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内容简介

　　反常扩散或反常运移现象在环境、水文、海洋、生物等领域广泛存在，是一类不服从经典Fick第二定律的扩散现象。
　　《反常扩散的分数阶微分方程和统计模型》主要讲述反常扩散相关研究基础，介绍两种反常扩散的理论模型及其应用，包括分数阶导数扩散方程模型的理论基础、物理机理、数值算法；反常扩散统计描述涉及的非常规统计方法和随机行走模型等。在工程应用方面，《反常扩散的分数阶微分方程和统计模型》主要讲述反常扩散模型在地下含水层溶质迁移过程模拟、水工建筑物混凝土氯离子侵蚀，非饱和土壤水分运移过程分析与其他领域的应用。《反常扩散的分数阶微分方程和统计模型》涵盖了反常扩散的基本知识、建模手段、数值算法、工程应用、研究热点和新进展。
　　《反常扩散的分数阶微分方程和统计模型》可作为高等院校力学、环境科学、物理、水文和岩土等专业的研究生选修课教材或教学参考书，也可以作为水利、土木、生物、数学、交通、采矿类领域的有关研究人员的参考书。

内页插图

目录

前言

第一章 绪论
1．1 反常扩散的定义
1．2 自然界和工程中的反常扩散现象
1．3 研究历史与现状
1．3．1 反常扩散建模与应用
1．3．2 反常扩散的数值模拟方法

第二章 反常扩散建模概述
2．1 反常扩散物理基础
2．2 非线性扩散模型
2．2．1 非线性模型I
2．2．2 非线性模型II
2．3 变系数扩散模型
2．3．1 考虑扩散系数时间依赖性的模型
2．3．2 考虑边界条件时间依赖性的模型
2．4 随机行走模型 ．
2．5 分数阶扩散模型

第三章 分数阶扩散模型基础
3．1 分数阶导数与分形导数
3．1．1 分数阶微积分的定义
3．1．2 分数阶微积分的性质
3．1．3 变阶与随机阶积分和导数的定义、分形导数定义
3．1．4 分形导数的定义
3．2 分数阶Fick定律、微分方程模型及其统计表示
3．3 多尺度反常扩散建模
3．3．1 分布式导数扩散模型
3．3．2 数值算例与讨论
3．4 分数阶导数模型与分形导数模型的比较
3．4．1 理论分析
3．4．2 数值算例
3．4．3 小结

第四章 变导数反常扩散模型
4．1 变导数研究简介
4．2 变导数反常扩散模型的分类与应用分析
4．2．1 时间依赖形式的变导数模型
4．2．2 空间依赖形式的变导数模型
4．2．3 浓度依赖形式的变导数模型
4．2．4 系统参数依赖形式的变导数模型
4．2．5 变导数反常扩散模型的统计特征
4．2．6 讨论
4．3 模糊系统观点
4．3．1 问题的提出
4．3．2 模糊分数阶系统
4．3．3 算例分析
4．4 随机导数模型
4．4．1 研究意义
4．4．2 随机导数耗散模型
4．4．3 随机导数反常扩散模型
4．4．4 随机导数模型的统计特性及其应用
4．4．5 讨论

第五章 分数阶导数方程模型的反问题
5．1 反问题简述
5．1．1 反问题的求解
5．1．2 分数阶导数方程的五类反问题
5．1．3 小结
5．2 参数反问题
5．2．1 Levenberg-Marquardt算法求解．
5．2．2 参数反演问题的同伦算法．
5．2．3 数值算例
5．2．4 小结
5．3 最佳摄动法求解源项反问题
5．3．1 源项反问题
5．3．2 最佳摄动量法
5．3．3 数值算例

