数值计算方法（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

蔡锁章，杨明，雷英杰 著

图书标签:

• 数值计算
• 数值分析
• 科学计算
• 算法
• 数学
• 高等数学
• 工程数学
• 计算方法
• 数值方法
• 理工科

出版社： 国防工业出版社

ISBN：9787118107616

版次：2

商品编码：11887815

包装：平装

丛书名： 普通高等院校“十三五”规划教材

开本：16开

出版时间：2016-02-01

用纸：胶版纸

页数：246

字数：394000

正文语种：中文

内容简介

　　《数值计算方法（第2版）》在高等理工科院校的高等数学和线性代数知识的基础上，介绍数值计算方法的基本概念、方法和理论，着重介绍工程计算中的常用算法，包括误差理论、方程的近似解法、线性方程组解法、特征值和特征向量的求法、插值法和曲线拟合、数值微分与数值积分、常微分方程数值解法、偏微分方程数值解法等。各章配有适量习题，并附有习题答案。
　　《数值计算方法（第2版）》可作为高等工科院校数值计算方法的教材，也可供工程技术人员自学参考。

目录

第1章 误差分析与数值计算
1．1 引言
1．1．1 误差的来源
1．1．2 误差理论在数值计算中的作用
1．2 绝对误差与相对误差、有效数字
1．2．1 绝对误差与相对误差
1．2．2 有效数字
1．3 近似数的简单算术运算
1．3．1 近似数的加法
1．3．2 近似数的乘法
1．3．3 近似数的除法
1．3．4 近似数的幂和根
1．3．5 近似数的对数
1．3．6 近似数的减法
1．4 数值计算中误差分析的若干原则
习题1

第2章 非线性方程（组）的近似解法
2．1 引言
2．2 根的隔离
2．2．1 根的隔离
2．2．2 代数方程实根的上下界
2．2．3 代数方程实根的个数
2．3 对分法
2．4 迭代法
2．4．1 迭代法
2．4．2 收敛定理
2．4．3 迭代法收敛速度
2．4．4 加速收敛技术
2．5 牛顿迭代法
2．5．1 牛顿迭代公式
2．5．2 牛顿迭代法的收敛性
2．5．3 牛顿法中初始值的选取
2．6 弦截法
2．7 用牛顿法解方程组
习题2

第3章 线性方程组的解法
3．1 引言
3．2 高斯消去法
3．2．1 顺序高斯消去法
3．2．2 主元消去法
3．3 矩阵的LU分解
3．3．1 矩阵的LU分解
3．3．2 矩阵A的LU分解求法
3．4 对称矩阵的LDLT分解
3．4．1 对称矩阵的矩阵分解形式
3．4．2 对称矩阵LDLT分解的计算公式
3．4．3 对称带形矩阵LDLT分解的带宽性质
3．4．4 解对称正定线性方程组的矩阵分解法
3．5 线性方程组解的可靠性
3．5．1 误差向量和向量范数
3．5．2 残向量
3．5．3 误差的代数表征
3．5．4 病态线性方程组
3．5．5 关于病态方程组的求解问题
3．6 简单迭代法
3．6．1 迭代法简介
3．6．2 迭代过程的收敛性
3．7 雅可比迭代法与高斯-塞得尔迭代法
3．7．1 雅可比迭代法
3．7．2 高斯-塞得尔迭代法
3．7．3 雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性
3．8 解线性方程组的超松弛法
习题3

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算
4．1 引言
4．2 幂法与反幂法
4．2．1 幂法
4．2．2 反幂法
4．3 雅可比方法
4．3．1 预备知识
4．3．2 雅可比方法
习题4

第5章 插值与拟合
5．1 引言
5．2 插值多项式的存在性和唯一性、线性插值与抛物插值
5．2．1 代数插值问题
5．2．2 插值多项式的存在性和唯一性
5．2．3 线性插值与抛物插值
5．3 拉格朗日插值多项式
5．3．1 插值基函数
5．3．2 拉格朗日插值公式
5．3．3 插值余项与误差估计
5．4 均差插值公式
5．4．1 均差的定义、均差表及性质
5．4．2 均差插值公式
5．5 差分、等距节点插值多项式
5．5．1 差分的定义、性质及差分表
5．5．2 等距节点插值公式
5．6 厄米特插值
5．6．1 构造基函数的方法
5．6．2 构造均差表的方法
5．7 分段低次插值
5．7．1 龙格现象
5．7．2 分段线性插值
5．7．3 分段三次厄米特插值
5．8 三次样条函数
5．8．1 三次样条函数的定义
5．8．2 用节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数
5．8．3 用节点处的一阶导数表示的三次样条插值函数
5．8．4 三次样条插值函数的误差估计
5．8．5 追赶法
5．9 曲线拟合的最小二乘法
5．9．1 问题的提出
5．9．2 最小二乘法表述
5．9．3 最小平方逼近多项式的存在唯一性
5．9．4 观察数据的修匀
习题5

