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Alain Connes & 著

图书标签:

• 数学
• 非交换几何
• 代数
• 拓扑学
• 量子物理
• 算子代数
• K理论
• 谱理论
• 泛函分析
• 几何学

店铺： 澜瑞外文Lanree图书专营店

出版社： Academic Press

ISBN：9780121858605

商品编码：1098256475

包装：精装

外文名称：Noncommutative Geometry

出版时间：1994-12-01

页数：661

正文语种：英语

图书基本信息

Noncommutative Geometry
作者： Alain Connes;
ISBN13： 9780121858605
类型： 精装(精装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 1994-12-01
出版社： Academic Press
页数： 661
重量（克）： 1365
尺寸： 26.289 x 18.4658 x 3.5306 cm

商品简介

This English version of the path-breaking French book on this subject gives the definitive treatment of the revolutionary approach to measure theory, geometry, and mathematical physics developed by Alain Connes. Profusely illustrated and invitingly written, this book is ideal for anyone who wants to know what noncommutative geometry is, what it can do, or how it can be used in various areas of mathematics, quantization, and elementary particles and fields.

• First full treatment of the subject and its applications
• Written by the pioneer of this field
• Broad applications in mathematics
• Of interest across most fields
• Ideal as an introduction and survey
• Examples treated include:
• the space of Penrose tilings
• the space of leaves of a foliation
• the space of irreducible unitary representations of a discrete group
• the phase space in quantum mechanics
• the Brillouin zone in the quantum Hall effect
• A model of space time

