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[美] 莱曼.E.L. 著

图书标签:

• 统计学
• 大样本理论
• 数理统计
• 概率论
• 统计推断
• 渐近理论
• 中心极限定理
• 统计估计
• 假设检验
• 统计模型

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787519220778

版次：1

商品编码：12097875

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-06-01

用纸：胶版纸

内容简介

《大样本理论基础》是一部全面论述一阶大样本理论的经典教科书，是世界各国公认的统计专业研究生的首教材。书中讨论了大量的应用问题，包括密度估计、自助法和抽样方法论的渐进。本书内容深入浅出，学习者只需掌握微积分基础知识。各章最后有问题和练习，每节末有小结。

作者简介

E.L.Lehmann（莱曼, E. L.）是美国加利福尼亚大学教授，享誉世界，著有《大样本理论基础》《点估计理论》《测试统计假设》等图书。

现代统计推断：从有限到无限的桥梁 本书旨在系统梳理和深入探讨现代统计推断的基石——大样本理论。本书聚焦于统计量在样本容量趋于无穷大时的渐近性质，这是连接有限样本统计与实际应用中不可或缺的理论桥梁。 --- 第一部分：渐近理论的数学基石 本部分将为读者打下坚实的数学基础，以便深入理解后续的统计学应用。我们将从概率论的经典极限定理出发，逐步过渡到更精细的渐近工具。 第一章：概率论回顾与收敛概念 本章首先回顾概率论中至关重要的概念，包括随机变量、矩、独立性以及鞅论的初步介绍。重点在于清晰界定不同类型的概率收敛：依概率收敛（Convergence in Probability）、依分布收敛（Convergence in Distribution）、几乎必然收敛（Almost Sure Convergence）以及 $L^p$ 范数下的收敛。我们将通过具体的例子对比这些收敛类型的强弱关系，并论证它们在统计推断中的不同角色。 第二章：经典极限定理的深化 经典的两大极限定理——大数定律（Law of Large Numbers, LLN）和中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是所有大样本理论的起点。本章将详细探讨这些定理的各种变体。 大数定律的变体： 深入研究强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）和弱大数定律（Weak Law of Large Numbers, WLLN）的证明技巧和实际应用场景。特别关注随机变量序列的独立同分布（i.i.d.）假设的放松，如马尔可夫链的遍历性下的SLLN。 中心极限定理的拓展： 标准CLT仅适用于独立同分布（i.i.d.）的随机变量序列。本章将引入更具普适性的 Lindeberg-Feller CLT，它适用于独立但不一定同分布的随机变量。我们还将讨论函数空间上的CLT，如Donsker定理，这是函数型统计量（如经验过程）渐近分析的基础。 第三章：渐近正态性与Delta 方法 统计推断的核心往往在于构建置信区间和进行假设检验，这依赖于统计量的渐近正态性。本章将围绕这一核心展开。 Delta 方法： 这是推导复杂函数型统计量（如比率、函数变换）渐近分布的利器。我们将详细阐述 Delta 方法的定理内容、应用条件（包括一阶和高阶Delta方法），并通过多个实际例子，如极大似然估计量函数的渐近分布，展示其强大的计算能力。 连续映射定理（Continuous Mapping Theorem, CMT）： CMT与Delta方法相辅相成，用于确定连续函数作用于收敛随机变量的极限分布。本章会结合概率论中的拓扑概念，解释为什么CMT在处理依分布收敛时尤为重要。 --- 第二部分：估计量的渐近性质 本部分将理论应用于统计估计，重点分析估计量在样本量增大时的行为，特别是收敛速率和有效性。 第四章：矩估计量与样本矩的极限 矩估计法是最直观的估计方法之一。本章分析样本矩 $ar{X}_n = frac{1}{n}sum_{i=1}^n X_i$ 的渐近性质。 