数学分析（第三册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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周民强，方企勤 著

图书标签:

• 数学分析
• 高等数学
• 微积分
• 实分析
• 函数
• 极限
• 连续
• 微分
• 积分
• 数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030425003

版次：1

商品编码：11612979

包装：平装

开本：16开

出版时间：2014-12-01

用纸：胶版纸

页数：286

字数：372000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学分析（第三册）》讲述的是高等数学的基础内容——数学分析，其核心内容是微积分学，《数学分析（第三册）》共分七章，包括多元函数及其极限、连续性，多元函数的微分学（一），多元函数的微分学（二），含参变量的积分，重积分，曲线积分与曲面积分，各种积分之间的联系、场论初步。
　　《数学分析（第三册）》是由作者在北京大学数学科学学院多年教学所使用的讲义基础上修改而成，内容丰富、深入浅出，对较难理解的定理、定义以及可深入探讨的问题，《数学分析（第三册）》以加注的形式予以解说，以利于读者更好地接受新知识，在章末附有后记，意在为读者更清楚地了解知识背景，更迅速地提高数学能力创造条件，《数学分析（第三册）》选用适量有代表性、启发性的例题，还选人足够数量的习题和思考题，习题和思考题中，既有一般难度的题目，也有较难的题目，供读者酌情选作。
　　《数学分析（第三册）》可作为大学本科阶段的数学、概率统计、应用数学、力学以及计算机等相关专业的教科书，也可作为广大数学工作及爱好者的参考书。

内页插图

目录

致读者
绪论 多元函数微积分史简介
第13章 多元函数及其极限、连续性
13.1 多元函数的概念
13.1.1 背景
13.1.2 多元函数的定义及其几何表示
13.1.3 点集范例、基本性质
13.2 多元函数的极限
13.2.1 重极限（全面极限）
13.2.2 累次极限
13.2.3 一致极限
13.3 多元函数的连续性
13.3.1 数值函数的连续性
13.3.2 向量函数的连续性
13.3.3 同胚变换

第14章 多元函数的微分学（一）
14.1 偏导数与全微分
14.1.1 多元函数的偏导数
14.1.2 多元函数的全微分
14.2 多元复合函数的偏导数
14.2.1 求多元复合函数偏导数的方法
14.2.2 齐次函数
14.2.3 一阶微分形式的不变性
14.2.4 同胚变换的Jacobi行列式
14.3 高阶偏导数与高阶全微分
14.3.1 多元函数的高阶偏导数
14.3.2 多元复合函数的高阶偏导数
14.3.3 多元函数的高阶全微分
14.4 多元隐函数的求导法
14.4.1 单个方程的情形
14.4.2 方程组的情形
14.5 曲线的切线、曲面的切平面
14.5.1 由参数方程表示的曲线和曲面的情形
14.5.2 由隐函数表示的曲面和曲线的情形
14.6 方向导数和梯度
14.6.1 多元函数的方向导数
14.6.2 多元函数的梯度
14.7 中值定理、Taylor公式、凸函数
14.7.1 多元函数的中值定理
14.7.2 多元函数的Taylor公式
14.7.3 凸函数

第15章 多元函数的微分学（二）
15.1 隐函数存在定理
15.1.1 一个方程的情形
15.1.2 方程组的情形
15.2 逆变换（反函数）存在定理
15.3 函数的极值
15.3.1 一般极值问题
15.3.2 条件极值问题
15.3.3 最小二乘法

第16章 含参变量的积分
16.1 含参变量的定积分
16.2 含参变量的反常积分
16.2.1 一致收敛的概念及其判别法
16.2.2 含参变量的无穷积分的性质
16.3 含参变量的积分计算举例
16.4 Euler积分——B函数与r函数

第17章 重积分
17.1 重积分的定义
17.1.1 曲顶柱体的体积
17.1.2 平面点集的面积
17.1.3 重积分的定义
17.2 重积分的存在性及其性质
17.2.1 函数可积的充分必要条件
17.2.2 可积函数类
17.2.3 可积函数和的性质
17.3 化重积分为累次积分
17.3.1 化二重积分为累次（定）积分的公式
17.3.2 公式的应用举例
17.3.3 化三重积分为累次积分
17.4 重积分的变量替换
17.4.1 二重积分的变量替换公式
17.4.2 公式的应用举例
17.4.3 三重积分的变量替换公式，例
17.5 n重积分简介
17.6 反常重积分