第6章 数值积分和数值微分
6．1 引言
6．2 牛顿-柯特斯型数值积分公式
6．2．1 牛顿-柯特斯求积公式的导出
6．2．2 插值型求积公式的代数精度
6．2．3 梯形公式和辛普生公式的余项
6．3 复合求积公式
6．3．1 牛顿-柯特斯公式的收敛性和数值稳定性
6．3．2 复合梯形公式与复合辛普生公式
6．3．3 步长的自动选择
6．4 龙贝格求积公式
6．4．1 复合梯形公式的递推公式
6．4．2 龙贝格求积算法
6．4．3 计算步骤及数值例子
6．5 高斯求积公式
6．5．1 高斯积分问题的提出
6．5．2 高斯求积公式
6．5．3 勒让德多项式的性质
6．5．4 高斯-勒让德求积公式
6．5．5 高斯-勒让德求积公式的余项
6．6 二重积分的数值积分法
6．6．1 矩形域上的二重积分
6．6．2 一般区域上的二重积分
6．7 数值微分
6．7．1 均差公式
6．7．2 插值型求导公式
6．7．3 三次样条求导
习题6

第7章 常微分方程的数值解法
7．1 引言
7．2 欧拉折线法与改进的欧拉法
7．2．1 欧拉（Euler）折线法
7．2．2 初值问题的等价问题与改进的欧拉法
7．2．3 公式的截断误差
7．2．4 预报-校正公式
7．3 龙格-库塔方法
7．3．1 泰勒级数法
7．3．2 龙格-库塔方法的基本思想
7．3．3 龙格-库塔公式的推导
7．3．4 步长的自动选择
7．4 线性多步法
7．4．1 线性多步方法
7．4．2 阿达姆斯外推法
7．4．3 阿达姆斯内插法
7．4．4 隐式格式迭代、预报-校正公式
7．4．5 阿达姆斯预报-校正法的改进
7．4．6 利用泰勒展开方法构造线性多步公式
7．5 算法的稳定性与收敛性
7．5．1 稳定性
7．5．2 收敛性
7．6 微分方程组和高阶微分方程的解法
7．6．1 一阶方程组
7．6．2 高阶微分方程的初值问题
习题7

第8章 偏微分方程数值解法
8．1 引言
8．2 常微分方程边值问题的差分方法
8．2．1 差分方程的建立
8．2．2 差分方程解的存在唯一性、对边值问题解的收敛性、误差估计
8．2．3 差分方程组的解法
8．2．4 关于一般二阶常微分方程第3边值问题
8．3 化二阶椭圆型方程边值问题为差分方程
8．3．1 微分方程的差分逼近
8．3．2 边值条件的近似处理
8．4 椭圆差分方程组的迭代解法
8．4．1 差分方程的迭代解法
8．4．2 迭代法的收敛性
8．5 抛物型方程的显式差分格式及其收敛性
8．5．1 显式差分格式的建立
8．5．2 差分格式I的收敛性
8．6 抛物型方程显式差分格式的稳定性
8．6．1 差分格式的稳定性问题
8．6．2 图方法
8．6．3 稳定性的定义及显式差分格式的稳定性
8．7 抛物型方程的隐式差分格式
8．7．1 简单隐式格式
8．7．2 六点差分格式
8．8 双曲型方程的差分解法
8．8．1 微分方程的差分逼近
8．8．2 初始条件和边值条件的差分近似
8．8．3 差分解的收敛性和差分格式的稳定性
习题8
习题答案

