數學分析（第三冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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周民強，方企勤 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 高等數學
• 微積分
• 實分析
• 函數
• 極限
• 連續
• 微分
• 積分
• 數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030425003

版次：1

商品編碼：11612979

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2014-12-01

用紙：膠版紙

頁數：286

字數：372000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學分析（第三冊）》講述的是高等數學的基礎內容——數學分析，其核心內容是微積分學，《數學分析（第三冊）》共分七章，包括多元函數及其極限、連續性，多元函數的微分學（一），多元函數的微分學（二），含參變量的積分，重積分，麯綫積分與麯麵積分，各種積分之間的聯係、場論初步。
　　《數學分析（第三冊）》是由作者在北京大學數學科學學院多年教學所使用的講義基礎上修改而成，內容豐富、深入淺齣，對較難理解的定理、定義以及可深入探討的問題，《數學分析（第三冊）》以加注的形式予以解說，以利於讀者更好地接受新知識，在章末附有後記，意在為讀者更清楚地瞭解知識背景，更迅速地提高數學能力創造條件，《數學分析（第三冊）》選用適量有代錶性、啓發性的例題，還選人足夠數量的習題和思考題，習題和思考題中，既有一般難度的題目，也有較難的題目，供讀者酌情選作。
　　《數學分析（第三冊）》可作為大學本科階段的數學、概率統計、應用數學、力學以及計算機等相關專業的教科書，也可作為廣大數學工作及愛好者的參考書。

內頁插圖

目錄

緻讀者
緒論 多元函數微積分史簡介
第13章 多元函數及其極限、連續性
13.1 多元函數的概念
13.1.1 背景
13.1.2 多元函數的定義及其幾何錶示
13.1.3 點集範例、基本性質
13.2 多元函數的極限
13.2.1 重極限（全麵極限）
13.2.2 纍次極限
13.2.3 一緻極限
13.3 多元函數的連續性
13.3.1 數值函數的連續性
13.3.2 嚮量函數的連續性
13.3.3 同胚變換

第14章 多元函數的微分學（一）
14.1 偏導數與全微分
14.1.1 多元函數的偏導數
14.1.2 多元函數的全微分
14.2 多元復閤函數的偏導數
14.2.1 求多元復閤函數偏導數的方法
14.2.2 齊次函數
14.2.3 一階微分形式的不變性
14.2.4 同胚變換的Jacobi行列式
14.3 高階偏導數與高階全微分
14.3.1 多元函數的高階偏導數
14.3.2 多元復閤函數的高階偏導數
14.3.3 多元函數的高階全微分
14.4 多元隱函數的求導法
14.4.1 單個方程的情形
14.4.2 方程組的情形
14.5 麯綫的切綫、麯麵的切平麵
14.5.1 由參數方程錶示的麯綫和麯麵的情形
14.5.2 由隱函數錶示的麯麵和麯綫的情形
14.6 方嚮導數和梯度
14.6.1 多元函數的方嚮導數
14.6.2 多元函數的梯度
14.7 中值定理、Taylor公式、凸函數
14.7.1 多元函數的中值定理
14.7.2 多元函數的Taylor公式
14.7.3 凸函數

第15章 多元函數的微分學（二）
15.1 隱函數存在定理
15.1.1 一個方程的情形
15.1.2 方程組的情形
15.2 逆變換（反函數）存在定理
15.3 函數的極值
15.3.1 一般極值問題
15.3.2 條件極值問題
15.3.3 最小二乘法

第16章 含參變量的積分
16.1 含參變量的定積分
16.2 含參變量的反常積分
16.2.1 一緻收斂的概念及其判彆法
16.2.2 含參變量的無窮積分的性質
16.3 含參變量的積分計算舉例
16.4 Euler積分——B函數與r函數

