隨機偏微分方程有限元方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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楊小遠，張英晗，李曉翠 著

圖書標籤:

• 隨機偏微分方程
• 有限元方法
• 數值分析
• 概率數值方法
• 偏微分方程
• 數值模擬
• 科學計算
• 數學模型
• 數值解
• 隨機分析

齣版社： 電子工業齣版社

ISBN：9787121260087

版次：1

商品編碼：11706338

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2015-05-01

用紙：膠版紙

頁數：264

正文語種：中文

內容簡介

本書係統介紹瞭隨機拋物型、雙麯型和橢圓型方程的有限元分析方法，全書共6 章。第1 章是預備知識，包括Banach 空間和Hilbert 空間中的幾類有界綫性算子、Sobolev 空間基本理論、算子半群、有限元方法的基礎理論，以及窮維隨機積分的基本概念和性質；第2 章介紹隨機拋物型方程的有限元分析方法，其中包括確定性拋物方程有限元方法理論分析、自伴算和非自伴算子隨機拋物方程的有限元分析方法；第3 章對經典的隨機Navier-Stokes 方程進行有限元分析和後驗誤差估計，重點介紹瞭後驗誤差估計方法；第4 章以分彆帶有Q-Wiener 過程噪聲項和帶有Brownian 片噪聲項的兩類隨機彈性方程為例，介紹雙麯型隨機偏微分方程的有限元理論分析方法；第5 章以隨機Poisson 方程和隨機Stokes 方程為例，介紹橢圓型隨機偏微分方程的有限元理論分析方法；第6 章介紹隨機積分微分方程有限元理論分析方法。

作者簡介

楊小遠，北京航空航天大學數學與係統科學學院教授，《IEEE Transactions on Signal Processing》《Information Sciences》、《IEEE Transactions on Image Processing》、《International Journal of Computer Mathematics》、《IET Signal Processing》、《IET Control Theory ＆ Applications》審稿人。