拓扑弦论中的新视角 本书深入探讨了弦论在拓扑场论框架下所展现出的丰富数学结构。重点关注了共形场论（Conformal Field Theory, CFT），特别是那些与二维拓扑量子场论（Topological Quantum Field Theory, TQFT）紧密相关的模型。我们将从基础的共形对称性出发，逐步构建起系统的理论框架，旨在揭示底层几何结构与量子物理之间的深刻联系。 第一部分：共形场论基础与对称性 本部分将首先奠定理解拓扑弦论所需的数学和物理基础。 第1章：二维共形场论入门 1.1 场论的重整化群流与尺度不变性： 详细阐述了共形对称性在量子场论中的精确体现，即李代数$mathfrak{su}(1,1) oplus mathfrak{u}(1)$（或更一般地，无限维的维拉索罗代数（Virassoro Algebra））。我们着重分析中心荷$c$的物理意义，以及它如何量度理论的自由度。 1.2 构造 Verma 模与最小模型： 探讨了如何利用 Verma 模来构造原初（Primary）算符的表示。重点分析了参数为整数或有理数的最小模型（Minimal Models），它们是研究二维重力与共形场论耦合的理想平台。 1.3 算符乘积展开（Operator Product Expansion, OPE）： 详细讲解了 OPE 在共形场论中的核心作用，如何通过 OPE 矩阵来捕捉场之间的关联。 第2章：共形块与莫雷变换 2.1 响应函数的分解： 介绍如何将关联函数分解为具有特定对称性的共形块（Conformal Blocks）。这些块本质上是共形群在场空间的表示的泛函。 2.2 莫雷矩阵与谱隙： 讨论了莫雷（Crossing Symmetry）的原理，即分析四点函数在不同通道下的变换关系。这一变换由莫雷矩阵描述，该矩阵的特征值与理论的谱结构紧密相关。 2.3 拓扑场的限制： 分析当中心荷取特定值时（例如$c=0$或$c=1$的某些情形），共形场论如何退化为某种形式的拓扑场论，此时莫雷矩阵结构会极大地简化。 第二部分：拓扑量子场论与几何联系 本部分将侧重于将共形场论转化为真正的拓扑理论，并探讨其与代数几何的交叉点。 第3章：背景无关性与Toda场论 3.1 规范场与背景独立性： 讨论在弦论背景下，如何实现背景独立性——即理论的物理内容不依赖于特定的背景度规。这通常通过规范场（Gauge Fields）的引入来实现。 3.2 WZNW 模型与 Toda 场论： 深入研究Wess-Zumino-Witten (WZNW) 模型，并展示如何将其推广到无穷维李群上的 Toda 场论。Toda 场论在研究二维引力背景下的共形场论方面具有核心地位。 3.3 弦的运动方程与经典极限： 分析在经典极限下，弦的运动方程如何被满足，以及这如何与 CFT 的 $eta$-函数在低阶展开中保持零的要求相对应。 第4章：A型与B型拓扑弦 4.1 维度约化与拓扑规范： 介绍如何通过对世界面（Worldsheet）的度规进行拓扑规范（Topological Twist），将世界面上的超共形场论（Superconformal Field Theory, SCFT）约化为纯粹的 TQFT。我们区分 A 型（保留复结构）和 B 型（保留辛结构）的拓扑旋转。 4.2 A型弦：Kähler几何的关联： 详细分析 A 型拓扑弦如何与目标空间（Target Space）的 Kähler 几何相关联。重点讲解 Gromov-Witten (GW) 不变量的定义，它们是 A 型弦理论中对不动点（Fixed Points）计数的结果，本质上是代数几何中穿有理曲线的计数。 4.3 B型弦：Calabi-Yau 流形的复几何： 阐述 B 型拓扑弦如何探测目标空间的 Calabi-Yau 流形的复结构参数。研究 B 型链复形（B-model Chain Complex）如何直接编码了目标空间的霍奇数和奇点信息。 第三部分：代数结构与几何对偶 本部分将探讨拓扑弦论中涌现出的深刻的代数结构，特别是它们如何揭示不同理论之间的对偶性。 第5章：同调代数与镜像对称的代数基础 5.1 拓扑弦中的 KvD 同调： 探讨在 A 型和 B 型弦中，关联函数如何通过对世界面上的拉普拉斯算符（Laplacian Operator）进行积分，从而转化为对目标空间上特定差分算子的积分，这与度量同调（Derived Homology）的概念相关。 5.2 奇点理论与镜像对偶的源头： 讨论在奇点附近，拓扑弦理论展现出的强大能力。奇点处的物理行为（如拓扑吸引子机制）预示了镜像对偶（Mirror Symmetry）的存在。 5.3 黎曼-希尔伯特对应（RH Correspondence）： 引入黎曼-希尔伯特对应作为理解共形场论中黎曼曲面上的穿孔（Punctures）和模空间几何结构的强大工具。 第6章：弦对偶性与几何重构 6.1 T 对偶性：紧化空间的几何变换： 讨论 T 对偶性（T-Duality）作为一种变换，它将一个背景下的紧化理论等价地映射到另一个背景下的理论。分析 T 对偶如何导致目标空间的几何结构发生对偶变换（例如，将一个流形的圆环方向上的物理态对偶到另一个流形上的其他自由度）。 6.2 几何重构与弦场论： 探讨如何通过理解拓扑弦的性质，来“重构”出缺失的几何信息。这包括弦场论（String Field Theory）中的一些基本概念，特别是在 B 型弦中，如何用代数方法来描述整个 Calabi-Yau 几何的结构。 6.3 弦的分类与对应： 总结并对比不同类型的拓扑弦（如 A 型、B 型、以及非超对称的例子）在不同几何背景下的行为，强调它们是如何服务于理解更高维度的M理论中的几何对偶。 本书的最终目标是提供一个清晰的路径，从基础的二维量子场论出发，导向描述复杂几何空间的深刻工具，特别关注拓扑不变量的计算及其背后的代数结构。

评分☆☆☆☆☆

这本书的写作风格透露出一种不容置疑的权威感，这既是优点也是缺点。作者对非交换几何的整个哲学框架的把握是无与伦比的，他对“空间”概念的重新定义——即空间不再是点的集合，而是其上的函数代数的表示——是极具洞察力的。然而，这种权威性也带来了一种傲慢的疏离感。书中很少有“让我们用一个简单的例子来看看会发生什么”这样的鼓励性语句。所有的论证都以一种极其抽象和宏大的视角展开，强调的是结构之间的和谐与统一性，而非具体操作的可行性。我个人非常欣赏这种纯粹的数学美学追求，但对于需要通过具体案例来内化抽象概念的学习者来说，这种体验是冷峻而缺乏温度的。这本书更像是对一个已经成熟的理论体系进行的完美、但略显冰冷的官方宣言。