第18章 曲线积分与曲面积分
18.1 第一型曲线积分
18.1.1 第一型曲线积分的定义及其存在性
18.1.2 计算公式
18.2 第二型曲线积分
18.2.1 第二型曲线积分的定义及其存在性
18.2.2 计算公式
18.2.3 两种类型曲线积分之间的联系
18.3 曲面面积
18.3.1 由显方程表示的曲面
18.3.2 由参数方程表示的曲面
18.3.3 连续曲面的面积
18.4 第一型曲面积分
18.4.1 第一型曲面积分的定义及其计算
18.4.2 例与物理应用
18.5 曲面的侧
18.6 第二型曲面积分
18.6.1 第二型曲面积分的定义
18.6.2 计算公式
18.6.3 例与应用
后记

第19章 各种积分之间的联系、场论初步
19.1 Green公式
19.1.1 Green公式
19.1.2 例、调和函数
19.2 Gauss公式
19.2.1 Gauss公式
19.2.2 例与物理应用
19.3 Stokes公式
19.4 Brollwer·不动点定理
19.5 曲线积分与路径无关性
19.6 场论初步
19.6.1 数量场与向量场
19.6.2 数量场的梯度
19.6.3 向量场的流量与散度
19.6.4 向量场的环量与旋度
19.6.5 保守场与势函数
19.7 场论的应用
19.7.1 在流体力学中的应用
19.7.2 在电磁场中的应用
19.7.3 Maxwell方程组

前言/序言

《数学分析（第三册）》—— 深度解析抽象的奥秘 本书是《数学分析》系列著作中的第三卷，延续了前两卷严谨细致的风格，将读者带入一个更加高阶、更具挑战性的数学世界。本卷聚焦于一元函数微积分理论的深刻发展，以及其在多维空间中的自然延伸，为理解现代数学的基石之一奠定坚实的基础。 核心内容概览： 多元函数的极限与连续性： 在深入理解了一元函数的极限与连续性之后，本书将视角扩展到多维空间。我们将探讨多元函数的定义域、值域，并引入多变量函数的极限概念，这需要对度量空间有了初步的认识。读者将学习如何判断多元函数在某一点的极限是否存在，以及如何分析函数在区域上的连续性。我们将详细讨论多变量函数连续性的充要条件，以及连续函数在紧集上的性质，例如一致连续性与极值定理。 多元函数的微分： 偏导数是多元函数微分的核心。本书将详细介绍偏导数的定义、求导法则，以及方向导数和梯度。梯度向量在几何上代表了函数增长最快的方向，并在线性近似中扮演着至关重要的角色。我们将深入探讨全微分的概念，并给出其存在的充分条件。可微性与偏导数存在性之间的关系是本部分的关键，我们将通过实例和定理来清晰地阐述二者的区别与联系。此外，复合函数求导法则（链式法则）在多元函数中的应用也将得到详尽的讲解。 高阶偏导数与泰勒公式： 随着对函数性质理解的深入，高阶偏导数的重要性不言而喻。本书将引入二阶、三阶乃至更高阶的偏导数，并阐述混合偏导数的连续性与求导次序无关的定理（ Clairaut 定理 / Schwarz 定理）。基于这些概念，我们将推导并详细讲解多元函数的泰勒公式。这一定理能够用多项式来近似描述多元函数的局部行为，对于函数逼近、数值计算以及分析函数的极值问题具有极高的价值。本书将提供不同形式的余项，并分析泰勒公式在实际应用中的意义。 多元函数的极值问题： 极值问题是微积分的重要应用领域。本书将系统地介绍如何利用多元函数的偏导数和二阶偏导数来求解函数的局部极值和全局极值。我们将区分驻点（临界点）与极值点，并利用海森矩阵（Hessian matrix）的性质来判断驻点的类型（局部极大值、局部极小值或鞍点）。此外，对于带有约束条件的极值问题，本书还将引入拉格朗日乘数法，为解决这类问题提供一种强大的解析工具。 隐函数定理与反函数定理： 这两个定理是多元微积分中的“重头戏”，它们为我们处理复杂的隐函数关系和局部反函数提供了理论依据。隐函数定理告诉我们，在什么条件下，一个方程组可以确定一个或多个变量作为其他变量的函数。反函数定理则是在局部范围内，一个可微映射是否具有可微的逆映射。本书将详细阐述这两个定理的条件、结论，并通过生动的例子展示其应用，例如隐函数求导、变量代换等。 曲线积分与曲面积分（入门）： 在本卷的结尾部分，我们将为读者初步介绍曲线积分和曲面积分这两个更抽象、更强大的积分概念。曲线积分是对沿着一条曲线进行的积分，可以用来计算功、质量等物理量。曲面积分则是对曲面进行的积分，常用于计算流体流量、引力场等。虽然本卷仅作初步介绍，但足以让读者领略到这些工具在物理和工程领域中的巨大威力，并为后续学习更高级的分析内容打下铺垫。 本书特色： 理论与应用并重： 在严谨的数学推导之外，本书融入了大量的典型例题和习题，涵盖了从基本概念的理解到复杂问题的解决。这些例题的设计不仅帮助读者巩固理论知识，更展示了数学分析的实际应用价值，涉及物理、工程、经济等多个领域。 逻辑清晰，循序渐进： 本书的章节安排遵循数学分析的内在逻辑，由浅入深，逐步引导读者攀登抽象数学的高峰。每个概念的引入都有清晰的定义、直观的解释和严格的证明，确保读者能够扎实地掌握每一个知识点。 为后续学习奠定基础： 《数学分析（第三册）》不仅是对一元微积分的深化，更是通往更广阔数学天地（如微分几何、拓扑学、泛函分析等）的必经之路。本书所传授的严谨思维方式和分析工具，将为读者在未来的学术研究和专业工作中提供坚实的支撑。 无论您是数学专业的学生，还是对数学有浓厚兴趣的科研人员，抑或是希望提升自身数学素养的从业者，《数学分析（第三册）》都将是您不可或缺的良师益友。它将带领您穿越抽象的迷雾，领略数学的精妙，开启对世界更深层次的理解。