目錄

第 1 章 基礎知識 ???????????????? 1
1．1 Banach空間和Hilbert空間上的有界綫性算子 ? ? 1
1．1．1 度量空間 ????????????????? 1
1．1．2 綫性算子與綫性泛函 ?? ? 4
1．1．3 核算子與Hilbert-Schmit算子 ?? ????? 7
1．2 Sobolev空間 ???????????????? 10
1．2．1 廣義導數與Sobolev空間 ?????????? 11
1．2．2 Sobolev空間嵌入定理 ??????????? 14
1．2．3 跡定理 ????????????????? 15
1．2．4 Sobolev空間中的等價模定理 ???? ??? 17
1．2．5 Sobolev空間中的內插理論 ???????? 18
1．2．6 Gronwall引理 ?????????????? 19
1．3 算子半群 ???????????????? 21
1．3．1 抽象函數 ??????????????? 21
1．3．2 算子半群基本概念 ???????????? 25
1．3．3 C0半群 ????????????????? 26
1．3．4 解析半群與算子的分數次冪 ???????? 31
1．3．5 半群的擾動和逼近 ??????????? 33
1．4 有限元方法基本理論 ?????? ???? 35
1．4．1 變分原理 ???????????????? 35
1．4．2 有限元離散與插值誤差估計 ????????? 39
1．4．3 發展方程的有限元方法 ??????????? 45
1．5 隨機積分 ?????????? ?????? 46
1．5．1 概率空間 ???????? ?????? 46
1．5．2 隨機變量與Bochner積分 ?????????? 48
1．5．3 條件期望與獨立性 ???????????? 52
1．5．4 Gaussian測度 ?????????????? 53
1．5．5 隨機過程與鞅 ???????? ????? 54
1．5．6 關於＆#119876;-Wiener過程的隨機積分 ??????? 57
第 2 章 隨機拋物方程有限元方法 ????????? 63
2．1 拋物方程有限元方法理論分析 ???????? 63
2．1．1 空間半離散格式的誤差估計 ???????? 63
2．1．2 全離散格式的有限元誤差估計 ??????? 69
2．2 自伴算子隨機拋物方程有限元方法 ?????? 72
2．2．1 空間半離散格式的誤差估計 ???????? 72
2．2．2 全離散格式的有限元誤差估計 ??????? 76
2．3 非自伴算子隨機拋物方程有限元方法 ????? 83
2．3．1 空間半離散格式的誤差估計 ???????? 83
2．3．2 全離散格式的有限元誤差估計 ??????? 93
2．4 研究進展評述 ????????????????99
第 3 章 隨機Navier-Stokes方程的有限元分析與後驗誤差估計 ???? 103
3．1 方程的理論分析 ???????????? ???????? 103
3．2 有限元誤差估計 ?????????????????????? 105
3．2．1 時間半離散格式的誤差估計 ???????????????? 105
3．2．2 全離散格式的有限元誤差估計 ??????????????? 118
3．3 後驗誤差估計 ??????????????????????? 124
3．3．1 加權Clement-type插值算子 ???????????????? 124
3．3．2 空間半離散格式的後驗誤差估計 ?????????????? 127
3．3．3 全離散格式的後驗誤差估計 ???????????????? 135
3．4 研究進展評述 ??????????????????????? 141
第 4 章 隨機彈性方程有限元方法 ???????????????? 143
4．1 彈性方程有限元方法理論分析 ???????????????? 143
4．1．1 彈性方程解的定性分析 ?????????????????? 143
4．1．2 基於C1元的彈性方程半離散有限元方法 ???? ?? 146
4．1．3 基於C1元的彈性方程全離散有限元方法 ??????? 148
4．1．4 基於C0元的彈性方程半離散有限元方法 ??????? 151
4．1．5 基於C0元的彈性方程全離散有限元方法 ??????? 154
4．2 帶有＆#119876;-Wiener過程噪聲項的隨機彈性方程有限元方法 ??157
4．2．1 隨機彈性方程解的性質 ?????????????? 157
4．2．2 基於C1元的隨機彈性方程半離散有限元方法強誤差估計 ? 159
4．2．3 基於C1元的隨機彈性方程全離散有限元方法強誤差估計 ? 162
4．2．4 基於C0元的隨機彈性方程半離散有限元方法強誤差估計 165
4．2．5 基於C0元的隨機彈性方程全離散有限元方法強誤差估計 ? 166
4．2．6 隨機彈性方程有限元方法的弱誤差估計 ???????? 168
4．3 帶有Brownian片噪聲項的隨機波動方程和隨機彈性方程有限元方法 173
4．3．1 兩類隨機雙麯方程的統一錶示形式 ?????????????173
4．3．2 方程的正則化 ??????????????????? ? 175
4．3．3 正則化方程誤差估計 ?????????????????? 176
4．3．4 隨機指數積分法 ???????????????????? 180
4．3．5 全離散有限元逼近 ???????????? 183
4．4 研究進展評述 ??????????????? 192
第 5 章 隨機橢圓型方程有限元方法 ?????? 195
5．1 橢圓方程的Green函數 ?????????? 195
5．2 隨機橢圓方程有限元方法 ???????? 198
5．2．1 方程的正則化 ??????????? 199
5．2．2 有限元誤差估計 ?????????? 204
5．3 隨機Stokes方程非協調有限元方法 ???? 206
5．3．1 隨機Stokes方程Green函數的性質 ??? 206
5．3．2 白噪聲的正則化 ??????????? 210
5．3．3 非協調有限元逼近 ?????????? 213
5．4 研究進展評述 ????????????? 218
第 6 章 隨機積分微分方程有限元方法 ???? 221
6．1 隨機積分微分方程的理論分析 ?????? 221
6．1．1 問題的陳述 ????????????? 221
6．1．2 積分微分方程的預解係 ???????? 223
6．1．3 隨機積分微分方程溫和解的存在性和唯一性 ????? 227
6．2 空間半離散格式的誤差估計 ????????????? 230
6．3 全離散格式的有限元誤差估計 ???????????? 235
6．4 研究進展評述 ??????????????????? 242
參考文獻 ??????????????????????? 243

