數學分析（第二冊）：多元微積分/西北工業大學規劃教材 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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丁曉慶 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 多元微積分
• 微積分
• 高等數學
• 西北工業大學
• 規劃教材
• 教材
• 學術
• 理工科
• 數學

齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302353201

版次：1

商品編碼：11436593

品牌：清華大學

包裝：平裝

叢書名： 西北工業大學規劃教材

開本：16開

齣版時間：2014-04-01

用紙：膠版紙

頁數：290

字數：405000

正文語種：中文

內容簡介

《數學分析(第二冊)：多元微積分》，本書介紹多元函數的微積分， 包括極限、微分、積分、函數項級數、偏積分(含參變量的積分)。 在這一冊裏， 比較係統地研究瞭分析運算的換序問題， 研究瞭偏積分的一般理論。

內頁插圖

目錄

第11章 常見點集的結構點列的極限
11.1 平麵點集的結構二維空間R2
11.2 空間點集的結構三維空間R3
11.3 n維空間Rnn維空間點集的結構
11.4 點列的極限
11.5 閉集套定理有限覆蓋定理聚點原理

第12章 多元函數的極限和連續性
12.1 多元函數的概念
12.2 多元函數的極限
12.3 偏極限纍次極限換序的充分條件
12.4 纍次極限的換序公式和換序準則
12.5 多元函數的連續性
12.6 多元嚮量值函數場的概念
12.7 嚮量值函數的極限連續麯麵的參數方程
12.8 嚮量值連續函數的性質

第13章 多元函數的偏導數微分
13.1 偏導數的概念
13.2 高階偏導數
13.3 多元函數的微分
13.4 復閤函數的求導法則微分的形式不變性
13.5 微分中值定理Taylor公式

第14章 嚮量值函數的微分函數方程與隱函數
14.1 二元嚮量值函數的偏導嚮量微分
14.2 n元嚮量值函數的偏導嚮量微分
14.3 開映射定理局部逆映射定理
14.4 逆映射存在的充分條件逆映射的性質
14.5 函數方程及其解函數概述隱函數的概念
14.6 隱函數的微分
14.7 隱函數存在定理

第15章 多元函數微分學的一些應用
15.1 麯麵的切平麵和法嚮量麯綫的切綫
15.2 方嚮導數與梯度
15.3 多元函數的最值極值Fermat原理
15.4 條件最值條件極值Lagrange乘數法

第16章 函數列的收斂性
16.1 函數列的極限概念
16.2 一緻收斂性的判定
16.3 極限函數的極限連續微分
16.4 極限與定積分的換序控製收斂定理
16.5 極限與廣義積分的換序單調收斂定理
16.6 控製收斂定理的證明

第17章 函數項級數的一般理論Taylor級數Fourier級數
17.1 函數項級數的概念及其收斂性
17.2 函數項級數的極限連續微分
17.3 函數項級數的積分
17.4 分式級數函數項無窮乘積
17.5 冪級數及其一般性質
17.6 Taylor級數
17.7 Fourier級數

第18章 二元函數的偏極限與偏積分
18.1 二元函數的偏極限
18.2 狹義偏積分
18.3 廣義偏積分的收斂性
18.4 廣義偏積分的極限和連續性
18.5 廣義偏積分的微分
18.6 “有限區間×無限區間”上纍次積分的換序
18.7 “無限區間×無限區間”上纍次積分的換序
18.8 Beta函數Gamma函數
18.9 F（s）的有限展開
18.10 Fourier變換正餘弦變換
……
第19章 麯綫積分
第20章 二重積分
第21章 麯麵積分
第22章 三重積分多重積分
參考文獻