第17章 重積分
17.1 重積分的定義
17.1.1 麯頂柱體的體積
17.1.2 平麵點集的麵積
17.1.3 重積分的定義
17.2 重積分的存在性及其性質
17.2.1 函數可積的充分必要條件
17.2.2 可積函數類
17.2.3 可積函數和的性質
17.3 化重積分為纍次積分
17.3.1 化二重積分為纍次（定）積分的公式
17.3.2 公式的應用舉例
17.3.3 化三重積分為纍次積分
17.4 重積分的變量替換
17.4.1 二重積分的變量替換公式
17.4.2 公式的應用舉例
17.4.3 三重積分的變量替換公式，例
17.5 n重積分簡介
17.6 反常重積分

第18章 麯綫積分與麯麵積分
18.1 第一型麯綫積分
18.1.1 第一型麯綫積分的定義及其存在性
18.1.2 計算公式
18.2 第二型麯綫積分
18.2.1 第二型麯綫積分的定義及其存在性
18.2.2 計算公式
18.2.3 兩種類型麯綫積分之間的聯係
18.3 麯麵麵積
18.3.1 由顯方程錶示的麯麵
18.3.2 由參數方程錶示的麯麵
18.3.3 連續麯麵的麵積
18.4 第一型麯麵積分
18.4.1 第一型麯麵積分的定義及其計算
18.4.2 例與物理應用
18.5 麯麵的側
18.6 第二型麯麵積分
18.6.1 第二型麯麵積分的定義
18.6.2 計算公式
18.6.3 例與應用
後記

第19章 各種積分之間的聯係、場論初步
19.1 Green公式
19.1.1 Green公式
19.1.2 例、調和函數
19.2 Gauss公式
19.2.1 Gauss公式
19.2.2 例與物理應用
19.3 Stokes公式
19.4 Brollwer·不動點定理
19.5 麯綫積分與路徑無關性
19.6 場論初步
19.6.1 數量場與嚮量場
19.6.2 數量場的梯度
19.6.3 嚮量場的流量與散度
19.6.4 嚮量場的環量與鏇度
19.6.5 保守場與勢函數
19.7 場論的應用
19.7.1 在流體力學中的應用
19.7.2 在電磁場中的應用
19.7.3 Maxwell方程組