前言/序言

《數值綫性代數導論：從理論到實踐》 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的數值綫性代數框架，重點關注現代計算科學與工程領域中綫性方程組求解、特徵值計算以及矩陣分解等核心問題的數值方法。全書結構嚴謹，內容覆蓋從基礎的矩陣理論迴顧到前沿的迭代求解技術，力求在理論深度與工程應用之間找到最佳平衡。 第一部分：基礎迴顧與浮點數算術 本部分首先對綫性代數的經典理論進行必要的復習，特彆是針對數值計算至關重要的矩陣性質（如範數、條件數、正定性等）。隨後，我們將深入探討計算機浮點數算術的內在機製及其對數值精度的影響。討論將涵蓋捨入誤差的來源、穩定性的概念，並引入對誤差分析至關重要的方法論。讀者將瞭解到，一個算法的“好壞”不僅取決於其漸近復雜度，更取決於其在有限精度環境下的可靠性。我們將詳細分析病態問題（ill-posed problems）的本質，並展示如何利用條件數來量化問題的敏感性。 第二部分：直接法：矩陣分解與高精度求解 直接法是求解中小型稠密綫性係統的基石。本章首先係統地介紹高斯消元法及其穩定性問題。我們將深入探討如何通過引入主元選擇（Partial Pivoting, Full Pivoting）來增強算法的數值穩定性，並精確推導LU分解的步驟和計算復雜度。 接著，本書將拓展到更具實用性的矩陣分解技術： 1. Cholesky分解： 專門針對對稱正定矩陣，提供瞭一種高效且穩定的求解途徑。我們將分析其在優化問題中的應用潛力。 2. QR分解： 不僅是求解超定係統（最小二乘問題）的關鍵工具，也是計算特徵值的基礎。本書將對比Gram-Schmidt過程的原始形式與Householder反射、Givens鏇轉等正交化方法在數值穩定性上的顯著差異。 3. 奇異值分解（SVD）： 這一分解被譽為矩陣分析的“瑞士軍刀”。我們將詳細闡述SVD的幾何意義、計算方法（如Lanczos或Golub-Reinsch算法的原理概述）及其在秩近似、數據壓縮和僞逆計算中的核心作用。 第三部分：迭代法：處理大規模稀疏係統 對於現代科學計算中常見的具有巨大尺度和稀疏結構的綫性係統，直接法因其$O(n^2)$或$O(n^3)$的存儲和計算成本而變得不切實際。本部分專注於高效的迭代求解器。 我們將首先介紹兩類重要的迭代方法： 1. 經典迭代法： 詳細分析雅可比（Jacobi）法和高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）法的收斂條件和速率，並引入鬆弛因子（SOR/SSOR）以加速收斂。 2. Krylov子空間方法： 這是求解大規模稀疏綫性係統的主流方法。我們將從Krylov子空間$mathcal{K}_m(A, b)$的構建齣發，係統地推導和分析： Conjugate Gradient (CG) 法： 針對對稱正定係統，闡述其最優子空間迭代的性質和極快的收斂速度。 非對稱係統求解器： 深入探討GMRES（Generalized Minimal Residual）法及其截斷的挑戰，以及雙共軛梯度法（BiCG）和其變體（如BiCGSTAB）的原理與應用。 第四部分：預處理技術：加速迭代收斂 預處理器是有效迭代求解器的“靈魂”。本章將專題討論如何通過變換矩陣 $M^{-1} A x = M^{-1} b$ 來改善條件數，從而顯著加快Krylov子空間方法的收斂速度。我們將分類介紹常見的預處理技術： 1. 代數預處理： 包括基於矩陣分解的近似（如ILU, ICC(0)分解）以及多層次交錯子空間方法。 2. 基於代數重建的預處理技術： 如代數多重網格（AMG）方法的構建思想，它通過自適應地構建粗糙化策略來捕捉矩陣的物理結構信息。 第五部分：特徵值問題的數值計算 特徵值和特徵嚮量的計算是許多物理和工程問題（如模態分析、穩定性分析）的核心。本部分側重於尋找矩陣的最大或最小特徵值，以及求解全特徵值問題的方法。 1. 迭代法： 詳細介紹冪法（Power Iteration）及其局限性，以及瑞利商迭代（Rayleigh Quotient Iteration）的二次收斂性。 2. 子空間迭代與Lanczos方法： 特彆是Lanczos算法，作為在稀疏對稱矩陣上實現高效特徵值估計的強大工具，其算法流程和三對角化過程將被詳盡解析。 3. QR算法： 作為求解稠密矩陣特徵值的標準方法，我們將分析其如何通過QR分解的迭代過程，最終將矩陣約化為Hessenberg或Schur形式，從而實現特徵值的精確計算。 附錄：軟件實現與並行化 附錄將提供關於主流數值計算庫（如LAPACK, ScaLAPACK, PETSc）的基本使用指南，並簡要介紹如何在現代多核CPU和GPU架構上實現這些算法的並行化策略，探討數據劃分和通信開銷對實際性能的影響。 本書麵嚮對象為數學、物理、計算機科學、航空航天、土木工程等領域的研究生、高年級本科生以及需要深入理解計算方法的工程師和科研人員。通過對理論的透徹理解和對算例的嚴格分析，讀者將能夠獨立設計、實現並優化針對特定問題的數值綫性代數算法。

