝祖定理的威力 為瞭更完整地理解幾何結構，我們必須離開仿射空間，進入更廣闊的射影空間（Projective Space），$mathbb{P}^n$。射影空間通過引入“無窮遠綫”或“無窮遠平麵”來“封閉”仿射空間，這使得許多幾何定理的錶述更加優雅且普遍適用。 在這一部分，我們將深入探討射影代數簇，它們由齊次多項式（Homogeneous Polynomials）定義。核心內容之一是對貝祖定理（Bézout's Theorem）的詳盡考察。貝祖定理在射影平麵上給齣瞭兩個代數麯綫在交點個數上的精確計數，但這計數是通過在閤適的代數結構（如域的擴域）上考慮交點，並使用代數中“相交重數”（Intersection Multiplicity）的概念來確定的。我們將花費大量篇幅來建立交點理論的代數基礎，特彆是使用Gröbner基來計算多項式的公共零點，這與拓撲學中的交點不相交。 此外，我們還將引入層論（Sheaf Theory）的代數視角。這裏的層不是用來定義連續函數的，而是用來組織定義在代數簇的開子集上的代數對象（如結構層 $mathcal{O}_X$）的結構。我們分析層上同調（Sheaf Cohomology）的代數計算方法，例如Cech上同調的代數構造，它完全依賴於特定開復形的代數分解，而非任何內在的“形狀”或“連通性”的幾何直覺。 第三部分：更高級的代數結構——簇的形變與模空間 隨著本書的深入，我們將探討更復雜的幾何對象：簇的形變（Deformations of Varieties）。形變理論關注的是如何微小地改變定義一個簇的多項式係數，從而觀察幾何形狀如何變化。 關鍵概念之一是模空間（Moduli Spaces）。模空間是一個空間，它的“點”本身代錶著一族同構的代數簇。例如，我們可能構造一個模空間 $M_{g,n}$，其點參數化所有虧格為 $g$、有 $n$ 個標記點的光滑麯綫。構造這樣的空間主要依賴於Grothendieck的“存在性定理”和“唯一性定理”，這些證明過程涉及對各種理想的精細分類和對環的譜（Spectrum of a Ring）的構造。我們完全從代數和範疇論的角度來定義和理解這些模空間，例如，通過定義它們為錶示函子（Representable Functors）。 我們還將審視奇點理論的代數分類。奇點處的局部行為通過研究局部環的規範性（Normality）和正規化（Regularization）過程來分析。例如，如何通過計算正規化層的局部上同調群來判斷一個奇點是否是“可消除的”（Resolvable）。 第四部分：算術幾何的影子 最後，本書觸及瞭算術幾何的邊緣。我們將代數簇的定義域從復數域 $mathbb{C}$ 擴展到更一般的域，特彆是有限域 $mathbb{F}_q$。此時，代數簇上的點變成瞭具有域結構（Field Structure）的解。 我們將分析代數麯綫上的有理點。這裏的核心工具是黎曼-洛赫定理（Riemann-Roch Theorem）的算術版本，以及對 Zeta 函數（Zeta Functions）的構造。這些函數的性質——例如其歐拉乘積形式和函數的方程——直接來源於代數麯綫上點的計數問題。我們研究的是代數簇上的點集的大小，而不是其在連續空間中的分布或拓撲性質。 全書始終避免使用任何關於距離、開集或連續性的語言。所有的討論都嚴格建立在交換代數、理想理論、環的譜以及多項式方程的零點集之上，旨在展示代數結構如何獨立地、卻又深刻地定義瞭我們所稱的“幾何”。本書為那些渴望掌握超越歐幾裏得直覺、進入抽象結構世界的讀者提供瞭堅實的代數基石。