样本矩的渐近分布： 结合大数定律和中心极限定理，推导出样本均值和样本方差的渐近正态性。 高阶矩： 讨论高阶样本矩的稳定性和渐近行为，特别是当总体分布的矩存在性受到挑战时（如柯西分布），矩估计量的局限性。 第五章：极大似然估计量（MLE）的渐近理论 MLE因其在信息论上的最优性而成为现代统计学的核心。本章深入探讨其渐近行为的“黄金标准”。 MLE的相合性： 证明在正则条件下，MLE是一致估计量（Asymptotically Consistent）。 MLE的渐近正态性与有效性： 详细阐述MLE的渐近分布是正态的，并且其渐近方差达到了克拉美-罗下界（Cramér-Rao Lower Bound），即是渐近有效估计量。这部分将结合费舍尔信息量和信息不等式进行严格论证。 参数空间的光滑性要求： 讨论 MLE 理论成立时对参数空间和密度函数的光滑性、紧凑性等要求的敏感性。 第六章：M 估计量与广义线性模型的极限 M 估计量是一类基于最小化（或最大化）某个准函数（$Q_n( heta)$）的估计方法，它涵盖了MLE、OLS、最小绝对残差估计等多种方法。 M 估计量的普遍收敛性： 建立M估计量的一致性、渐近正态性以及其渐近方差的计算公式（稳健标准误的理论基础）。 广义线性模型（GLM）的迭代权重最小二乘（IRLS）估计： 从M估计量的角度分析GLM中参数估计的渐近行为，特别是泊松回归和Logistic回归的极限性质。 第七章：半参数模型与非参数估计的初步 当模型依赖于未知函数时，大样本理论依然发挥关键作用。 核密度估计（KDE）： 分析核函数的选择（如带宽 $h_n$）如何影响 KDE 的收敛速率（包括均方误差的收敛速度）。探讨带宽选择的渐近最优性标准。 非参数回归的极限： 介绍局部多项式回归（如Nadaraya-Watson估计器）的渐近均方误差性质，并将其与参数模型的效率进行对比。 --- 第三部分：统计推断的渐近操作 大样本理论最终要服务于推断和检验。本部分关注如何利用渐近性质构建可靠的推断工具。 第八章：经验过程与函数型统计量 为了分析更复杂的统计对象，如经验分布函数（EDF）和经验过程，我们需要更强大的工具。 经验过程的收敛： 引入经验过程（Empirical Process）和布朗桥（Brownian Bridge）的概念。利用Donsker定理证明经验过程的依分布收敛到布朗桥。 Kolmogorov-Smirnov 和 Anderson-Darling 检验： 这些非参数检验的检验统计量（如 $D_n = sup_x |F_n(x) - F(x)|$）的极限分布正是基于经验过程的极限性质推导出来的，本章将详述这一推导过程。 第九章：渐近检验与有效性 假设检验的有效性在极限意义上得以精确衡量。 似然比检验（LRT）的渐近分布： 严格证明在原假设成立的条件下，似然比统计量在极限意义上服从自由度为约束参数数量的 $chi^2$ 分布。这是最广泛使用的检验方法之一。 分数似然比检验（Wald 检验和 Score 检验）： 详细讨论 Wald 检验（基于估计量本身及其渐近分布）和 Score 检验（基于得分函数）的渐近等价性，以及它们在计算复杂性上的权衡。 第十章：稳健性与Bootstrap方法的理论基础 现代统计学越来越重视推断的稳健性，Bootstrap方法为有限样本的推断提供了重要的补充。 M 估计量的稳健标准误： 利用 Efron 的渐近方差公式，推导出 M 估计量在模型误差（如异常值或厚尾分布）下的稳健标准误的计算方法，并论证其一致性。 Bootstrap方法的依分布收敛： Bootstrap的核心是重采样数据的经验过程是否能渐近地模拟真实数据的经验过程。本章将介绍Bootstrap的Plug-in原理，并探讨在特定条件下（如中心极限定理的推广形式），Bootstrap估计的有效性及其局限性（例如，在高维或非光滑函数下的失败案例）。 --- 本书特色： 本书严格遵循数学推导的逻辑链条，从概率论的收敛概念出发，逐步构建起处理复杂统计模型渐近性质的工具箱。每一个重要结论都辅以严谨的证明思路，旨在培养读者对统计量极限行为的直觉和洞察力，而非仅仅停留在公式应用层面。本书适合高年级本科生、研究生以及从事统计理论研究和方法开发的专业人士深入研习。

