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Alain Connes & 著

圖書標籤:

• 數學
• 非交換幾何
• 代數
• 拓撲學
• 量子物理
• 算子代數
• K理論
• 譜理論
• 泛函分析
• 幾何學

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Academic Press

ISBN：9780121858605

商品編碼：1098256475

包裝：精裝

外文名稱：Noncommutative Geometry

齣版時間：1994-12-01

頁數：661

正文語種：英語

圖書基本信息

Noncommutative Geometry
作者： Alain Connes;
ISBN13： 9780121858605
類型： 精裝(精裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 1994-12-01
齣版社： Academic Press
頁數： 661
重量（剋）： 1365
尺寸： 26.289 x 18.4658 x 3.5306 cm

商品簡介

This English version of the path-breaking French book on this subject gives the definitive treatment of the revolutionary approach to measure theory, geometry, and mathematical physics developed by Alain Connes. Profusely illustrated and invitingly written, this book is ideal for anyone who wants to know what noncommutative geometry is, what it can do, or how it can be used in various areas of mathematics, quantization, and elementary particles and fields.

• First full treatment of the subject and its applications
• Written by the pioneer of this field
• Broad applications in mathematics
• Of interest across most fields
• Ideal as an introduction and survey
• Examples treated include:
• the space of Penrose tilings
• the space of leaves of a foliation
• the space of irreducible unitary representations of a discrete group
• the phase space in quantum mechanics
• the Brillouin zone in the quantum Hall effect
• A model of space time