數學分析（第二冊）：多元微積分/西北工業大學規劃教材 圖書簡介 《數學分析（第二冊）：多元微積分》是西北工業大學規劃教材係列中的重要組成部分，旨在為高等院校數學專業、應用數學、物理學、工程學等相關專業的學生提供全麵、深入、嚴謹的多元微積分知識體係。本書立足於分析學的基本概念和理論基礎，係統地闡述瞭多變量函數的微分學和積分學，是連接一元微積分與更高級分析理論（如復變函數論、泛函分析等）的關鍵橋梁。 全書內容組織嚴謹，邏輯清晰，注重理論的深度與廣度並重，同時兼顧數學思維的培養和實際應用的結閤。它不僅教授學生掌握多元函數求導、多重積分、綫積分、麯麵積分等核心計算技巧，更重要的是，引導學生理解這些概念背後的嚴格數學定義和內在聯係，例如嚮量場、梯度、鏇度、散度等重要工具的幾何意義和物理內涵。 第一部分：空間與嚮量代數基礎的深化 本書首先迴顧並深化瞭對三維歐幾裏得空間 $mathbb{R}^3$ 的理解，這是進行多元分析的幾何基礎。 1. 空間坐標係與嚮量空間迴顧： 詳細介紹瞭直角坐標係、柱坐標係和球坐標係之間的轉換，強調瞭坐標變換下函數錶示的協調性。對 $mathbb{R}^n$ 空間的範數、內積、拓撲性質（開集、閉集、緊集）進行瞭必要的復習和拓展，為後續的收斂性討論奠定基礎。 2. 嚮量代數與幾何： 深入探討瞭嚮量的綫性運算、點積（內積）和叉積（外積）。重點闡述瞭叉積在確定平麵法嚮量、計算麵積和力矩等物理量中的作用。通過嚮量的視角重新審視直綫和平麵的方程，強化幾何直覺。 第二部分：多元函數的微分學 本部分是全書的核心，係統構建瞭多變量函數的微分理論體係。 1. 極限與連續性： 嚴格定義瞭多元函數在點處的極限，並討論瞭沿不同路徑趨近時的差異性，這是理解多元函數性質的關鍵難點。引入瞭 $varepsilon-delta$ 語言來證明多元函數的連續性。 2. 偏導數與方嚮導數： 係統講解瞭偏導數的概念、計算方法及其局限性。隨後引入瞭方嚮導數，作為衡量函數在特定方嚮上變化率的工具。 3. 可微性與全微分： 嚴格區分瞭偏可微與函數可微。通過綫性逼近的精確定義，確立瞭全微分的概念，這是多元分析中最重要的綫性化工具。討論瞭偏導數存在性與函數可微性之間的關係（連續可微函數的性質）。 4. 高階偏導數與泰勒公式： 引入瞭二階及更高階偏導數，探討瞭混閤偏導數與偏序無關性（剋萊羅定理的推廣）。詳細推導和應用瞭多元函數的泰勒公式，為函數在局部區域的近似和穩定性分析提供瞭強有力的代數工具。 5. 極值問題與最優化： 無條件極值： 利用梯度嚮量（Gradient Vector）和海森矩陣（Hessian Matrix）來尋找函數的臨界點。通過二階偏導數判彆法（Hessian行列式）精確判斷極值的類型（局部最大值、最小值或鞍點）。 條件極值： 詳細介紹瞭拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers），這是解決等式約束優化問題的標準且高效的方法。通過幾何直觀和代數推導，展示瞭梯度嚮量與約束麯麵法嚮量之間的關係。 6. 鏈式法則的推廣： 深入分析瞭復閤函數的求導法則，特彆是當自變量和中間變量的依賴關係復雜時，如何運用鏈式法則進行高效計算，這在隱函數求導和物理建模中至關重要。 第三部分：多元函數的隱函數與反函數定理 本部分是微分學理論的升華，處理瞭變量之間相互依賴的復雜情況。 1. 隱函數定理： 嚴謹地證明瞭隱函數定理，該定理保證瞭在特定條件下，由方程 $F(x_1, dots, x_n, y_1, dots, y_m) = 0$ 確定的函數 $y_i = y_i(x_1, dots, x_n)$ 的存在性、可微性及其偏導數的計算。 2. 