普通高等教育“十二五”規劃教材：數學分析選講（上冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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臧子龍，李永軍，魏曉娜 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 高等教育
• 大學教材
• 微積分
• 函數
• 極限
• 連續性
• 微分
• 積分
• 規劃教材

齣版社： 同濟大學齣版社

ISBN：9787560847856

版次：1

商品編碼：10959201

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2012-03-01

用紙：膠版紙

頁數：172

字數：280000

內容簡介

《普通高等教育“十二五”規劃教材：數學分析選講（上冊）》分為上、下兩冊．《普通高等教育“十二五”規劃教材：數學分析選講（上冊）》是為報考碩士研究生的學生並兼顧正在學習“數學分析”課程的學生編寫的復習指導書．目的是幫助他們從概念和方法兩方麵深化、開拓所學數學分析的內容。
《普通高等教育“十二五”規劃教材：數學分析選講（上冊）》按數學分析課的內容分為四章：極限理論、連續函數、一元函數微分學和一元函數積分學．每章由基本概念分析和解題方法分析兩部分組成．前一部分，針對學生學習時易齣現的錯誤，設計編寫瞭各種形式的問題，以引導讀者對基本概念、基本理論進行多側麵、多層次、由此及彼、由錶及裏的思索和辨析；後一部分則著重分析解題思路，探索解題規律，歸納、總結解題方法。本書對讀者掌握分析問題和處理問題的方法與技巧有較好的指導作用．所選例題、習題內容廣泛，且具有與碩士研究生入學考試相當的水平．本書對從事數學分析和高等數學教學的教師也有參考價值。

目錄

前言
第1章 極限理論
1基本概念分析
1．1數列極限和函數極限的定義收斂原理
1．2子列、聚點和上（下）極限
1．3極限的性質
習題1．I
Ⅱ解題方法分析
1．4利用定義和收斂原理研究極限
1．5利用子列和上（下）極限研究極限
1．6未定型的處理法
習題1．Ⅱ

第2章 連續函數
1基本概念分析
2．1連續與間斷
2．2連續函數的性質
2．3一緻連續性
習題2．I
Ⅱ解題方法分析
2．4連續性的判彆
2．5連續函數性質的應用
2．6用實數基本定理研究函數
習題2．Ⅱ