第六章 分数阶反常扩散方程的计算方法
6．1 分数阶反常扩散方程的算法简介
6．2 一些分数阶反常扩散方程的解析解
6．2．1 Mittag-Lefflei．函数简介
6．2．2 分数阶耗散模型的解析解．
6．2．3 分数阶扩散模型的解析解
6．3 时间分数阶反常扩散方程的有限差分算法
6．4 基于有限单元法的时间分数阶反常扩散方程半解析算法
6．4．1 算法框架
6．4．2 数值算例
6．4．3 讨论
6．4．4 小结
6．5 空间分数阶反常扩散方程的有限单元法
6．5．1 模型描述
6．5．2 变分形式
6．5．3 有限元求解
6．5．4 数值算例
6．5．5 问题与讨论
6．5．6 附录．

第七章 反常扩散的非常规统计建模方法
7．1 Levy稳定分布
7．1．1 Levy稳定分布的特征函数
7．1．2 L6vy稳定分布的密度函数和稳定分布函数
7．1．3 L6vy稳定分布的随机数
7．1．4 L6vy稳定分布的参数估计
7．2 扩展Gaussian分布
7．3 Tsallis分布
7．3．1 Tsallis熵的引入
7．3．2 Tsallis熵的非广延性
7．3．3 Tsallis熵与广义微分算子的关系
7．3．4 Tsallis分布
7．4 Mittag-Lefflei．分布
7．4．1 Mittag-leffler函数
7．4．2 单参数的Mittag-Leffler分布
7．4．3 双参数的Mittag-Leffler分布
7．4．4 Mittag-Leffler随机数的生成
7．5 Levy稳定分布Matlab工具箱
7．5．1 建模功能模块
7．5．2 图形界面功能模块

第八章 随机行走模型
8．1 连续时间随机行走模型
8．1．1 连续随机行走模型理论基础
8．1．2 随机行走模型的蒙特卡洛模拟
8．2 分形结构介质中的反常扩散
8．2．1 研究背景
8．2．2 分形介质扩散基本概念．
8．2．3 分形结构构造
8．2．4 分形结构中的随机行走
8．2．5 分形结构中的随机行走模型参数确定．

第九章 流体力学和水文中的反常扩散
9．1 分数阶扩散模型在地下含水层溶质迁移过程模拟中的应用
9．2 水工建筑物混凝土氯离子侵蚀
9．2．1 混凝土中氯离子扩散模型
9．2．2 时间分数阶扩散方程中的参数获得
9．2．3 结果与讨论
9．2．4 小结
9．3 分形导数Richards模型在非饱和土壤水分运移过程研究中的应用．．
9．3．1 模型描述
9．3．2 讨论
9．3．3 小结
9．4 分数阶扩散模型在水流含沙量垂向分布研究中的应用
9．4．1 模型描述．
9．4．2 实验数据分析
9．4．3 讨论

第十章 反常扩散在其他领域中的应用
10．1 量子物理中的反常扩散
10．1．1 薛定谔方程
10．1．2 空间分数阶薛定谔方程
10．1．3 时间分数阶薛定谔方程
10．1．4 分数阶薛定谔方程的相关变换
l0．1．5 国内外其他研究进展
10．2 生物流体力学中的反常扩散现象
10．2．1 生物渗流力学中的反常扩散
10．2．2 心肌细胞内钙火花反常扩散
10．2．3 药物控释反常扩散
10．2．4 多孔介质干燥过程中湿分的反常扩散
10．3 复杂介质中的反常热传导过程分析
10．3．1 非傅里叶热传导
10．3．2 多孔介质中传热传质现象