评分☆☆☆☆☆

这本《非交换几何》的书绝对是数学界的一座巍峨灯塔，但对于初涉此领域的读者来说，它更像是一座需要攀登的珠穆朗玛峰。我花了数月时间，试图在浩如烟海的符号和抽象概念中找到一丝清晰的脉络。作者在介绍黎曼几何、拓扑学等传统概念时，展现了深厚的功底，但当他开始引入由格罗滕迪克和亚历山大·格罗滕迪克发展起来的范畴论工具时，那种难度陡增的陡峭感让人喘不过气。书中对代数K理论和L理论的阐述，虽然逻辑严密，但缺乏足够的直观例子来辅助理解。我感觉自己像是被扔进了一个纯粹由概念构成的迷宫，每一步都必须依靠极其精确的逻辑推理才能前进，稍微一分心，就会迷失方向。我特别希望书中能有更多的图示，哪怕是对更高维空间结构的类比，也能帮助读者更好地建立心智模型。这本书无疑是给已经具备扎实代数几何和拓扑学背景的研究人员准备的，它更像是一本权威的参考手册，而不是一本友好的入门教材。它的价值在于其内容的深度和广度，而非易读性。

评分☆☆☆☆☆

我以一个物理学家的视角来审视这本巨著，发现它在数学严谨性上无可挑剔，但在与理论物理，尤其是量子场论和弦理论的连接点上，显得有些疏离和保留。书中大部分篇幅聚焦于非交换环上的谱理论，以及其与拓扑K理论的深层关系，这部分内容是令人振奋的，因为它预示着一种超越经典微分几何的更基础的结构。然而，当讨论到非交换空间如何被“具体化”为物理实在时，作者的笔锋显得有些保守。例如，在涉及到非交换流形或非交换拓扑的物理应用时，讨论常常停留在抽象的数学构建层面，缺乏对物理直觉的充分激发。我期待看到更多关于如何利用这种几何框架来处理量子不确定性或信息论在引力中的作用的深入探讨。总的来说，它为物理学家提供了数学工具箱，但没有明确指出如何用这些工具去撬动宇宙的奥秘，使得阅读体验更像是纯粹的智力体操，而非探索未知的航行。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和符号系统简直是一场视觉的灾难，特别是对于习惯了清晰图表和流畅叙事的读者来说。每一页都密密麻麻地塞满了复杂的公式和希腊字母，作者似乎完全没有考虑到阅读体验的流畅性。常常需要反复翻阅好几页，才能确定前面提到的某个引理中的符号在当前章节中是否有被重新定义，这种上下文的切换成本极高。更令人沮丧的是，很多关键性的定义和定理之间的过渡显得异常生硬，仿佛作者只是将一系列已经存在于他脑海中的论证片段粗暴地拼接在一起。我不得不承认，书中的核心思想——用代数结构取代传统的点集几何——是革命性的，但呈现方式却极为晦涩。我几乎需要为每一个数学对象都准备一个外部的笔记本，用我自己的语言和图示重新绘制一遍，才能勉强跟上作者的思路，这极大地拖慢了学习进度。

评分☆☆☆☆☆

我尝试将《非交换几何》作为一本自我学习的教材来使用，结果发现它更像是一本充满预设知识的“内部讲义”。作者默认读者对许多前沿数学分支（如簇论、算子代数、甚至某些层论的细节）已经了如指掌。当你试图在书中寻找关于某个核心概念（比如一个特定的纤维丛的非交换推广）的详细背景介绍时，你通常只会得到一个简短的引用，然后被要求去查阅另外三本相关的、同样难度极高的专业书籍。这种“引用依赖性”使得任何想要从零开始掌握非交换几何的读者都感到精疲力尽。它像是一场高水平的专业研讨会记录，而不是一次循序渐进的教学展示。对于那些希望通过这本书建立坚实基础，并最终能够独立进行研究的读者而言，这本书提供的帮助是有限的，它更像是给已经站在门口的人递上的最后一张地图，而不是通往入口的向导。