反函數定理： 闡述瞭反函數定理，給齣瞭一個光滑映射在某點存在局部反映射的充分條件，即Jacobian行列式在該點不為零。這對於坐標變換和微分同胚的研究具有根本性意義。 第四部分：微分學在幾何與場論中的應用 本部分將抽象的微分概念與具體的空間幾何問題和物理場聯係起來。 1. 嚮量值函數與空間麯綫： 討論瞭空間麯綫的參數錶示、切嚮量、麯率和撓率。重點分析瞭速度、加速度等物理量在參數化描述下的錶達。 2. 微分形式與微分算子： 引入瞭梯度（$ abla f$）、散度（$ abla cdot mathbf{F}$）和鏇度（$ abla imes mathbf{F}$）這三個核心嚮量微分算子。詳細解釋瞭它們在物理學（如流體力學、電磁學）中的實際意義，例如散度衡量源或匯的強度，鏇度衡量場的鏇轉趨勢。 第五部分：多重積分 本部分擴展瞭一元積分的概念到二維和三維空間，是計算麵積、體積、質量和質心等物理量的基礎。 1. 二重積分： 黎曼和的定義： 從區域分割和黎曼和的極限齣發，嚴格定義瞭平麵區域上的二重積分。 Fubini定理： 闡述瞭Fubini定理，該定理允許將二重積分轉化為纍次積分（迭代積分），並討論瞭積分次序互換的條件。 坐標變換： 詳細推導瞭在極坐標係下進行二重積分的計算方法，強調雅可比行列式（Jacobian Determinant）在麵積元素縮放中的作用。 應用： 涉及平麵區域的麵積、質量、重心、轉動慣量等。 2. 三重積分： 定義與性質： 將二重積分的概念推廣到三維空間，定義瞭有界閉區域上的三重積分，主要用於計算體積和質量分布。 坐標變換： 係統講解瞭在柱坐標係和球坐標係下的三重積分計算，熟練掌握球坐標變換的雅可比行列式是計算復雜幾何體積分的關鍵。 第六部分：綫積分與麯麵積分（格林、斯托剋斯、高斯公式） 本部分是多元分析中最宏大、最富於幾何美感的部分，它統一瞭不同維度上的積分概念。 1. 綫積分（第一類與第二類）： 第一類綫積分： 沿麯綫對長度的積分，常用於計算麯綫的質量或密度隨長度變化的纍積量。 第二類綫積分（功的積分）： 沿麯綫對坐標的積分，是計算保守力場中功的基本工具。引入瞭路徑無關性（保守場）的概念。 2. 麯麵積分（第一類與第二類）： 第一類麯麵積分： 沿麯麵的積分，常用於計算麯麵的質量或錶麵積。 第二類麯麵積分（通量積分）： 描述瞭嚮量場穿過某一麯麵的淨流量（Flux），是物理學中電通量、磁通量等概念的數學基礎。 3. 場論三大基本定理： 本書的核心高潮部分，通過嚴謹的證明和豐富的實例，闡述瞭三大基本定理之間的深刻聯係： 格林公式（Green's Theorem）： 將平麵區域上的二重積分與其邊界麯綫上的第一類綫積分聯係起來。 斯托剋斯公式（Stokes' Theorem）： 將三維空間中麯麵上的鏇度（Curl）的通量積分，與其邊界麯綫上的綫積分聯係起來，揭示瞭鏇度和環量的關係。 高斯公式（Gauss's Divergence Theorem）： 將三維空間中封閉體上的散度（Divergence）的三重積分，與其外邊界麯麵上的通量積分聯係起來，闡明瞭場源與穿齣流量之間的關係。 教材特色 嚴謹性與直觀性結閤： 理論推導恪守分析學的嚴格性，同時配有大量幾何圖示和物理背景解釋，幫助學生建立清晰的直觀理解。 注重計算技巧的係統化： 針對工程和物理應用中常見的復雜積分和優化問題，係統總結瞭各種坐標係下的計算策略。 習題體係完善： 課後習題覆蓋瞭從基礎概念驗證到高難度綜閤應用的全方位需求，有助於學生鞏固知識，提升解決復雜問題的能力。 通過對《數學分析（第二冊）：多元微積分》的學習，學生將能夠熟練掌握多變量分析的基本工具，為深入學習高等數學、理論物理、計算科學以及現代工程分析打下堅實而牢固的數學基礎。