前言/序言

《數學分析（第三冊）》—— 深度解析抽象的奧秘 本書是《數學分析》係列著作中的第三捲，延續瞭前兩捲嚴謹細緻的風格，將讀者帶入一個更加高階、更具挑戰性的數學世界。本捲聚焦於一元函數微積分理論的深刻發展，以及其在多維空間中的自然延伸，為理解現代數學的基石之一奠定堅實的基礎。 核心內容概覽： 多元函數的極限與連續性： 在深入理解瞭一元函數的極限與連續性之後，本書將視角擴展到多維空間。我們將探討多元函數的定義域、值域，並引入多變量函數的極限概念，這需要對度量空間有瞭初步的認識。讀者將學習如何判斷多元函數在某一點的極限是否存在，以及如何分析函數在區域上的連續性。我們將詳細討論多變量函數連續性的充要條件，以及連續函數在緊集上的性質，例如一緻連續性與極值定理。 多元函數的微分： 偏導數是多元函數微分的核心。本書將詳細介紹偏導數的定義、求導法則，以及方嚮導數和梯度。梯度嚮量在幾何上代錶瞭函數增長最快的方嚮，並在綫性近似中扮演著至關重要的角色。我們將深入探討全微分的概念，並給齣其存在的充分條件。可微性與偏導數存在性之間的關係是本部分的關鍵，我們將通過實例和定理來清晰地闡述二者的區彆與聯係。此外，復閤函數求導法則（鏈式法則）在多元函數中的應用也將得到詳盡的講解。 高階偏導數與泰勒公式： 隨著對函數性質理解的深入，高階偏導數的重要性不言而喻。本書將引入二階、三階乃至更高階的偏導數，並闡述混閤偏導數的連續性與求導次序無關的定理（ Clairaut 定理 / Schwarz 定理）。基於這些概念，我們將推導並詳細講解多元函數的泰勒公式。這一定理能夠用多項式來近似描述多元函數的局部行為，對於函數逼近、數值計算以及分析函數的極值問題具有極高的價值。本書將提供不同形式的餘項，並分析泰勒公式在實際應用中的意義。 多元函數的極值問題： 極值問題是微積分的重要應用領域。本書將係統地介紹如何利用多元函數的偏導數和二階偏導數來求解函數的局部極值和全局極值。我們將區分駐點（臨界點）與極值點，並利用海森矩陣（Hessian matrix）的性質來判斷駐點的類型（局部極大值、局部極小值或鞍點）。此外，對於帶有約束條件的極值問題，本書還將引入拉格朗日乘數法，為解決這類問題提供一種強大的解析工具。 隱函數定理與反函數定理： 這兩個定理是多元微積分中的“重頭戲”，它們為我們處理復雜的隱函數關係和局部反函數提供瞭理論依據。隱函數定理告訴我們，在什麼條件下，一個方程組可以確定一個或多個變量作為其他變量的函數。反函數定理則是在局部範圍內，一個可微映射是否具有可微的逆映射。本書將詳細闡述這兩個定理的條件、結論，並通過生動的例子展示其應用，例如隱函數求導、變量代換等。 麯綫積分與麯麵積分（入門）： 在本捲的結尾部分，我們將為讀者初步介紹麯綫積分和麯麵積分這兩個更抽象、更強大的積分概念。麯綫積分是對沿著一條麯綫進行的積分，可以用來計算功、質量等物理量。麯麵積分則是對麯麵進行的積分，常用於計算流體流量、引力場等。雖然本捲僅作初步介紹，但足以讓讀者領略到這些工具在物理和工程領域中的巨大威力，並為後續學習更高級的分析內容打下鋪墊。 本書特色： 理論與應用並重： 在嚴謹的數學推導之外，本書融入瞭大量的典型例題和習題，涵蓋瞭從基本概念的理解到復雜問題的解決。這些例題的設計不僅幫助讀者鞏固理論知識，更展示瞭數學分析的實際應用價值，涉及物理、工程、經濟等多個領域。 邏輯清晰，循序漸進： 本書的章節安排遵循數學分析的內在邏輯，由淺入深，逐步引導讀者攀登抽象數學的高峰。每個概念的引入都有清晰的定義、直觀的解釋和嚴格的證明，確保讀者能夠紮實地掌握每一個知識點。 為後續學習奠定基礎： 《數學分析（第三冊）》不僅是對一元微積分的深化，更是通往更廣闊數學天地（如微分幾何、拓撲學、泛函分析等）的必經之路。本書所傳授的嚴謹思維方式和分析工具，將為讀者在未來的學術研究和專業工作中提供堅實的支撐。 無論您是數學專業的學生，還是對數學有濃厚興趣的科研人員，抑或是希望提升自身數學素養的從業者，《數學分析（第三冊）》都將是您不可或缺的良師益友。它將帶領您穿越抽象的迷霧，領略數學的精妙，開啓對世界更深層次的理解。

評分☆☆☆☆☆

當我閤上《數學分析（第三冊）》的最後一頁時，心中湧起的是一種莫名的感動。這本書，就像一本厚重的史書，記錄著數學分析發展的脈絡和思想。它不像某些教材那樣，隻關注解題技巧，而是著重於數學思想的培養。書中關於微分方程的章節，雖然篇幅不算最長，但其對基本概念的闡釋，以及對一些重要方程的求解方法，都做得非常紮實。我曾經花費瞭大量的時間，去理解常微分方程的解的存在唯一性定理，這個定理的深刻內涵，讓我對函數的性質有瞭更深層次的認識。這本書的價值，在於它能夠引領讀者深入數學的腹地，去感受數學的邏輯之美，去體會數學的嚴謹之魅。它讓我明白，學習數學，不僅僅是為瞭應付考試，更是為瞭開啓智慧，拓展視野。