评分☆☆☆☆☆

《数学分析（第三册）》这本书，用一种近乎“残忍”的精确度，揭示了数学分析世界的本质。它不是一本消遣读物，更像是一份“操作手册”，指导你如何解剖和理解无穷的世界。初读之时，我常常感到一种深深的无力感，那些定义、定理、推论，仿佛构成了一道道难以逾越的鸿沟。特别是关于测度论和Lebesgue积分的部分，初学者很容易迷失在符号的海洋中，找不到北。但是，每当我咬紧牙关，一遍遍地回溯前面的知识，对照着例子，在草稿纸上写下每一个步骤，试图理解每一个逻辑的跳跃点，总能获得一些微小的进步。这本书最让我印象深刻的是，它并不鼓励你死记硬背，而是要求你“动手”，去计算，去证明，去运用。那些看似冗长的证明，实际上是理解定理内在联系的关键。它让我明白，对于一个数学定理，只有当你能够独立地证明它，你才真正掌握了它。这本书的价值，不在于它能让你记住多少公式，而在于它能培养你独立思考和解决问题的能力。它就像一个精密仪器的使用说明书，虽然复杂，但一旦掌握，你就能用它来探索更广阔的未知领域。我曾经花费数个晚上，试图理解柯西列的完备性证明，每一次的卡顿，都促使我去反思和查找更基础的概念。这种“痛苦”的学习过程，反而让我对数学的理解更加深刻和牢固。

评分☆☆☆☆☆

终于翻完了《数学分析（第三册）》，内心充满了复杂的情感。这本书就像一位严厉而又慈祥的导师，将我从微积分的浅滩引向了更深邃的数学海洋。它不像市面上许多教材那样“亲切”，不提供廉价的“公式速记”或“考点背诵”，而是真正地引导你去理解那些抽象概念背后的逻辑和结构。我记得有一次，被序列收敛的定义困扰了很久，书上那严谨的ε-δ语言，起初让我望而生畏，但当我反复推敲，并在习题中不断实践后，那种豁然开朗的感觉，至今仍让我回味无穷。这本书的魅力在于它的“硬核”，它不回避任何技术细节，力求从最根本的出发点来构建整个分析学的大厦。它让我明白，数学的美不仅仅在于其结论的简洁，更在于其推导过程的精巧与严密。每一次证明的完成，都像是在攻克一座数学的山峰，虽然艰辛，但登顶后的风景，是任何其他方式都无法比拟的。那些看似枯燥的定理和推导，实际上是人类智慧的结晶，是经过无数代数学家反复打磨的工具。通过这本书，我开始尝试自己去构建证明，去质疑，去探索，这是一种学习态度上的根本转变，也是这本书带给我最宝贵的财富。它教会我的，不仅仅是数学知识本身，更是一种严谨的思维方式，一种面对复杂问题不轻易放弃的精神。