拓撲弦論中的新視角 本書深入探討瞭弦論在拓撲場論框架下所展現齣的豐富數學結構。重點關注瞭共形場論（Conformal Field Theory, CFT），特彆是那些與二維拓撲量子場論（Topological Quantum Field Theory, TQFT）緊密相關的模型。我們將從基礎的共形對稱性齣發，逐步構建起係統的理論框架，旨在揭示底層幾何結構與量子物理之間的深刻聯係。 第一部分：共形場論基礎與對稱性 本部分將首先奠定理解拓撲弦論所需的數學和物理基礎。 第1章：二維共形場論入門 1.1 場論的重整化群流與尺度不變性： 詳細闡述瞭共形對稱性在量子場論中的精確體現，即李代數$mathfrak{su}(1,1) oplus mathfrak{u}(1)$（或更一般地，無限維的維拉索羅代數（Virassoro Algebra））。我們著重分析中心荷$c$的物理意義，以及它如何量度理論的自由度。 1.2 構造 Verma 模與最小模型： 探討瞭如何利用 Verma 模來構造原初（Primary）算符的錶示。重點分析瞭參數為整數或有理數的最小模型（Minimal Models），它們是研究二維重力與共形場論耦閤的理想平颱。 1.3 算符乘積展開（Operator Product Expansion, OPE）： 詳細講解瞭 OPE 在共形場論中的核心作用，如何通過 OPE 矩陣來捕捉場之間的關聯。 第2章：共形塊與莫雷變換 2.1 響應函數的分解： 介紹如何將關聯函數分解為具有特定對稱性的共形塊（Conformal Blocks）。這些塊本質上是共形群在場空間的錶示的泛函。 2.2 莫雷矩陣與譜隙： 討論瞭莫雷（Crossing Symmetry）的原理，即分析四點函數在不同通道下的變換關係。這一變換由莫雷矩陣描述，該矩陣的特徵值與理論的譜結構緊密相關。 2.3 拓撲場的限製： 分析當中心荷取特定值時（例如$c=0$或$c=1$的某些情形），共形場論如何退化為某種形式的拓撲場論，此時莫雷矩陣結構會極大地簡化。 第二部分：拓撲量子場論與幾何聯係 本部分將側重於將共形場論轉化為真正的拓撲理論，並探討其與代數幾何的交叉點。 第3章：背景無關性與Toda場論 3.1 規範場與背景獨立性： 討論在弦論背景下，如何實現背景獨立性——即理論的物理內容不依賴於特定的背景度規。這通常通過規範場（Gauge Fields）的引入來實現。 3.2 WZNW 模型與 Toda 場論： 深入研究Wess-Zumino-Witten (WZNW) 模型，並展示如何將其推廣到無窮維李群上的 Toda 場論。Toda 場論在研究二維引力背景下的共形場論方麵具有核心地位。 3.3 弦的運動方程與經典極限： 分析在經典極限下，弦的運動方程如何被滿足，以及這如何與 CFT 的 $eta$-函數在低階展開中保持零的要求相對應。 第4章：A型與B型拓撲弦 4.1 維度約化與拓撲規範： 介紹如何通過對世界麵（Worldsheet）的度規進行拓撲規範（Topological Twist），將世界麵上的超共形場論（Superconformal Field Theory, SCFT）約化為純粹的 TQFT。我們區分 A 型（保留復結構）和 B 型（保留辛結構）的拓撲鏇轉。 4.2 A型弦：Kähler幾何的關聯： 詳細分析 A 型拓撲弦如何與目標空間（Target Space）的 Kähler 幾何相關聯。重點講解 Gromov-Witten (GW) 不變量的定義，它們是 A 型弦理論中對不動點（Fixed Points）計數的結果，本質上是代數幾何中穿有理麯綫的計數。 4.3 B型弦：Calabi-Yau 流形的復幾何： 闡述 B 型拓撲弦如何探測目標空間的 Calabi-Yau 流形的復結構參數。研究 B 型鏈復形（B-model Chain Complex）如何直接編碼瞭目標空間的霍奇數和奇點信息。 第三部分：代數結構與幾何對偶 本部分將探討拓撲弦論中湧現齣的深刻的代數結構，特彆是它們如何揭示不同理論之間的對偶性。 第5章：同調代數與鏡像對稱的代數基礎 5.1 拓撲弦中的 KvD 同調： 探討在 A 型和 B 型弦中，關聯函數如何通過對世界麵上的拉普拉斯算符（Laplacian Operator）進行積分，從而轉化為對目標空間上特定差分算子的積分，這與度量同調（Derived Homology）的概念相關。 5.2 奇點理論與鏡像對偶的源頭： 討論在奇點附近，拓撲弦理論展現齣的強大能力。奇點處的物理行為（如拓撲吸引子機製）預示瞭鏡像對偶（Mirror Symmetry）的存在。 5.3 黎曼-希爾伯特對應（RH Correspondence）： 引入黎曼-希爾伯特對應作為理解共形場論中黎曼麯麵上的穿孔（Punctures）和模空間幾何結構的強大工具。 第6章：弦對偶性與幾何重構 6.1 T 對偶性：緊化空間的幾何變換： 討論 T 對偶性（T-Duality）作為一種變換，它將一個背景下的緊化理論等價地映射到另一個背景下的理論。分析 T 對偶如何導緻目標空間的幾何結構發生對偶變換（例如，將一個流形的圓環方嚮上的物理態對偶到另一個流形上的其他自由度）。 6.2 幾何重構與弦場論： 探討如何通過理解拓撲弦的性質，來“重構”齣缺失的幾何信息。這包括弦場論（String Field Theory）中的一些基本概念，特彆是在 B 型弦中，如何用代數方法來描述整個 Calabi-Yau 幾何的結構。 6.3 弦的分類與對應： 總結並對比不同類型的拓撲弦（如 A 型、B 型、以及非超對稱的例子）在不同幾何背景下的行為，強調它們是如何服務於理解更高維度的M理論中的幾何對偶。 本書的最終目標是提供一個清晰的路徑，從基礎的二維量子場論齣發，導嚮描述復雜幾何空間的深刻工具，特彆關注拓撲不變量的計算及其背後的代數結構。

評分☆☆☆☆☆

我以一個物理學傢的視角來審視這本巨著，發現它在數學嚴謹性上無可挑剔，但在與理論物理，尤其是量子場論和弦理論的連接點上，顯得有些疏離和保留。書中大部分篇幅聚焦於非交換環上的譜理論，以及其與拓撲K理論的深層關係，這部分內容是令人振奮的，因為它預示著一種超越經典微分幾何的更基礎的結構。然而，當討論到非交換空間如何被“具體化”為物理實在時，作者的筆鋒顯得有些保守。例如，在涉及到非交換流形或非交換拓撲的物理應用時，討論常常停留在抽象的數學構建層麵，缺乏對物理直覺的充分激發。我期待看到更多關於如何利用這種幾何框架來處理量子不確定性或信息論在引力中的作用的深入探討。總的來說，它為物理學傢提供瞭數學工具箱，但沒有明確指齣如何用這些工具去撬動宇宙的奧秘，使得閱讀體驗更像是純粹的智力體操，而非探索未知的航行。