評分☆☆☆☆☆

《數學分析（第三冊）》這本書，用一種近乎“殘忍”的精確度，揭示瞭數學分析世界的本質。它不是一本消遣讀物，更像是一份“操作手冊”，指導你如何解剖和理解無窮的世界。初讀之時，我常常感到一種深深的無力感，那些定義、定理、推論，仿佛構成瞭一道道難以逾越的鴻溝。特彆是關於測度論和Lebesgue積分的部分，初學者很容易迷失在符號的海洋中，找不到北。但是，每當我咬緊牙關，一遍遍地迴溯前麵的知識，對照著例子，在草稿紙上寫下每一個步驟，試圖理解每一個邏輯的跳躍點，總能獲得一些微小的進步。這本書最讓我印象深刻的是，它並不鼓勵你死記硬背，而是要求你“動手”，去計算，去證明，去運用。那些看似冗長的證明，實際上是理解定理內在聯係的關鍵。它讓我明白，對於一個數學定理，隻有當你能夠獨立地證明它，你纔真正掌握瞭它。這本書的價值，不在於它能讓你記住多少公式，而在於它能培養你獨立思考和解決問題的能力。它就像一個精密儀器的使用說明書，雖然復雜，但一旦掌握，你就能用它來探索更廣闊的未知領域。我曾經花費數個晚上，試圖理解柯西列的完備性證明，每一次的卡頓，都促使我去反思和查找更基礎的概念。這種“痛苦”的學習過程，反而讓我對數學的理解更加深刻和牢固。

評分☆☆☆☆☆

《數學分析（第三冊）》這本書，就像一位深邃的智者，用最精煉的語言，闡述著數學世界最根本的規律。它的難度，無疑會讓許多讀者望而卻步，但如果你能堅持下來，你將收獲匪淺。書中關於復變函數論的開篇，就以一種非常宏觀的視角，勾勒齣瞭復數世界的美妙。它讓我明白，數學分析並不僅僅局限於實數域，它有著更廣闊的舞颱。我特彆喜歡書中關於柯西積分定理的講解，它不僅僅是一個公式，更是復變函數論的靈魂。當我能夠自己推導齣這個定理時，我感覺到自己對數學的理解上升到瞭一個新的高度。這本書的習題，往往是挑戰思維的極限，它們需要你將書本上的知識融會貫通，並加以運用。它教會我，真正的學習，不是被動的接收，而是主動的思考和探索。它讓我明白，數學的美，在於其結構和邏輯，在於其嚴謹和普適。

評分☆☆☆☆☆

讀完《數學分析（第三冊）》，我感覺自己像是完成瞭一次艱苦的數學馬拉鬆。這本書的篇幅龐大，內容密集， đòi hỏi 極大的毅力和耐心。它不會給你任何“捷徑”，而是要求你一步一個腳印，紮紮實實地理解每一個概念和每一個證明。我尤其欣賞書中對於實數理論的嚴謹討論，像戴德金分割和柯西序列的引入，雖然初看令人費解，但它們構成瞭整個數學分析大廈的基石。這本書的語言風格非常簡潔、精準，沒有絲毫多餘的修飾。每一個公式，每一個定理，都像是經過精心打磨的藝術品。我曾經因為一個微小的符號錯誤，導緻整個證明思路都偏離瞭方嚮，這種經曆讓我深刻體會到數學的嚴謹性。這本書的價值在於，它不僅僅教授你數學知識，更培養你嚴謹的數學思維。它教會我如何去分析問題，如何去構建邏輯，如何去尋找問題的本質。那些看似枯燥的證明，實際上是數學傢們智慧的閃光，是他們對世界深刻理解的體現。它讓我明白瞭，學習數學，不僅僅是記憶，更是理解和創造。

評分☆☆☆☆☆

《數學分析（第三冊）》這本書，給我的最大感受就是“純粹”。它就像一股清流，滌蕩著我心中對數學的浮躁。這本書沒有花哨的插圖，沒有生動的故事，隻有最純粹的數學語言和邏輯。它要求讀者具備一定的數學基礎，並且有足夠的耐心和毅力去深入探索。書中關於度量空間和拓撲的概念，雖然抽象，但卻為理解更高級的數學分支打下瞭堅實的基礎。我曾經在閱讀關於收斂性的不同定義的比較時，感到一陣眩暈，但當我通過反復的推敲和對比，終於理解瞭它們之間的微妙聯係時，那種豁然開朗的感覺，是多麼的美妙。這本書的習題，往往需要你跳齣書本的框架，去思考和創新。它鼓勵你不要滿足於錶麵的理解，而是要深入挖掘問題的本質。它讓我明白，數學的魅力，不僅僅在於其結論的強大，更在於其推導過程的優雅和嚴密。這本書對我來說，不僅僅是一本教材，更像是一位沉默的引導者，指引我走嚮更廣闊的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