前言/序言

好的，这是一份关于一本名为《数值分析基础与应用》的图书简介，内容详尽，旨在描述其核心价值和涵盖范围，同时避免提及您提供的特定书名或任何人工智能生成内容的迹象。 --- 图书简介：数值分析基础与应用 导论：现代计算科学的基石 在当今科技飞速发展的时代，精确的数值计算已成为工程、物理、金融、生物医学乃至人工智能等各个领域不可或缺的工具。然而，现实世界中的复杂问题往往无法通过解析方法直接求解。从求解复杂的微分方程到优化高维函数，我们必须依赖高效、稳定且可靠的数值算法。本书《数值分析基础与应用》正是为填补这一知识鸿沟而创作，它系统地梳理了数值分析领域的核心理论、经典算法及其在实际问题中的应用。 本书旨在为读者，无论是高等院校的理科、工科学生，还是需要利用计算方法解决实际问题的研究人员和工程师，提供一套坚实且深入的理论框架与实践指南。我们不仅关注“如何计算”，更深入探讨“为何如此计算”以及“结果的可靠性如何”。 第一部分：误差分析与浮点运算——理解计算的局限 数值计算的起点是对误差的精确理解。本部分首先建立了计算数学的理论基础，详细阐述了计算机如何表示实数，即浮点运算系统的内在机制及其带来的舍入误差。我们将深入探讨误差的来源、传播规律，特别是截断误差和不适定问题对计算结果稳定性的影响。 浮点数表示与运算：剖析IEEE 754标准，分析不同精度浮点数对计算精度的制约。 误差的传播与放大：通过具体的算例，展示病态矩阵和不适定问题如何导致微小的输入误差被不成比例地放大。 有效数字与稳定性：引入条件数、前向误差和后向误差的概念，指导读者如何设计和选择数值稳定的算法。 第二部分：线性代数方程组的数值解法 线性方程组 $mathbf{A}mathbf{x} = mathbf{b}$ 是工程和科学计算中最常见的问题之一。本部分系统地介绍了求解这类问题的各种方法，从基础的直接法到应对大规模稀疏矩阵的迭代法。 直接解法：详述高斯消元法、LU分解、Cholesky分解（针对对称正定系统）的原理、实现细节及计算效率分析。重点讨论矩阵的三角化在提高计算速度和稳定性的作用。 矩阵分解的高级应用：探讨QR分解在最小二乘问题求解中的核心地位，以及SVD（奇异值分解）在数据降维和伪逆计算中的广泛应用。 迭代法：针对超大型稀疏系统，详细介绍雅可比法、高斯-赛德尔法，并着重分析了更高效的迭代方法如SOR（超松弛迭代法）和 Krylov 子空间方法（如共轭梯度法CG和GMRES）。 第三部分：非线性方程与优化问题 在许多实际建模中，我们需要寻找函数的根或确定函数的最小值/最大值。本部分专注于这类非线性问题的数值求解技术。 单变量非线性方程求根：全面对比了二分法、不动点迭代法、牛顿法及其修正形式（如割线法），并对它们的收敛速度和区域进行了严格分析。 多变量非线性方程组：介绍牛顿法在多维空间中的扩展，以及准牛顿法（如BFGS、DFP）如何在不进行昂贵Hessian矩阵计算的情况下实现高效求解。 无约束优化：系统讲解梯度下降法、最速下降法、牛顿法和拟牛顿法在寻找函数极小值点时的应用，强调线搜索策略的重要性。 第四部分：插值、拟合与函数逼近 数据的获取往往是不连续或带有噪声的。如何利用有限的样本点来精确或近似地描述原始函数是数值分析的重要任务。 插值技术：深入讨论拉格朗日插值、牛顿插值（含有限差分）的构造与局限性。重点讲解分段插值，特别是三次样条插值在保证光滑性方面的优越性。 最小二乘拟合：讲解线性最小二乘和非线性最小二乘方法的原理，如何用统计思想处理带有噪声的数据。 函数逼近：介绍傅里叶级数在周期函数逼近中的应用，以及切比雪夫逼近在寻找全局最优逼近方面的独特优势。 第五部分：常微分方程的数值解法 微分方程是描述动态系统的核心数学工具。本部分聚焦于如何利用计算机求解常微分方程（ODE）。 单步法：详细解析欧拉法（前向、后向）的稳定性和收敛性，并引入龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族，特别是经典的四阶RK法及其高阶变体。 多步法：介绍Adams-Bashforth和Adams-Moulton公式，对比其与单步法的效率和稳定性权衡。 刚性方程处理：针对具有快速变化时间尺度的刚性系统，介绍隐式方法（如后向欧拉法）和相应的稳定性区域分析。 结语：理论与实践的桥梁 《数值分析基础与应用》不仅是一本理论教材，更是一本实用的工程手册。每章后均配有丰富的、源自真实科学和工程问题的实例，这些实例贯穿了从数据处理到物理模拟的广泛领域。本书强调算法的编程实现，鼓励读者利用现代计算工具（如MATLAB, Python及其科学计算库）进行实践，从而深刻理解算法在有限精度环境下的实际表现。通过本书的学习，读者将能够批判性地选择、设计和实现稳健的数值方法，为解决前沿科学和工程挑战奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计和纸质手感着实让人眼前一亮，拿到手里感觉沉甸甸的，很有分量。封面设计简洁又不失专业感，配色偏向沉稳的蓝灰色调，很符合理工科教材的定位。内页排版也做得相当用心，字体大小适中，行距宽松，这对于需要长时间阅读和查阅的教材来说至关重要。尤其是那些复杂的数学公式，清晰度和准确性都做得非常到位，即便是初次接触这些符号的读者，也能比较轻松地分辨和理解。不过，说实话，拿到手翻阅时，我就意识到这可不是一本轻松的读物，从目录就能看出内容的广度和深度，随便翻开一章，里面密密麻麻的推导过程和理论阐述，立刻就能感受到作者在内容组织上的严谨。光是那些对算法收敛性的探讨和误差分析的章节，就让人领教了作者的功底。对于我们这些需要经常与数值方法打交道的工程技术人员来说，这种扎实的物理感受和视觉体验，确实能提升学习和研究的积极性，让人更愿意沉下心去啃下这些硬骨头。