第3章 一元函數微分學
I基本概念分析
……
第4章 一元函數積分學
參考文獻

前言/序言

現代高等數學與應用分析前沿探索 （本書旨在為具有紮實微積分基礎，並希望深入探索高等數學理論深度與實際應用廣度的學生及研究人員提供一套全麵、嚴謹且富於啓發性的進階讀物。全書共分上下兩冊，本冊為上冊，側重於理論基礎的深化與拓寬。） 引言：超越基礎，邁嚮分析的殿堂 高等數學的學習是理工科人纔培養的基石，但傳統的微積分課程往往受限於篇幅和教學目標，難以觸及現代數學分析的諸多精妙之處。本書正是在此背景下應運而生，它並非傳統“數學分析”或“高等數學”的簡單重復，而是力求在繼承經典分析學嚴謹性的同時，融入當代數學研究中至關重要的現代視角與工具。我們相信，真正的理解源於對概念本質的深刻洞察，而非公式的機械記憶。 第一篇：拓撲預備與度量空間基礎 在本書的開篇，我們首先將讀者從熟悉的歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 中“解放”齣來，進入更具一般性的集閤結構——拓撲空間的領域。 第1章：基礎集閤論與關係迴顧：本章快速迴顧實數集 $mathbb{R}$ 上的基本性質，重點在於構造性證明的思維訓練，並引入瞭關於選擇公理和良序的討論，為後續構建抽象空間打下邏輯基礎。 第2章：度量空間（Metric Spaces）的建立：這是本書理論深化的第一個關鍵步驟。我們詳細定義瞭度量、拓撲、開集、閉集、鄰域等核心概念。重點在於通過具體的例子（如函數空間 $C[a, b]$ 上的均勻收斂度量、泛函分析中常見的 $L^p$ 範數導齣的度量），展示度量空間如何概括我們熟悉的距離概念。我們將深入探討完備性——完備度量空間（巴拿赫空間的前身）的性質，並首次引入貝爾綱定理（Baire Category Theorem）的初步應用，揭示完備空間中“大部分點”的性質。 第3章：連續性與緊緻性的一般化：在度量空間中，我們重新審視函數和映射的性質。函數在度量空間間的連續性定義被抽象化，並與拓撲結構聯係起來。至關重要的是，我們徹底剖析瞭緊緻性的概念。緊緻集的定義（任一流有限子開復蓋必有有限子覆蓋）在度量空間中的等價描述——可列緊性，以及它在保證函數能取到最大值、保證收斂序列有收斂子序列中的核心作用。我們將探討緊緻性與完備性的協同工作，為後續處理函數空間上的收斂問題奠定堅實基礎。 第二篇：序列、級數與泛函分析的萌芽 在構建瞭抽象空間框架後，本篇將分析的核心對象——序列和級數——置於更廣闊的背景下考察，並引入綫性代數中嚮量空間的分析視角。 第4章：序列收斂與極限的深入研究：我們不再滿足於 $epsilon-N$ 語言，而是使用拓撲術語（如極限點、聚點）來刻畫收斂性。本章將深入討論依範數收斂與依度量收斂的區彆與聯係，並引入點態收斂與一緻收斂的嚴格區分，尤其是在函數序列中，一緻收斂是如何保證連續性的傳遞，而非點態收斂所能保證的。 第5章：函數空間中的冪級數與傅裏葉級數的初步接觸：雖然傅裏葉分析通常被視為一個獨立分支，但其收斂性問題本質上是函數空間上的級數問題。本章會使用巴拿赫空間（完備賦範嚮量空間）的工具，初步討論柯西序列在函數空間中的含義。我們將展示為什麼 $L^2$ 空間在處理無窮級數展開時具有優越性，並為下冊中更精細的傅裏葉分析做鋪墊。 第6章：綫性算子與連續性：本章將分析的視角從靜態的點擴展到動態的映射。我們將拓撲綫性空間中的綫性映射（算子）進行研究。一個關鍵成果是證明有界綫性算子的定義，並證明在有限維空間中，所有綫性算子都是有界的。我們將用著名的開映射定理和閉圖像定理的簡單形式，展示完備性條件對綫性映射性質的巨大約束力，這構成瞭泛函分析的初步框架。 第三篇：勒貝格積分理論的引入 傳統黎曼積分在處理不規則函數和極限操作時存在明顯缺陷。本書將通過現代測度論的視角，引入更強大、更普適的勒貝格積分。 第7章：測度空間（Measure Spaces）的構建：測度論是現代分析的基石。本章將從可測集（Measurable Sets）開始，定義 $sigma$-代數和測度（Measure）。我們將詳細構造勒貝格測度，並證明其外延性。本章的核心在於理解可測函數的定義，這是積分理論的先決條件。 第8章：勒貝格積分的定義與性質：本書將采用標準的兩步構造法：先定義簡單函數的積分，再推廣到非負可測函數，最後推廣到一般的可測函數。我們將著重證明勒貝格積分相較於黎曼積分的優越性：單調收斂定理（MCT）和法圖引理（Fatou’s Lemma）。這兩個定理是分析學中處理極限與積分順序交換的核心工具，其簡潔和普適性令人震撼。 第9章：積分的收斂定理與應用：本章的重頭戲是勒貝格控製收斂定理（DCT）。我們將通過嚴謹的證明展示，在“控製”（即存在一個可積函數支配著函數序列）的條件下，極限與積分可以自由交換。我們將用具體的例子（如狄利剋雷函數在不同極限過程下的積分錶現）來對比黎曼積分的失敗與勒貝格積分的成功，展示其在概率論、偏微分方程等領域的不可替代性。 展望：上冊的收尾，是為讀者提供一個堅實的、現代的分析基礎。讀者將能夠理解從 $mathbb{R}^n$ 空間到抽象度量空間，再到測度空間的理論遞進關係，並掌握處理函數序列和級數問題的利器——勒貝格積分。下冊將在此基礎上，深入探討傅裏葉分析、調和分析的初步概念，以及泛函分析中的希爾伯特空間理論。

評分☆☆☆☆☆

這本書最讓我印象深刻的一點，是它並非簡單地羅列定理和公式，而是著重於數學思想的滲透和邏輯推理的訓練。作者在講解每一個概念時，都會追溯其産生的曆史背景和解決問題的動機，這使得學習過程不再是枯燥的記憶，而更像是一次思維的探險。例如，在介紹導數的章節，作者並沒有直接給齣定義，而是先從物理學中瞬時速度的概念引申，再到幾何學中切綫斜率的討論，層層遞進，讓讀者在潛移默化中理解導數為何齣現，以及它在解決實際問題中的強大能力。書中的例題設計也非常巧妙，難度循序漸進，既有基礎鞏固型的，也有能夠啓發思考的變式題。更重要的是，作者在解題思路的分析上非常到位，不僅僅給齣答案，還會剖析解題的關鍵步驟和可能遇到的陷阱，這對於培養學生的獨立思考能力和解決問題的能力非常有幫助。我常常在一道題上卡殼，但通過研讀作者的分析，總能豁然開朗，這種學習的成就感是其他許多教材無法給予的。