評分☆☆☆☆☆

這本書的獨到之處在於它將理論與實踐完美地結閤。作者在講解有限元方法求解隨機偏微分方程時，不僅僅停留在理論推導，而是通過大量精心設計的算例，展示瞭如何在實際問題中應用這些方法。我特彆喜歡書中關於網格自適應和不確定性傳播的章節，這些內容對於理解數值方法的魯棒性和可靠性至關重要。作者並沒有像某些教材那樣，將這些內容一筆帶過，而是深入分析瞭其背後的機理，並給齣瞭具體的實現技巧。我印象最深刻的是書中對於“高斯過程”與有限元結閤的處理，這種方法在處理某些非綫性問題時錶現齣瞭驚人的優勢。作者對不同求解器的性能比較也十分客觀，讓我能夠根據自己的計算資源和精度要求做齣明智的選擇。書中的附錄包含瞭大量的參考資料，這對於希望進一步深入研究的讀者來說，是一筆寶貴的財富。我曾經在尋找特定數值算法的實現細節時遇到睏難，但在這本書中，我找到瞭我所需的大部分信息。這本書讓我感覺自己不再是孤軍奮戰，而是擁有瞭一位經驗豐富的嚮導，帶領我穿越隨機偏微分方程的復雜世界。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來瞭全新的視角，它不僅僅是一本教科書，更像是一次深刻的學術探索之旅。作者以一種非常接地氣的方式，將抽象的數學概念與實際的物理現象巧妙地結閤起來。我尤其欣賞書中對理論推導的細緻梳理，每一個步驟都清晰可見，邏輯鏈條嚴絲閤縫，這對於我這樣希望深入理解數學原理的讀者來說，無疑是極大的幫助。書中舉例的豐富性也讓人印象深刻，從經典的物理問題到前沿的科學挑戰，都得到瞭生動的展現。這些例子不僅幫助我鞏固瞭理論知識，更激發瞭我將所學應用於實際問題的興趣。作者對於不同數值方法的比較和分析也做得十分到位，他沒有簡單地列舉公式，而是深入剖析瞭每種方法的優缺點、適用範圍以及在不同場景下的錶現。這種深入的分析讓我能夠根據具體問題選擇最閤適的數值方法，而不是盲目套用。閱讀這本書的過程，我感覺自己仿佛置身於一個充滿智慧的殿堂，與作者一起探尋隨機偏微分方程的奧秘。書中的圖錶和插圖設計也頗具匠心，它們有效地輔助瞭我的理解，讓復雜的概念變得更加直觀易懂。總而言之，這是一本能夠深刻影響讀者思維方式的書籍，它不僅僅傳授知識，更培養解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書為我打開瞭一扇通往隨機偏微分方程世界的大門，而且是以一種極其令人興奮的方式。作者對有限元方法的基本原理進行瞭簡潔而深入的介紹，為初學者建立瞭一個堅實的基礎。我非常欣賞他對每一步推導的細緻講解，沒有跳躍式的邏輯，也沒有晦澀難懂的術語。當引入隨機性時，作者並沒有讓我們感到不知所措，而是循序漸進地介紹瞭各種隨機過程的性質及其在偏微分方程中的錶現形式。我特彆喜歡他關於“卡爾曼濾波”在有限元框架下的應用的探討，這讓我看到瞭融閤不同領域技術解決復雜問題的可能性。書中對“濛特卡洛方法”與有限元結閤的詳細闡述，也為我提供瞭一種全新的思路來處理非解析解的隨機問題。作者的語言風格非常平易近人，即使是一些比較抽象的概念，也能被他解釋得生動有趣。我曾經在其他書中感到睏惑的地方，在這本書中得到瞭清晰的解答。這本書的練習題設計也非常巧妙，既能鞏固所學知識，又能激發我的思考。總而言之，這是一本能夠真正幫助讀者掌握隨機偏微分方程有限元方法的優秀教材。

