非线性物理科学：微分方程群性质理论讲义 [Lectures on the Theory of Group Properties of Differential Equations] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[俄] 奥夫斯亚尼科夫 著，罗朝俊，[瑞典] 伊布拉基莫夫 编

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• 非线性物理
• 微分方程
• 群性质
• 李群
• 对称性
• 守恒律
• 偏微分方程
• 常微分方程
• 数学物理
• 理论物理

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040369441

版次：1

商品编码：11216143

包装：精装

丛书名： 非线性物理科学

外文名称：Lectures on the Theory of Group Properties of Differential Equations

开本：16开

出版时间：2013-04-01

用纸：胶版纸

内容简介

　　《非线性物理科学：微分方程群性质理论讲义》提供了确定和利用微分方程对称性的李群方法简明和清晰的介绍，并提供了在气体动力学和其他非线性模型中的大量应用，以及《非线性物理科学：微分方程群性质理论讲义》作者在这个经典领域的卓越贡献。《非线性物理科学：微分方程群性质理论讲义》中还包含在其他现代书籍中不曾涉及的一些非常有刚的材料，例如：Ovsyannikow教授发展的部分不变解理论，该理论提供了求解非线性微分方程和研究复杂数学模型强有力的工具。

作者简介

　　L.V.Ovsyannikov，教授是20世纪60年代促进恢复微分方程群分析研究的领军科学家。他在不变解和部分不变解理论、微分方程群分类以及流体力学中的应用方面作出了基础性的贡献。在Ovsyannikow教授的影响下，李群分析目前已经发展成应用数学方面相当活跃的领域。

内页插图

目录

Editor's preface
Preface

1 One-parameter continuous transformation groups admitted by differential equations
1.1 One-parameter continuous transformation group
1.1.1 Definition
1.1.2 Canonical parameter
1.1.3 Examples
1.1.4 Auxiliary functions of groups
1.2 Infinitesimal operator of the group
1.2.1 Definition and examples
1.2.2 Transformation of functions
1.2.3 Change of coordinates
1.3 Invariants and invariant manifolds
1.3.1 Invariants
1.3.2 Invariant manifolds
1.3.3 Invariance of regularly defined manifolds
1.4 Theory of prolongation
1.4.1 Prolongation of the space
1.4.2 Prolonged group
1.4.3 First prolongation of the group operator
1.4.4 Second prolongation of the group operator
1.4.5 Properties of prolongations of operators
1.5 Groups admitted by differentialequations
1.5.1 Determining equations
1.5.2 First-order ordinary differential equations
1.5.3 Second-orderordinarydifferentialequations
1.5.4 Heat equation
1.5.5 Gasdynamic equations
1.6 Lie algebra of operators
1.6.1 Commutator. Definition of a Lie algebra
1.6.2 Properties of commutator
1.6.3 Lie algebra of admitted operators

2 Lie algebras and local Lie groups
2.1 Lie algebra
2.1.1 Definition and examples
2.1.2 Subalgebra and ideal
2.1.3 Structure of finite-dimensionalLie algebras
2.2 Adjoint algebra
2.2.1 Inner derivation
2.2.2Adjoint algebra
2.2.3 Inner automorphisms of a Lie algebra.
2.3 Local Lie group
2.3.1 Coordinates in a group
2.3.2 Subgroups
2.3.3 Canonical coordinates of the first kind
2.3.4 First fundamental theorem of Lie
2.3.5 Second fundamental theorem of Lie
2.3.6 Properties ofcanonicalcoordinate systems of the first kind
2.3.7 Third fundamental theorem of Lie
2.3.8 Lie algebra of a local Lie group
2.4 Subgroup, normal subgroup and factor group
2.4.1 Lemma on commutator
2.4.2 Subgroup
2.4.2 Subgroup
2.4.3 Normal subgroup
2.4.4 Factor grop
2.5 Inner automorphisms of a group and of its Lie algebra
2.5.1 Inner automorphism.
2.5.2 Lie algebra of GA and adjoint algebra of Lr
2.6 Local Lie group of transformations
2.6.1 Introduction
2.6.2 Lie's first theorem.
2.6.3 Lie's second theorem
2.6.4 Canonical coordinates of the second kind