評分☆☆☆☆☆

作為一名多年未接觸數學專業的“重拾者”，我對於重拾數學的熱情源於工作中的一些挑戰，涉及到模式識彆和信號處理。這些領域常常會涉及到對數據點之間關係的抽象描述，而“拓撲”這個詞在我腦海裏一直與“形狀”和“連通性”緊密相連。我被這本書的標題《拓撲空間：從距離到鄰域》所吸引，它暗示瞭一種從具體到抽象的過渡，這正是我所需要的。我希望這本書能夠提供一個紮實的入門，讓我能夠理解度量空間和拓撲空間之間的聯係與區彆，以及“鄰域”這一核心概念是如何被引入和定義的。我非常期待書中能夠詳細闡述開集、閉集、開核、閉包等基本概念，並能通過一些直觀的例子來解釋它們在幾何上的含義。更重要的是，我希望這本書能夠幫助我理解，為什麼拓撲學能夠提供一種比度量空間更一般、更強大的工具來研究空間性質。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《拓撲空間》時，我正準備轉行進入數據科學領域，而數據可視化和機器學習中的一些算法，比如聚類和降維，似乎都隱約觸及瞭空間結構的討論。雖然我的數學背景不算深厚，但我對能夠理解數據背後更深層次的數學原理充滿熱情。這本書吸引我的地方在於它標題中“From Distance to Neighborhood”的描述，這讓我覺得它並非一本高高在上的理論書籍，而是有著清晰的邏輯遞進，能夠從我們相對容易理解的“距離”齣發，引申到更為抽象的“鄰域”概念。我希望這本書能夠用清晰易懂的語言，配閤恰當的例子，來解釋拓撲空間中的基本概念，比如開集、閉集、緊集、連通集等等，並且能讓我明白這些概念在實際應用中的意義。我特彆想知道，在沒有具體的距離度量時，我們如何依然能夠討論集閤的“連續性”或者“聚集性”，這對我理解某些機器學習模型的內在邏輯至關重要。

評分☆☆☆☆☆

我是一名在讀的軟件工程學生，最近在學習關於圖論和網絡分析的課程，其中涉及到一些關於網絡拓撲結構的概念，這讓我對“拓撲”這個詞産生瞭濃厚的興趣。我看到這本書的名字《拓撲空間：從距離到鄰域》，覺得它可能能夠為我提供一個更深層次的理解。我期待這本書能夠從我熟悉的“距離”概念齣發，逐步引入“鄰域”的概念，並在此基礎上構建起整個拓撲空間理論的框架。我希望書中能夠清晰地解釋諸如拓撲空間、開集、閉集、連續映射等基本定義，並能通過一些生動的例子來展示這些概念的幾何意義。尤其是我對如何在這種抽象的空間中定義“連續性”感到好奇，因為這對於我理解網絡流量的流動和數據傳輸的穩定性非常重要。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就透露齣一種嚴謹而又引人入勝的氣息，深邃的藍色背景搭配簡潔的標題，讓我對接下來的閱讀充滿瞭期待。我本身是數學專業的學生，在學習高等幾何和分析時，拓撲學的概念總是若隱若現，像是一個美麗卻難以捉摸的幽靈。我常常會思考，為什麼我們能在不依賴距離概念的情況下討論“鄰近”？這本書的副標題“From Distance to Neighborhood”恰好點齣瞭我心中的疑問，它似乎承諾瞭將抽象的拓撲概念與我們熟悉的度量空間聯係起來，為我理解拓撲學的發展脈絡提供一個清晰的視角。我希望這本書能夠循序漸進地引導我，從直觀的度量空間齣發，逐漸過渡到更抽象的拓撲空間，讓我能夠真正“看見”點集之間的關係，體會到集閤之間的“開”與“閉”究竟是如何被定義的，以及這些定義背後蘊含的深刻意義。我尤其期待書中能夠闡述清楚，為何鄰域的定義能夠如此強大，以至於能夠取代距離在許多分析性問題中的核心地位。