评分☆☆☆☆☆

《数学分析（第三册）》这本书，给我的最大感受就是“纯粹”。它就像一股清流，涤荡着我心中对数学的浮躁。这本书没有花哨的插图，没有生动的故事，只有最纯粹的数学语言和逻辑。它要求读者具备一定的数学基础，并且有足够的耐心和毅力去深入探索。书中关于度量空间和拓扑的概念，虽然抽象，但却为理解更高级的数学分支打下了坚实的基础。我曾经在阅读关于收敛性的不同定义的比较时，感到一阵眩晕，但当我通过反复的推敲和对比，终于理解了它们之间的微妙联系时，那种豁然开朗的感觉，是多么的美妙。这本书的习题，往往需要你跳出书本的框架，去思考和创新。它鼓励你不要满足于表面的理解，而是要深入挖掘问题的本质。它让我明白，数学的魅力，不仅仅在于其结论的强大，更在于其推导过程的优雅和严密。这本书对我来说，不仅仅是一本教材，更像是一位沉默的引导者，指引我走向更广阔的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

读完《数学分析（第三册）》，我感觉自己像是完成了一次艰苦的数学马拉松。这本书的篇幅庞大，内容密集， đòi hỏi 极大的毅力和耐心。它不会给你任何“捷径”，而是要求你一步一个脚印，扎扎实实地理解每一个概念和每一个证明。我尤其欣赏书中对于实数理论的严谨讨论，像戴德金分割和柯西序列的引入，虽然初看令人费解，但它们构成了整个数学分析大厦的基石。这本书的语言风格非常简洁、精准，没有丝毫多余的修饰。每一个公式，每一个定理，都像是经过精心打磨的艺术品。我曾经因为一个微小的符号错误，导致整个证明思路都偏离了方向，这种经历让我深刻体会到数学的严谨性。这本书的价值在于，它不仅仅教授你数学知识，更培养你严谨的数学思维。它教会我如何去分析问题，如何去构建逻辑，如何去寻找问题的本质。那些看似枯燥的证明，实际上是数学家们智慧的闪光，是他们对世界深刻理解的体现。它让我明白了，学习数学，不仅仅是记忆，更是理解和创造。

评分☆☆☆☆☆

《数学分析（第三册）》这本书，给我的感觉就像是在攀登一座知识的高峰。它不像其他一些“通俗”的数学读物，会用各种生动的比喻和故事来解释概念，而是直接、纯粹地呈现数学的逻辑之美。这种风格，对于我这样更倾向于深入理解事物本质的学习者来说，无疑是一种巨大的福音。书中对多变量微积分的阐述，从偏导数到全微分，再到各种积分技巧，都处理得非常到位。特别是关于梯度和散度、旋度的几何意义的讲解，虽然文字不多，但其蕴含的深刻含义，需要反复咀嚼和体会。我曾经花了一个下午的时间，试图理解隐函数定理的证明，起初觉得它只是一个简单的代数技巧，但深入下去才发现，它背后蕴含着对函数局部性质的深刻洞察。这本书的习题设计也十分巧妙，它们往往不是简单的计算题，而是需要你灵活运用所学知识，去构建证明或者解决更复杂的问题。每一次独立完成一道挑战性的习题，都让我对数学分析的理解更加深刻。它不仅仅是一本书，更是一个思想的启迪者，它让我开始用一种全新的视角来看待数学。

评分☆☆☆☆☆

《数学分析（第三册）》这本书，就像一位深邃的智者，用最精炼的语言，阐述着数学世界最根本的规律。它的难度，无疑会让许多读者望而却步，但如果你能坚持下来，你将收获匪浅。书中关于复变函数论的开篇，就以一种非常宏观的视角，勾勒出了复数世界的美妙。它让我明白，数学分析并不仅仅局限于实数域，它有着更广阔的舞台。我特别喜欢书中关于柯西积分定理的讲解，它不仅仅是一个公式，更是复变函数论的灵魂。当我能够自己推导出这个定理时，我感觉到自己对数学的理解上升到了一个新的高度。这本书的习题，往往是挑战思维的极限，它们需要你将书本上的知识融会贯通，并加以运用。它教会我，真正的学习，不是被动的接收，而是主动的思考和探索。它让我明白，数学的美，在于其结构和逻辑，在于其严谨和普适。

评分☆☆☆☆☆

《数学分析（第三册）》这本书，给我最大的震撼，来自于它对数学概念的“刨根问底”式探究。它不会给你任何“标准答案”，而是要求你自己去思考，去证明。书中关于概率论与数理统计的初步介绍，虽然篇幅不多，但却为后续更深入的学习打下了良好的基础。它让我明白，数学分析不仅仅是“硬”的逻辑，它也能与“软”的概率世界巧妙地结合。我曾经在理解大数定律和中心极限定理时，感到一阵迷茫，但通过反复阅读和思考，我终于明白了它们在统计推断中的重要作用。这本书的魅力，在于它能够不断地挑战读者的认知极限，并最终带领读者进入一个更广阔的数学天地。它教会我，要敢于质疑，敢于探索，要用严谨的逻辑去构建自己的数学体系。