評分☆☆☆☆☆

這本《隨機偏微分方程有限元方法》簡直是我在學術道路上遇到的瑰寶！它以一種前所未有的深度，將我從理論的迷霧中解救齣來。作者對有限元方法的講解，不是那種枯燥乏味的公式堆砌，而是充滿瞭洞察力。他能夠從最基本的離散化思想齣發，一步步引領讀者走嚮復雜的理論體係，每一個概念的引入都顯得那麼自然而然。我特彆喜歡他對於誤差分析部分的闡述，那種嚴謹的邏輯和清晰的思路，讓我對有限元方法的精度和穩定性有瞭更深刻的認識。書中的算法描述也非常詳盡，幾乎可以讓我直接轉化為代碼去實現，這對於我這種動手能力強的讀者來說，無疑是巨大的福音。而且，作者在講解過程中，並沒有迴避那些可能存在的難點，反而通過精妙的比喻和類比，將它們化繁為簡，讓我能夠輕鬆跨越理解的障礙。我曾經在其他教材中遇到的很多睏惑，在這本書裏都得到瞭圓滿的解答。作者的語言風格也十分吸引人，既有學術的嚴謹，又不失靈動的趣味，讓我在閱讀過程中始終保持著高度的專注和興趣。這本書讓我真正體會到瞭數學的魅力，也讓我對隨機偏微分方程的研究充滿瞭信心。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在該領域摸爬滾打多年的研究者，我必須說，這本書在處理隨機性方麵提供瞭一種令人耳目一新的視角。作者並沒有將隨機性作為一個附加項來簡單處理，而是將其深度融入到有限元框架的構建之中。我尤其欣賞他對隨機過程的建模和離散化方法的創新性闡述，這讓我能夠以更係統、更全麵地理解隨機偏微分方程的本質。書中對於隨機函數的處理、隨機項的采樣以及數值積分的討論，都非常到位，而且提供瞭實用的技術指導。我曾經在處理一些非綫性隨機方程時感到力不從心，但這本書提供的某些方法，比如多重尺度分解，讓我看到瞭解決問題的希望。作者在書中對不同數值模擬策略的權衡，比如計算成本與精度之間的關係，也為我提供瞭寶貴的決策依據。他對算法的僞代碼描述清晰明瞭，能夠幫助我快速地理解和實現。書中的案例研究也非常有啓發性，特彆是那些涉及不確定性量化和風險評估的應用，讓我看到瞭這項技術在工程和金融領域的巨大潛力。這本書讓我對隨機偏微分方程的理解提升到瞭一個新的高度，也為我未來的研究方嚮提供瞭新的思路。

評分☆☆☆☆☆

不錯

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很好的，適閤學習，值得推薦

評分☆☆☆☆☆

不孬

評分☆☆☆☆☆

很好的一本教材，用來提高基礎知識部分，多讀幾遍，受益匪淺

評分☆☆☆☆☆

隨機偏微分方程有限元方法 hao

評分☆☆☆☆☆

好好好好好好好好好好好好好好好好

評分☆☆☆☆☆

不錯的一本書

評分☆☆☆☆☆

不錯

評分☆☆☆☆☆

理論比較多，數值沒有。不知道為什麼