第十一章 结论与展望
11．1 结论
11．2 研究展望

参考文献

前言/序言

　　扩散是自然界中广泛存在的物理过程，具有悠久的研究历史，是一个既古老又新兴的研究课题。但是由于扩散介质的复杂性，特别是非均匀性和各向异性，大多数扩散过程不服从经典的Fick第二定律，应该称为反常扩散。反常扩散或反常运移是物理、环境、水文、生物、气象等学科重要的研究课题，从物理上讲，这类扩散过程不能使用标准的统计物理方法来描述。具体的反常扩散现象包括地下含水层溶质迁移、土壤中水分或污染物扩散、湍流涡运动、药物控释、神经信号传输、固体废弃物渗透、核废料深层渗漏等。
　　我们在已出版的《力学与工程问题的分数阶导数建模》（科学出版社，2011年）一书中，已经简要介绍了反常扩散过程的分数阶导数建模与统计描述。本书是在已有内容的基础上进行扩展和补充，作者希望通过本书能够使读者较全面地了解反常扩散建模、数值算法和应用方面的知识和前沿，在此基础上获得新思路和灵感，促进反常扩散研究的发展。
　　本书关注复杂介质中水和溶质的扩散规律及其应用。复杂介质中水的扩散和运移规律是环境、气象和生物等领域关心的主要课题之一，其重要性体现在下列两个方面：第一，水分的扩散和运移直接影响地球的水循环、生物对水分的吸收、地下水的利用等；第二，水分扩散和运移过程直接影响水中溶质的扩散和运移，它是溶质扩散和运移研究的基础课题之一。量化描述污染物或各种溶质粒子在复杂介质中的时空分布特征和迁移规律可以为污染控制、环境和生态保护提供理论依据。反常扩散研究将有助于准确预测土壤与地下水的污染程度，评估污染物对土壤或地下含水层的长期环境影响，进而为土壤和地下水污染的治理提供依据。反常扩散的研究成果也可以直接应用于解决其他的环境问题，例如，海水入侵、核废料处理、烂尾矿、混凝土腐蚀等。反常扩散的研究与分数阶布朗运动直接相关，在理论上，反常扩散的研究也对深入理解分数阶布朗运动与涨落理论具有重要的价值，因而反常扩散也是力学与物理学的一个重要理论研究课题。同时热传导、药物控释、生物大分子运动和半导体导电研究等许多问题实际上都涉及反常扩散过程，本书的研究成果也同样适用。
　　反常扩散的研究手段主要包括确定性微分方程模型和统计物理方法。本书主要介绍分数阶导数扩散方程模型来量化分析复杂介质中的扩散过程，讲解反常扩散相关研究基础，分数阶扩散模型的基本概念。分数阶导数的数学定义是由一个卷积积分表示的，从物理上来讲，时间分数阶导数描述过程相关的物理现象，称为历史依赖性；空间分数阶导数描述物理过程的路径依赖和全域相关特征，称为全域依赖性。因此，分数阶导数扩散方程模型可以描述各类反常扩散过程，特别是扩散行为的历史依赖性、路径依赖性和非局域性。在点源条件下，反常扩散过程中位移统计二阶矩与时间的关系呈幂指数关系，也可以由此得到统计幂指数与分数阶导数模型阶数之间的量化关系。同时，由反常扩散的统计描述也可以得到统计模型方法，本书主要讲述反常扩散涉及的非常规统计方法和随机行走模型。
　　反常扩散的研究成果在多个领域有广泛的应用，本书主要讲述理论成果在环境和水文领域的应用，具体包括地下含水层溶质迁移过程模拟以得到准确预测土壤与地下水的污染程度，评估污染物对土壤或地下含水层的长期环境影响，同时讲述反常扩散模型在水工建筑物混凝土氯离子侵蚀、非饱和土壤水分运移过程分析、河流泥沙运动及其他领域的应用。
　　本书的内容主要来源于作者及其研究团队在反常扩散研究方面的研究积累和学术见解，其中主要涉及的科学问题的研究源于与课题组承担的反常扩散课题相关的国家自然科学基金项目（项目编号：11572111，11572112，11528205，41628202）、国家杰出青年基金项目（项目编号：11125208）、“111”引智计划项目（项目编号：B12032）等。参加本书部分工作的课题组成员包括庞国飞、韦慧、张建军、梁英杰、危嵩、蔡伟、许政、刘肖廷、常爱莲、胡帅、黑鑫东；其他课题组成员在本书的写作过程中提供了素材及许多宝贵的修改意见，同时还得到许多同仁的热心帮助；张勇教授对本书的撰写工作提出了宝贵的修改建议，作者在此一并致谢。
　　由于作者水平所限，书中不足之处在所难免，热忱欢迎同行们和广大读者批评指正。
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