评分☆☆☆☆☆

当我合上《数学分析（第三册）》的最后一页时，心中涌起的是一种莫名的感动。这本书，就像一本厚重的史书，记录着数学分析发展的脉络和思想。它不像某些教材那样，只关注解题技巧，而是着重于数学思想的培养。书中关于微分方程的章节，虽然篇幅不算最长，但其对基本概念的阐释，以及对一些重要方程的求解方法，都做得非常扎实。我曾经花费了大量的时间，去理解常微分方程的解的存在唯一性定理，这个定理的深刻内涵，让我对函数的性质有了更深层次的认识。这本书的价值，在于它能够引领读者深入数学的腹地，去感受数学的逻辑之美，去体会数学的严谨之魅。它让我明白，学习数学，不仅仅是为了应付考试，更是为了开启智慧，拓展视野。

评分☆☆☆☆☆

翻阅《数学分析（第三册）》的每一页，都仿佛置身于一个逻辑严密的数学殿堂。这本书最大的特点在于其“不妥协”的严谨性。它不会为了迎合读者而简化复杂的概念，也不会回避那些可能让初学者感到困惑的细节。相反，它以一种近乎“哲学”的深度，引导读者去探索数学分析的根基。我尤其喜欢书中对极限理论的阐述，它不仅仅是给出一个定义，而是通过一系列循序渐进的例子和证明，让你深刻理解epsilon-delta语言的精妙之处。当你能够熟练运用这些工具去解决问题时，会获得一种巨大的成就感。书中对于级数收敛的讨论，也做得非常细致，从最基础的几何级数，到各种判敛法，再到幂级数和傅里叶级数，层层递进，逻辑清晰。虽然某些部分的阅读过程是充满挑战的，但每一次克服困难，都会让我对数学分析的理解更上一层楼。它教会我，真正的数学学习，不是被动接受，而是主动探索和思考。它就像一位耐心的老师，始终在那里，等待着你去发现它隐藏的智慧。我记得第一次尝试自己推导泰勒展开式的余项时，走了很多弯路，但最终当我对各种余项形式的意义有了清晰的认识时，那种喜悦是无法用言语表达的。

评分☆☆☆☆☆

对于《数学分析（第三册）》这本书，我只能用“敬畏”来形容我的感受。它是一本真正意义上的“硬核”数学分析著作，它以最严谨、最系统的方式，将数学分析的精髓呈现在读者面前。我记得在学习傅里叶级数的部分时，被其强大的分析能力所折服，同时也被其背后的数学原理所吸引。书中对于级数收敛的判别方法，讲得非常透彻，从最基础的比较判别法，到更高级的阿贝尔判别法、狄利克雷判别法，都给出了详细的证明和应用。这本书的价值在于，它不仅仅是传授知识，更是在培养一种数学的“气质”，一种对真理的追求，一种对严谨的坚持。我曾经花费了很长时间，去理解黎曼积分和勒贝格积分的区别，每一次的思考，都让我对数学分析的理解更加深刻。它教会我，面对复杂的数学问题，不要轻易放弃，而是要保持好奇心，不断探索，直到找到问题的答案。

评分☆☆☆☆☆

10，有势场、保守场、同伦、管量场、恰当形式、Poincare引理、无旋场、势函数。

评分☆☆☆☆☆

还能回想起老师当年给我们上课的样子，好怀念的。

评分☆☆☆☆☆

内容非常多的一本数学分析教材 难度比较大

评分☆☆☆☆☆

2，数学归纳法、置换、置换的循环结构、置换的符号、斜对称函数、数论的基本概念、算术基本定理。

评分☆☆☆☆☆

数学分析(A)-4

评分☆☆☆☆☆

还能回想起老师当年给我们上课的样子，好怀念的。

评分☆☆☆☆☆

感觉比其他的数学分析讲得好

评分☆☆☆☆☆

10，正交函数系、Pythagoras定理、Fourier级数与Fourier系数、Fourier级数的极限性质、完备正交系、三角级数、三角级数的平均收敛性与逐点收敛、Riemann引理、推广的Fourier引理、局部化原理、Fejer定理、Weierstrass第近定理、三角函数系的完备性、Parseval等式、等周不等式。

评分☆☆☆☆☆

6，阶梯函数的积分、上函数的积分、一般区间上的Lebesgue可积函数类、Lebesgue积分的基本性质、Levi单调收敛定理、Lebesgue控制收敛定理、Lebesgue 广义积分。