3 Group invariant solutions of differential equations
3.1 Invariants of the group GNr
3.1.1 Invariance criterion
3.1.2 Functional independence
3.1.3 Linearly unconnected operators
3.1.4 Integration of jacobian systems
3.1.5 Computation ofinvariance
……

前言/序言

　　The theory of differential equations has two aspects of investigation，namely local and global，no matter whether the equations arise from applied problems of physics and mechanics or from abstract speculations （which is rather frequent in modern mathematics）.The local aspect is characterized by dealing with the inner structure of a family of solutions and its investigation in a neighborhood of a certain point.The global approach deals with solutions definedin some domain and having a given behavior on its boundary.
　　It would certainly be erroneous to oppose these directions to each other.However，it is no good to ignore the differences in approaches either.While the global approach necessitates the functional analytic apparatus，the local viewpoint allows one to get along with algebraic means only.A brilliant example of a profound local consideration is the famous Cauchy-Kovalevskaya theorem which is，in fact，an algebraic statement.Moreover，it is an easy matter to notice that the theory of boundary value problems also makes an essential application of various algebraic properties of the whole family of solutions. Therefore，the local aspect of the algebraic theory of differential equations is quite vital.

物理科学中的微分方程与对称性：一个导论 本书旨在为物理、数学以及相关工程领域的研究人员和高级学生提供一个深入而全面的视角，探讨微分方程在描述自然现象中的核心作用，并着重阐述对称性理论在解决这些方程中所扮演的关键角色。我们摒弃了对特定“非线性物理科学”领域（如您提到的那本特定书籍所涵盖的主题）的直接深入，而是将重点放在支撑更广泛物理现象的微分方程的结构特性、解析方法以及其背后深刻的群论基础。 全书分为三个主要部分：基础理论、经典应用与现代方法。 第一部分：微分方程的基础结构与解析工具 本部分旨在巩固读者对常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）基本框架的理解，并引入分析和数值求解的基石。 第一章：微分方程的分类与定性分析 我们将从基础的线性与非线性、常微分与偏微分方程的分类开始。重点在于理解解的存在性、唯一性以及定性行为。对于常微分方程，我们将详述相空间分析，包括平衡点、极限环和分岔现象的初步介绍。对于偏微分方程，我们将系统地回顾经典的热传导、波动和拉普拉斯方程，分析它们的特征线和基本解的构造。非线性方程的定性理解将通过简单的案例展示，为后续引入更高级的对称性工具做好铺垫。 第二章：积分、级数解法与特解的构造 本章回顾并深化了求解初等微分方程的经典技巧。我们将详细讨论如何利用积分因子、分离变量法和变数代换法构造解析解。对于无法求出封闭形式解的方程，幂级数展开法（泰勒级数和弗罗贝尼乌斯方法）被详细阐述，并讨论其收敛性和有效性区间。本章特别关注如何利用积分变换（如傅里叶变换和拉普拉斯变换）来简化或求解具有特定边界条件的线性 PDE。 第三章：变分原理与泛函分析的初步接触 微分方程的许多物理背景都源于变分原理，例如最小作用量原理。本章将介绍欧拉-拉格朗日方程的推导，并将其作为求解物理系统演化方程的统一框架。