評分☆☆☆☆☆

我嘗試將《非交換幾何》作為一本自我學習的教材來使用，結果發現它更像是一本充滿預設知識的“內部講義”。作者默認讀者對許多前沿數學分支（如簇論、算子代數、甚至某些層論的細節）已經瞭如指掌。當你試圖在書中尋找關於某個核心概念（比如一個特定的縴維叢的非交換推廣）的詳細背景介紹時，你通常隻會得到一個簡短的引用，然後被要求去查閱另外三本相關的、同樣難度極高的專業書籍。這種“引用依賴性”使得任何想要從零開始掌握非交換幾何的讀者都感到精疲力盡。它像是一場高水平的專業研討會記錄，而不是一次循序漸進的教學展示。對於那些希望通過這本書建立堅實基礎，並最終能夠獨立進行研究的讀者而言，這本書提供的幫助是有限的，它更像是給已經站在門口的人遞上的最後一張地圖，而不是通往入口的嚮導。

評分☆☆☆☆☆

這本《非交換幾何》的書絕對是數學界的一座巍峨燈塔，但對於初涉此領域的讀者來說，它更像是一座需要攀登的珠穆朗瑪峰。我花瞭數月時間，試圖在浩如煙海的符號和抽象概念中找到一絲清晰的脈絡。作者在介紹黎曼幾何、拓撲學等傳統概念時，展現瞭深厚的功底，但當他開始引入由格羅滕迪剋和亞曆山大·格羅滕迪剋發展起來的範疇論工具時，那種難度陡增的陡峭感讓人喘不過氣。書中對代數K理論和L理論的闡述，雖然邏輯嚴密，但缺乏足夠的直觀例子來輔助理解。我感覺自己像是被扔進瞭一個純粹由概念構成的迷宮，每一步都必須依靠極其精確的邏輯推理纔能前進，稍微一分心，就會迷失方嚮。我特彆希望書中能有更多的圖示，哪怕是對更高維空間結構的類比，也能幫助讀者更好地建立心智模型。這本書無疑是給已經具備紮實代數幾何和拓撲學背景的研究人員準備的，它更像是一本權威的參考手冊，而不是一本友好的入門教材。它的價值在於其內容的深度和廣度，而非易讀性。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和符號係統簡直是一場視覺的災難，特彆是對於習慣瞭清晰圖錶和流暢敘事的讀者來說。每一頁都密密麻麻地塞滿瞭復雜的公式和希臘字母，作者似乎完全沒有考慮到閱讀體驗的流暢性。常常需要反復翻閱好幾頁，纔能確定前麵提到的某個引理中的符號在當前章節中是否有被重新定義，這種上下文的切換成本極高。更令人沮喪的是，很多關鍵性的定義和定理之間的過渡顯得異常生硬，仿佛作者隻是將一係列已經存在於他腦海中的論證片段粗暴地拼接在一起。我不得不承認，書中的核心思想——用代數結構取代傳統的點集幾何——是革命性的，但呈現方式卻極為晦澀。我幾乎需要為每一個數學對象都準備一個外部的筆記本，用我自己的語言和圖示重新繪製一遍，纔能勉強跟上作者的思路，這極大地拖慢瞭學習進度。

評分☆☆☆☆☆

這本書的寫作風格透露齣一種不容置疑的權威感，這既是優點也是缺點。作者對非交換幾何的整個哲學框架的把握是無與倫比的，他對“空間”概念的重新定義——即空間不再是點的集閤，而是其上的函數代數的錶示——是極具洞察力的。然而，這種權威性也帶來瞭一種傲慢的疏離感。書中很少有“讓我們用一個簡單的例子來看看會發生什麼”這樣的鼓勵性語句。所有的論證都以一種極其抽象和宏大的視角展開，強調的是結構之間的和諧與統一性，而非具體操作的可行性。我個人非常欣賞這種純粹的數學美學追求，但對於需要通過具體案例來內化抽象概念的學習者來說，這種體驗是冷峻而缺乏溫度的。這本書更像是對一個已經成熟的理論體係進行的完美、但略顯冰冷的官方宣言。