評分☆☆☆☆☆

我本身是一名從事圖像處理的研究人員，經常需要處理圖像的形狀、連通性以及不同區域之間的關係。雖然我接觸過一些計算幾何和微分幾何的概念，但對於“拓撲”這個更普適的數學理論始終感到有些隔閡。《拓撲空間：從距離到鄰域》這本書的標題立刻吸引瞭我，它似乎預示著一條從我們熟悉的“距離”概念過渡到更為抽象的“鄰域”概念的學習路徑，這正是我所需要的。我期望這本書能夠以清晰易懂的方式，帶領我理解拓撲空間的基本構造，包括各種拓撲結構是如何被定義的，以及它們在圖像分析中可能扮演的角色。我特彆想知道，在不依賴具體的距離度量的情況下，我們如何定義和研究圖像區域的“連通性”、“緊湊性”以及“連續變形”等概念。我希望通過閱讀這本書，能夠為我處理和分析圖像數據提供更強大的理論支撐。

評分☆☆☆☆☆

在經濟學方麵，馮·諾伊曼首先把不動點定理用來證明均衡的存在性。在現代數理經濟學中，對於經濟的數學模型，均衡的存在性、性質、計算等根本問題都離不開代數拓撲學、微分拓撲學、大範圍分析的工具。在係統理論、對策論、規劃論、網絡論中拓撲學也都有重要應用。

評分☆☆☆☆☆

什麼是麯綫？樸素的觀念是點動成綫，隨一個參數（時間）連續變化的動點所描齣的軌跡就是麯綫。可是，皮亞諾在1890年竟造齣一條這樣的“麯綫”，它填滿整個正方形！這激發瞭關於維數概念的深入探討，經過20～30年纔取得關鍵性的突破。

評分☆☆☆☆☆

考慮一個麯麵到自身的連續變換（映射），即麯麵的每一點被移到該麯麵上的新的位置，連續是指互相鄰近的點被移到互相鄰近的點，新舊位置相同的點叫作這變換的不動點。隨後，每個不動點也有個“指數”，即當動點繞它一周時，從動點指嚮其像點的嚮量轉動的圈數。拓撲學傢們發現，麯麵到自身的映射的不動點個數如果是有限的，它們的指數的代數和不會因對這映射做細微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特徵計算齣來。特彆是對於實心圓上的映射，指數和恒為1，所以實心圓到自身的映射總有不動點。

評分☆☆☆☆☆

設X是拓撲空間，如果X可寫為非空開集的分離並，則X稱為連通空間；如果對X中任意兩點 ，存在X中的道路相連接，則稱X為道路連通空間 ；如果X的任意開集作成的覆蓋存在有限子覆蓋 ，則稱X為緊空間；如果X中的任意序列有收斂子列，則稱X是列緊空間 ；如果X中任意兩點都存在不相交的鄰域 ，則稱X是豪斯多夫空間（或T2空間）。上麵所提連通性，道路連通性、緊性、列緊性、T2性均是拓撲不變性。連通空間上的實值連續函數具有介值性，即若f∶X→R1連續，X是連通空間，r∈（f（x1），f（x2），則存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）=r。緊空間上的實值連續函數具有最大值、最小值。緊空間上的連續函數一緻連續。若AÌRn，則A為緊，當且僅當A是有界閉集。

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集解方法

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1 The General Topology of Dynamical Systems, Ethan Akin (1993, ISBN 978-0-8218-4932-3)[1]

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編輯本段

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考慮光滑麯麵上的連續的切嚮量場，即在麯麵的每一點放一個與麯麵相切的嚮量，並且其分布是連續的，其中嚮量等於0的地方叫作奇點。例如，地球錶麵上每點的風速嚮量就組成一個隨時間變化的切嚮量場，而奇點就是當時沒風的地方。從直觀經驗看齣，球麵上的連續切嚮量場一定有奇點，而環麵上卻可以造齣沒有奇點的嚮量場。 進一步分析，每個奇點有一個“指數”，即當動點繞它一周時，動點處的嚮量轉的圈數；此指數有正負，視動點繞行方嚮與嚮量轉動方嚮相同或相反而定。球麵上切嚮量場，隻要奇點個數是有限的，這些奇點的指數的代數和（正負要相消）恒等於2；而環麵上的則恒等於0。這2與0恰是那兩個麯麵的歐拉數，這不是偶然的巧閤。這是拓撲學中的龐加萊-霍普夫定理。

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