我们将介绍泛函导数的概念，并初步探讨泛函分析中的希尔伯特空间与索博列夫空间的基本结构，这些工具是理解现代 PDE 理论（如弱解概念）的关键。 --- 第二部分：对称性与守恒律的深刻联系 本部分是本书的核心，它将物理直觉与严格的数学结构——李群理论——相结合，揭示微分方程的内在对称性如何直接导出守恒定律。 第四章：李群基础与微分方程的对称性 我们首先介绍连续群的定义、李群和李代数的基本概念，包括生成元、指数映射和伴随表示。随后，我们将把这些概念应用于微分方程本身。重点在于无穷小对称性的定义，即寻找作用于自变量和因变量的向量场，使得方程形式保持不变。我们将详细演示如何通过求解伴随方程（决定方程）来系统地找到微分方程的所有连续对称性。 第五章：诺特定理的严格推导与应用 基于第四章的对称性分析，本章将严格推导并阐述著名的诺特定理。该定理将微分方程的每一个连续对称性与一个独立的守恒量联系起来。我们将通过多个具有代表性的物理例子（如自由粒子运动方程、经典场论中的拉格朗日密度）来演示这一过程，展示如何从基本物理对称性（如时间平移、空间平移和旋转）系统地导出能量、动量和角动量守恒。 第六章：对称性在降阶与解析求解中的作用 诺特定理不仅导出守恒律，它还是一个强大的求解工具。本章探讨如何利用已知的对称性来降低微分方程的阶数。对于 ODE，一个守恒量可以被视为一个“first integral”，从而将 $n$ 阶方程降阶为 $(n-1)$ 阶。对于 PDE，对称性可以被用于寻找特定的解析解族或构建相似解（invariant solutions），这在处理涉及尺度变换的问题时尤其有效。 --- 第三部分：高级课题与现代方法论 本部分将超越基础的连续对称性，探讨离散对称性、反演对称性以及更深层次的代数结构在现代物理建模中的作用。 第七章：反演对称性与保守定律的另一种视角 除了李群带来的连续对称性，一些方程还拥有反演对称性（或称二叉对称性，Bäcklund transformations）。本章探讨这类更复杂的变换，它们通常不直接对应于李群的生成元，但却能在方程之间建立联系。我们将讨论如何利用 Bäcklund 变换来生成新的精确解，特别是对于二阶拟线性 PDE。 第八章：微分方程的差分近似与离散对称性 在数值模拟中，微分方程被离散化为代数方程组。本章侧重于数值方法的一致性和稳定性分析，但更重要的是，探讨离散微分算子的对称性。如果一个离散格式能够保留原连续方程的某些关键对称性（如守恒律），那么该格式通常具有更高的稳定性和物理保真度。我们将考察有限差分和有限体积法中的对称性保持问题。 第九章：可积系统与代数几何的交汇 本章将触及微分方程理论的前沿领域——可积系统。我们将介绍 KdV 方程、非线性薛定谔方程等经典可积 PDE 的背景，并介绍劳斯-拉克斯对（Lax pairs）的概念，即如何将一个 PDE 转化为一组演化矩阵，从而利用谱理论来寻找精确解。最后，简要介绍代数几何在理解这些系统解的周期性结构和构造拟周期解方面的作用。 总结 本书通过系统地整合经典分析技术与现代群论方法，旨在展示微分方程作为物理语言的内在一致性和深刻的数学结构。它不仅仅是一本关于“如何求解”的指南，更是一部关于“为何这些方程以特定形式存在”的探索，强调了对称性在揭示物理定律深层规律中的核心地位。读者在完成本书后，将具备运用先进的对称性工具来分析和求解复杂物理系统方程的坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

当我在书店的架子上看到这本书时，它的名字立刻吸引了我的注意。虽然我并非科班出身的数学或物理专业人士，但“非线性”和“微分方程”这两个词汇唤起了我对很多现实世界问题的联想。我想，这本书或许能为我提供一种理解复杂系统的新视角。我经常思考，为什么同样的物理定律在不同的尺度下会展现出截然不同的行为？为什么有些系统看似随机，但又似乎遵循着某种潜在的秩序？这本书的副标题“微分方程群性质理论讲义”让我觉得，它可能是在试图揭示这些看似混乱现象背后的统一性原理，通过群的对称性来理解微分方程的解空间的结构，从而解释不同非线性现象的共性。我希望这本书能够提供一些直观的解释和类比，帮助我这样的非专业读者也能领略到其中精妙之处。它是否会介绍一些历史上的经典案例，展示理论的发展历程？我对它能否激发我的研究兴趣，或者为我解决实际工作中的某些难题提供灵感，抱有很大的期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和字体选择都非常用心，阅读体验着实不错。我承认，对于“微分方程群性质理论”这个概念，我之前涉猎不多，甚至可以说是一窍不通。但是，我一直坚信，好的教材能够将最复杂的概念以最清晰易懂的方式呈现出来。我希望这本书能够做到这一点，它是否会从最基础的群论概念讲起，然后逐步引入微分方程的应用？我特别好奇书中是否会包含一些具体的物理模型作为例子，来生动地解释这些抽象的数学理论。例如，它会不会讨论洛伦兹吸引子、混沌振子，或者更广泛意义上的动力学系统中的对称性问题？我希望书中能够提供一些引导性的练习题，帮助我巩固所学知识，并培养独立解决问题的能力。这本书给我的第一印象是，它并非是那种泛泛而谈的科普读物，而是一本真正深入探讨某个专业领域的学术专著，其严谨的学术态度是显而易见的。即使我一开始感到些许吃力，我也愿意投入时间和精力去理解它所传达的深刻思想。