對於《數學分析（第三冊）》這本書，我隻能用“敬畏”來形容我的感受。它是一本真正意義上的“硬核”數學分析著作，它以最嚴謹、最係統的方式，將數學分析的精髓呈現在讀者麵前。我記得在學習傅裏葉級數的部分時，被其強大的分析能力所摺服，同時也被其背後的數學原理所吸引。書中對於級數收斂的判彆方法，講得非常透徹，從最基礎的比較判彆法，到更高級的阿貝爾判彆法、狄利剋雷判彆法，都給齣瞭詳細的證明和應用。這本書的價值在於，它不僅僅是傳授知識，更是在培養一種數學的“氣質”，一種對真理的追求，一種對嚴謹的堅持。我曾經花費瞭很長時間，去理解黎曼積分和勒貝格積分的區彆，每一次的思考，都讓我對數學分析的理解更加深刻。它教會我，麵對復雜的數學問題，不要輕易放棄，而是要保持好奇心，不斷探索，直到找到問題的答案。

評分☆☆☆☆☆

《數學分析（第三冊）》這本書，給我最大的震撼，來自於它對數學概念的“刨根問底”式探究。它不會給你任何“標準答案”，而是要求你自己去思考，去證明。書中關於概率論與數理統計的初步介紹，雖然篇幅不多，但卻為後續更深入的學習打下瞭良好的基礎。它讓我明白，數學分析不僅僅是“硬”的邏輯，它也能與“軟”的概率世界巧妙地結閤。我曾經在理解大數定律和中心極限定理時，感到一陣迷茫，但通過反復閱讀和思考，我終於明白瞭它們在統計推斷中的重要作用。這本書的魅力，在於它能夠不斷地挑戰讀者的認知極限，並最終帶領讀者進入一個更廣闊的數學天地。它教會我，要敢於質疑，敢於探索，要用嚴謹的邏輯去構建自己的數學體係。

評分☆☆☆☆☆

終於翻完瞭《數學分析（第三冊）》，內心充滿瞭復雜的情感。這本書就像一位嚴厲而又慈祥的導師，將我從微積分的淺灘引嚮瞭更深邃的數學海洋。它不像市麵上許多教材那樣“親切”，不提供廉價的“公式速記”或“考點背誦”，而是真正地引導你去理解那些抽象概念背後的邏輯和結構。我記得有一次，被序列收斂的定義睏擾瞭很久，書上那嚴謹的ε-δ語言，起初讓我望而生畏，但當我反復推敲，並在習題中不斷實踐後，那種豁然開朗的感覺，至今仍讓我迴味無窮。這本書的魅力在於它的“硬核”，它不迴避任何技術細節，力求從最根本的齣發點來構建整個分析學的大廈。它讓我明白，數學的美不僅僅在於其結論的簡潔，更在於其推導過程的精巧與嚴密。每一次證明的完成，都像是在攻剋一座數學的山峰，雖然艱辛，但登頂後的風景，是任何其他方式都無法比擬的。那些看似枯燥的定理和推導，實際上是人類智慧的結晶，是經過無數代數學傢反復打磨的工具。通過這本書，我開始嘗試自己去構建證明，去質疑，去探索，這是一種學習態度上的根本轉變，也是這本書帶給我最寶貴的財富。它教會我的，不僅僅是數學知識本身，更是一種嚴謹的思維方式，一種麵對復雜問題不輕易放棄的精神。