評分☆☆☆☆☆

我是一位對數學充滿好奇心的學習者，一直渴望能有一本教材能夠真正“帶我入門”多元微積分。這本《數學分析（第二冊）：多元微積分》確實做到瞭。它在內容組織上獨具匠心，將一些容易混淆的概念，比如偏導數、方嚮導數、梯度，以及散度、鏇度等，進行瞭係統性的梳理和區分。書中的例子非常豐富，而且具有代錶性，能夠幫助我理解抽象的數學概念在實際問題中的應用。例如，在講解重積分的換元法時，它不僅給齣瞭公式，還通過具體的例子，演示瞭如何通過雅可比行列式來進行變量替換，大大簡化瞭積分的計算。我還驚喜地發現，書中對一些數學史上的發展脈絡也有所提及，這讓我在學習數學知識的同時，也能感受到數學發展的源遠流長和背後的人類智慧。這本書的編寫風格，讓我覺得學習過程是一種探索，一種對未知世界的求知過程，而不是機械的記憶和套用。

評分☆☆☆☆☆

當我拿到這本《數學分析（第二冊）：多元微積分》時，我懷著一絲忐忑，畢竟多元微積分一直是許多學生心中的“攔路虎”。然而，這本書的齣現徹底改變瞭我的看法。它並非枯燥乏味的定理堆砌，而是將復雜的數學概念巧妙地融入瞭生動的語言和貼切的例子中。我特彆欣賞作者在講解多重積分時所花費的篇幅，從二重積分到三重積分，再到高維度的推廣，每一步都講解得細緻入微。它不僅給齣瞭計算方法，更深入剖析瞭多重積分的幾何意義——體積、麵積，甚至是更高維度的“量”。麯綫積分和麯麵積分的部分，同樣處理得非常到位，通過對物理量的抽象，如功、流量等，讓讀者在理解數學工具的同時，也體驗到數學在解決實際問題中的強大力量。書中的插圖更是起到瞭畫龍點睛的作用，將抽象的幾何形狀和積分區域以可視化的方式呈現齣來，大大降低瞭理解難度。我嘗試著去做書後的一些習題，發現很多習題都非常有代錶性，能夠鞏固所學知識，並引導我進行更深層次的思考。這本書的編排方式，讓我覺得學習數學不再是一件苦差事，而是一種思維的鍛煉，一種智力的提升。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，在這本《數學分析（第二冊）：多元微積分》之前，我對“分析”這兩個字總是帶著一絲敬畏，總覺得是高深莫測的理論。但是，這本書讓我領略到瞭分析的魅力所在。它在基礎理論的構建上非常紮實，比如對序列和級數收斂性的嚴謹討論，對函數連續性和可微性的深入剖析，這些都為後續更復雜的多元微積分概念奠定瞭堅實的基礎。我尤其喜歡書中關於隱函數定理和反函數定理的闡述，它們在解決實際問題中起著至關重要的作用，而本書的講解，不僅給齣瞭清晰的證明，還配以圖示，讓你能直觀地理解它們的應用場景，比如在參數化麯麵和解方程組等問題上。此外，級數部分，特彆是泰勒級數的展開和應用，更是讓我看到瞭數學工具的強大之處，可以將復雜的函數近似，從而方便計算和分析。這本書的語言風格比較學術，但又不失嚴謹，每一句話都經過推敲，確保概念的準確傳達。它更像是一位嚴謹的學者，在細緻地引導你一步步走嚮真理。

評分☆☆☆☆☆

這本《數學分析（第二冊）：多元微積分》簡直是我進入高階數學殿堂的一盞明燈！翻開它，我立刻被嚴謹的邏輯和清晰的闡述所吸引。不同於以往接觸的數學教材，這本書在概念的引入上做得非常齣色，循序漸進，仿佛一位經驗豐富的老師在耳邊細細講解。它沒有直接丟給你一堆公式和定理，而是從最基本、最直觀的角度齣發，讓你理解多元函數是如何從一元函數拓展而來的，例如，它對空間幾何的描述，對嚮量場的直觀理解，都讓我在腦海中構建起清晰的畫麵。尤其是關於方嚮導數和梯度部分，作者通過大量的幾何解釋和物理背景的聯係，讓我不再覺得這些抽象的概念是空中樓閣，而是與現實世界緊密相連。即使是像散度和鏇度這樣初看有些難以捉摸的概念，在這本書的筆觸下也變得生動起來，仿佛在講述著流體運動的秘密，或者電磁場的奧秘。我尤其喜歡書中對一些證明的詳細推導，每一個邏輯步驟都清晰可見，讓你能夠沿著作者的思路一步步深入，真正理解定理的內涵，而不是死記硬背。閱讀這本書的過程，更像是一次智力探險，充滿瞭發現的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

作為一名正在深入學習數學的學生，《數學分析（第二冊）：多元微積分》對我來說是一次非常寶貴的學習經曆。這本書在數學的嚴謹性方麵做得非常齣色，每一個定理的證明都一絲不苟，每一個公式的推導都邏輯清晰。它讓我深刻理解瞭微積分不僅僅是工具，更是一種思維方式。我尤其欣賞書中對一些關鍵定理的“為什麼”的解答，例如，它會解釋為什麼需要對重積分進行分塊劃分，為什麼函數的可微性比連續性更強等等。這種追根溯源的精神，讓我能夠更深入地理解數學的本質。書中對一些高級概念的引入，如度量空間、拓撲結構等，更是為我打開瞭通往更高階數學的大門，雖然這些內容可能超齣瞭一般本科課程的要求，但它們無疑為我未來的學習提供瞭寶貴的指引。這本書的語言風格相對正式，但邏輯性極強，閱讀它需要一定的專注和思考，但一旦投入其中，便能感受到數學思想的博大精深。