评分☆☆☆☆☆

从书名来看，这本书的定位似乎相当专业，而且可能偏向于理论研究。我本身对微分方程在描述物理现象方面的应用一直很感兴趣，特别是那些非线性的、难以解析求解的问题。而“群性质”这个概念，对我来说则是一个全新的领域。我猜测，这本书可能是在探讨如何利用群论的强大工具来分析微分方程的性质，例如，通过群的对称性来简化方程求解，或者发现解的某些不变性。这是否意味着，这本书会介绍一些高级的群论概念，并将其与微分方程的解空间结构相结合？我特别想知道，书中是否会涉及李群、李代数等在物理学和数学中非常重要的概念。如果这本书能够清晰地讲解这些概念，并展示它们在解决非线性物理问题中的具体应用，那么它将对我来说是极具价值的。我希望这本书能够提供严谨的数学推导，同时也兼顾理论的物理意义，能够让我深刻理解群论是如何揭示非线性系统内在规律的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常吸引人，那种深邃的蓝色背景和银色字体，总让人联想到宇宙的奥秘和数学的严谨。我尤其喜欢它所传达出的那种“前沿”的学术气息。虽然我对书名中的“非线性物理科学”和“微分方程群性质理论”这些术语感到有些陌生，但直觉告诉我，这一定是一本能够拓展我思维边界的书。我一直对那些看似混乱无序的现象背后隐藏的规律和结构着迷，比如天气变化、流体动力学中的涡旋，甚至是生物种群的演变。我知道微分方程在描述这些现象中扮演着至关重要的角色，而“群性质”这个词汇则暗示了一种更深层次的、关于对称性和不变性的理解，这让我异常兴奋。我猜想，这本书或许会带领我从全新的角度去审视这些复杂的系统，理解它们为何会呈现出特定的行为模式，以及这些模式之间可能存在的深刻联系。我渴望能够从中学习到一套强大的分析工具，能够帮助我剥离现象的表象，触及到其内在的本质。这本书仿佛是一扇通往更广阔知识领域的大门，我迫不及待地想推开它，去探索那些未知的风景。

评分☆☆☆☆☆

我拿起这本书，首先被它厚实的纸张和精致的装帧所吸引，这让我感觉到这是一本值得认真对待的学术著作。我对“非线性物理科学”领域一直怀有浓厚的兴趣，因为现实世界中的许多现象，从宇宙的演化到微观粒子的行为，都表现出显著的非线性特征。而“微分方程”无疑是描述这些现象的语言。然而，“群性质理论”这个词组对我来说相对陌生。我猜测，这本书可能是在用一种更加深刻和系统的方式来研究微分方程，通过群论的视角去发现和理解微分方程解的对称性、不变性以及它们所对应的物理意义。这是否意味着，这本书会涉及一些非常抽象和高等的数学概念？我期望它能循序渐进地引导读者进入这个领域，从基本的群概念讲起，然后逐渐深入到与微分方程相关的群理论。它是否会提供一些算法或者计算方法，来帮助我们分析复杂的非线性系统？我希望这本书能够拓展我解决问题的思路，让我能够更好地理解和描述非线性的物理世界。