评分☆☆☆☆☆

关于章节间的衔接和知识体系的构建，这本书的编排也显示出高超的匠心。它并非是简单地将各种数值方法堆砌在一起，而是构建了一个非常清晰的知识脉络。从最基础的误差分析和函数逼近开始，稳步推进到线性代数方程组的求解，再过渡到常微分方程的数值积分，最后触及到偏微分方程的数值解法。这种循序渐进的结构，使得读者在学习新内容时，总能找到与先前知识点的关联。例如，对迭代法的讨论，贯穿了从基础到高级算法的整个学习路径，使得读者能够清晰地看到不同方法之间的继承和发展关系。这种宏观的结构设计，极大地帮助了学习者建立起对整个数值计算领域的整体认知框架，避免了知识点碎片化的问题。对于自学者来说，这种清晰的路径图简直是至关重要的导航仪，让人清楚地知道自己现在所处的位置以及下一步该往哪里走。

评分☆☆☆☆☆

我个人在使用这本书的过程中，最大的体会是它在理论深度与工程实践之间的平衡把握得恰到好处。很多经典的数值方法，例如有限差分法、有限元法的基本框架，书里都进行了深入的剖析，包括对稳定性和收敛性的严格论证，这无疑满足了理论研究者的需求。然而，更难能可贵的是，作者并没有止步于高深的数学理论，而是紧密结合了实际工程中的应用案例。比如，在讲解特定迭代法的收敛加速技巧时，作者会引用一些实际的算例来佐证理论结论的有效性。这种双重属性，使得这本书既可以作为高等数学或应用数学专业研究生的高级教材，也可以作为需要进行科学计算的工程师案头必备的参考手册。我发现，每当我遇到一个棘手的数值难题时，翻开这本书，总能在某个角落找到相应的理论支撑或有效的求解思路，其内容的覆盖面之广令人印象深刻，堪称一本“百宝箱”式的工具书。

评分☆☆☆☆☆

当然，作为一本深度专业书籍，它也必然带有一定的挑战性。对于那些数学基础相对薄弱的读者来说，初次接触可能会感到有些吃力。书中的某些定理证明部分，特别是涉及到泛函分析或高级微积分工具的部分，需要读者具备相当扎实的背景知识才能完全领会其精妙之处。而且，由于内容非常详实，篇幅自然不短，想要“速成”几乎是不可能的任务，它要求学习者投入大量的时间和精力进行反复研读和消化。这本书的价值在于其深度和完备性，而非轻便易读性。所以，我建议潜在读者最好是已经对相关数学基础有了初步的掌握，才能更好地享受和利用这本书所提供的丰富资源。它更像是一座需要时间去攀登的高山，虽然过程艰辛，但山顶的风景绝对值得。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格极其严谨，简直就是教科书的典范。作者在阐述每一个核心概念时，都力求做到逻辑清晰、层层递进，没有丝毫的含糊不清或跳跃式的表达。特别是对于那些基础性定理的引入，往往会先从一个直观的物理背景或实际问题出发，帮助读者建立起感性的认识，然后再过渡到严密的数学证明。这种“先知后术”的讲解方式，极大地降低了初学者的入门门槛。我特别欣赏作者在处理算法描述时的细致程度，不仅给出了伪代码，还详细说明了每一步背后的数学原理和计算复杂度，这一点对于我们自己实现算法时至关重要。很多其他教材可能只停留在公式推导层面，而这本书则把“如何算”和“为什么这么算”结合得非常完美。虽然阅读过程需要高度集中注意力，时不时得停下来对照着公式仔细推敲，但每攻克一个难点，那种豁然开朗的感觉，是其他任何学习体验都无法替代的。它不仅仅是知识的罗列，更像是一场结构严谨的智力探险。