評分☆☆☆☆☆

這本書在練習題的設計上，可以說是“寓教於樂”的典範。每一章的習題都緊密結閤當章的知識點，並且難度分布閤理，從基礎鞏固到綜閤應用，再到一些具有挑戰性的探索性題目，能夠滿足不同水平的讀者的需求。而且，很多習題的設置都充滿瞭巧思，並不是簡單的計算題，而是需要讀者運用所學知識進行分析和推理。我尤其喜歡其中一些“思考題”，它們往往不要求直接得齣答案，而是引導讀者去思考問題的本質，去挖掘知識點之間的聯係，這對於提升數學思維的深度和廣度非常有益。解答這些題目雖然需要花費一些時間和精力，但每次解決一個難題，都會帶來巨大的滿足感，也讓我對相關知識點有瞭更透徹的理解。書本的附錄也相當實用，包含瞭一些重要的公式匯總和符號說明，方便查閱。整體而言，這本書的學習體驗是全方位的，從理論講解到實踐練習，都設計得非常齣色。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容組織結構十分嚴謹，脈絡清晰，過渡自然。從最基礎的集閤論和邏輯預備知識開始，逐步深入到函數、極限、連續性，再到微分學的基礎。每一章都建立在前一章的基礎上，形成瞭一個有機的整體。作者在內容的取捨上也很有見地，精選瞭數學分析中最核心、最能體現其魅力的部分進行深入講解，避免瞭冗雜和不必要的細節，使得讀者能夠專注於核心知識的學習。書中對一些關鍵定理的證明，雖然邏輯嚴密，但並非照本宣科，而是輔以清晰的文字解釋和直觀的圖示，讓證明過程顯得不那麼艱澀。我特彆欣賞作者在講解積分章節時，對黎曼積分的引入方式，從分割、求和到取極限，整個過程的鋪墊非常到位，讓讀者能夠理解黎曼積分的幾何意義和計算方法。這種由淺入深、循序漸進的教學方式，大大降低瞭學習的門檻，也讓學習過程更加順暢。

評分☆☆☆☆☆

這套書的排版設計真的非常用心，封麵色彩搭配沉靜而不失活力，摸上去的質感也相當不錯，讓人一看就覺得是經過精心打磨的作品。拿到手裏沉甸甸的，仿佛承載著知識的分量。翻開內頁，字體清晰，行距適中，閱讀起來非常舒適，長時間看也不會感到眼睛疲勞。尤其值得稱贊的是，書中的插圖和圖錶製作得非常精美，邏輯清晰，色彩運用得當，對於理解抽象的數學概念起到瞭至關重要的輔助作用。例如，書中關於極限的章節，運用瞭大量生動形象的圖形來解釋 epsilon-delta 定義，這種可視化處理方式極大地降低瞭理解難度，讓我這個對數學分析一直有些畏懼的讀者，也能夠饒有興緻地跟隨作者的思路去探索。紙張的質量也非常好，不容易洇墨，用熒光筆標記也毫無壓力，這對於需要反復研讀和做筆記的學生來說，簡直是福音。整體來說，這本書在物理形態上就已經給予瞭讀者非常好的第一印象，讓人迫不及待地想沉浸在其中。

評分☆☆☆☆☆

閱讀這本教材，我最大的感受是它成功地拉近瞭數學分析與讀者之間的距離。作者的語言風格非常平實易懂，避免瞭過於生僻的術語和晦澀的錶達。即使是一些非常抽象的概念，例如函數空間或者測度論的初步思想，作者也能用非常生活化的比喻和類比來解釋，讓這些高深的理論變得觸手可及。例如，在介紹序列的收斂性時，作者用“追逐”和“靠攏”這樣的詞匯來形象地描述數列項的運動趨勢，這比單純的數學定義更能引發讀者的共鳴。書中還穿插瞭一些數學史的小故事，介紹瞭一些著名數學傢在探索這些概念時的心路曆程，這不僅增加瞭閱讀的趣味性，也讓讀者對數學這門學科有瞭更深層次的理解，認識到數學是人類智慧的結晶，而非冷冰冰的符號。這種人文關懷的融入，使得這本書不僅僅是一本教科書，更是一本引人入勝的數學讀物。