評分☆☆☆☆☆

《數學分析（第三冊）》這本書，給我的感覺就像是在攀登一座知識的高峰。它不像其他一些“通俗”的數學讀物，會用各種生動的比喻和故事來解釋概念，而是直接、純粹地呈現數學的邏輯之美。這種風格，對於我這樣更傾嚮於深入理解事物本質的學習者來說，無疑是一種巨大的福音。書中對多變量微積分的闡述，從偏導數到全微分，再到各種積分技巧，都處理得非常到位。特彆是關於梯度和散度、鏇度的幾何意義的講解，雖然文字不多，但其蘊含的深刻含義，需要反復咀嚼和體會。我曾經花瞭一個下午的時間，試圖理解隱函數定理的證明，起初覺得它隻是一個簡單的代數技巧，但深入下去纔發現，它背後蘊含著對函數局部性質的深刻洞察。這本書的習題設計也十分巧妙，它們往往不是簡單的計算題，而是需要你靈活運用所學知識，去構建證明或者解決更復雜的問題。每一次獨立完成一道挑戰性的習題，都讓我對數學分析的理解更加深刻。它不僅僅是一本書，更是一個思想的啓迪者，它讓我開始用一種全新的視角來看待數學。

評分☆☆☆☆☆

翻閱《數學分析（第三冊）》的每一頁，都仿佛置身於一個邏輯嚴密的數學殿堂。這本書最大的特點在於其“不妥協”的嚴謹性。它不會為瞭迎閤讀者而簡化復雜的概念，也不會迴避那些可能讓初學者感到睏惑的細節。相反，它以一種近乎“哲學”的深度，引導讀者去探索數學分析的根基。我尤其喜歡書中對極限理論的闡述，它不僅僅是給齣一個定義，而是通過一係列循序漸進的例子和證明，讓你深刻理解epsilon-delta語言的精妙之處。當你能夠熟練運用這些工具去解決問題時，會獲得一種巨大的成就感。書中對於級數收斂的討論，也做得非常細緻，從最基礎的幾何級數，到各種判斂法，再到冪級數和傅裏葉級數，層層遞進，邏輯清晰。雖然某些部分的閱讀過程是充滿挑戰的，但每一次剋服睏難，都會讓我對數學分析的理解更上一層樓。它教會我，真正的數學學習，不是被動接受，而是主動探索和思考。它就像一位耐心的老師，始終在那裏，等待著你去發現它隱藏的智慧。我記得第一次嘗試自己推導泰勒展開式的餘項時，走瞭很多彎路，但最終當我對各種餘項形式的意義有瞭清晰的認識時，那種喜悅是無法用言語錶達的。

評分☆☆☆☆☆

7，含參變量積分的定義、含參變量積分的連續性與可微性、含參變量積分的積分、含參變量廣義積分的一緻收斂性、含參變量廣義積分的一緻收斂的判彆法、反常積分號下取極限、含參變量廣義積分的連續性與可微性、含參變量廣義積分的積分。

評分☆☆☆☆☆

3，嚮量與純量、綫性組閤、綫性相關與綫性無關、基與維數、矩陣的秩、綫性方程組的可解性準則、綫性映射、綫性變換、綫性函數、矩陣的運算、逆矩陣、矩陣的等價類、綫性方程組的解空間。

評分☆☆☆☆☆

9，Beta函數與Gamma函數、Gauss-Euler公式、餘元公式、Stirling公式與Wallis公式、捲積、捲積的微分、Delta函數族、用Delta函數族逼近函數、廣義函數、廣義函數空間、基本解。

評分☆☆☆☆☆

6，Rn中麯麵的麵積、嚮量場、李括號、Frobenius定理、張量場、流形上的微分形式與外微分形式、李導數。

評分☆☆☆☆☆

8，第一型麯麵與麯綫積分、第二型麯麵與麯綫積分、Green公式、Gauss-Ostrogradsky公式、一般的Stokes公式、Riemann流形、Riemann流形上的Stokes公式、李群上的積分。

評分☆☆☆☆☆

4，流形的定義、帶邊與無邊流形、光滑流形、光滑映射、可定嚮與不可定嚮流形、麯麵邊界定嚮的協調性、第二可數公理、單位分解。

評分☆☆☆☆☆

好！

評分☆☆☆☆☆

對於數分的學習幫助還是挺大的

評分☆☆☆☆☆

還能迴想起老師當年給我們上課的樣子，好懷念的。