评分☆☆☆☆☆

读完《大样本理论基础》，我感觉自己像是完成了一次数学的“朝圣”。这本书的深度和广度都超出了我的想象，它不仅仅是关于“大样本”这几个字，更是关于统计推断的哲学和方法论。作者对“偏差”和“方差”权衡的深刻剖析，让我对模型选择有了全新的认识。之前总是纠结于如何找到最“精确”的模型，现在我才明白，在很多情况下，我们追求的是一个在偏差和方差之间取得良好平衡的模型，而大样本理论为我们理解和优化这个平衡提供了坚实的理论基础。书中关于“蒙特卡罗方法”和“自举法”等实际应用的介绍，也让我看到了理论与实践的完美结合。这本书的难度不小，需要一定的数学基础，但付出的努力是绝对值得的。它让我不仅仅是学会了统计学的知识，更是理解了统计学背后的思维方式和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

读这本书的体验，就像是在一个迷雾笼罩的山林中探索，而《大样本理论基础》就像是一张详细的藏宝图，一步步指引我拨开迷雾，找到隐藏在深处的珍宝。我之前一直对统计推断感到困惑，特别是当样本量很小的时候，如何做出可靠的结论？这本书花了大量的篇幅详细讲解了各种大样本性质，例如一致性、渐进正态性等等，这些概念虽然听起来有些技术性，但作者通过大量的例子和图示，将其解释得无比清晰。让我印象深刻的是，书中详细阐述了为什么在很多实际应用中，即便真实分布未知，我们仍然可以依赖大样本理论进行有效的统计推断。它解答了我心中长久以来的疑问：我们是如何从看似零散的样本数据中，推导出关于整体的可靠结论的？这本书的逻辑性极强，每一章都承接上一章，层层递进，让你在不知不觉中就掌握了复杂的理论。阅读过程中，我经常会停下来思考，将书中的概念与我过去处理数据时遇到的情况联系起来，恍然大悟，原来是这样！

评分☆☆☆☆☆

坦白说，一开始抱着“大概了解一下”的心态翻开这本书，没想到却被深深吸引，欲罢不能。作者的叙述方式非常独特，既有严谨的数学推导，又不乏生动的案例分析，让那些原本可能让人望而却步的定理和推论，变得触手可及。我尤其对书中关于“最大似然估计”在渐近意义下的优良性质的阐述感到惊艳。它解释了为什么在许多机器学习算法中，最大似然估计是如此的常用和有效。通过这本书，我不仅理解了“为什么”，更明白了“怎么用”。它为我打开了数据分析领域的一扇新大门，让我看到了在大数据时代，统计理论的强大生命力。我开始尝试将书中的知识应用到自己的项目和工作中，效果令人惊喜。这不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的导师，循循善诱，带我领略统计学的博大精深。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是颠覆了我对统计学的认知！以前总觉得统计学枯燥乏味，公式一大堆，根本不知道实际应用在哪里。读完《大样本理论基础》后，我才明白，原来那些看似抽象的理论，竟然是支撑现代数据分析和决策的基石。作者用非常生动形象的比喻，将中心极限定理、大数定律这些核心概念娓娓道来，一点点剥开它们神秘的面纱。我尤其喜欢其中关于“如何理解置信区间”的那一部分，之前总是模模糊糊，现在彻底豁然开朗。它不仅仅是告诉我们一个数值范围，更重要的是理解这个范围背后的概率含义，以及它在实际推断中扮演的角色。我甚至开始重新审视工作中遇到的各种数据报告，试图从中找到大样本理论的影子，理解数据科学家们是如何运用这些工具来得出结论的。这本书让我从一个旁观者变成了一个更深入的参与者，对数据分析的敬畏之心油然而生，也燃起了我继续深入学习统计学的热情。它让我想起了小时候玩抛硬币的游戏，无论你怎么抛，长远来看正面和反面的次数总会趋于相等，这种“趋于”的力量，正是大样本理论的魅力所在。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我重新认识“概率”这本书的奇妙旅程。之前我对概率的理解停留在“可能性的大小”，而《大样本理论基础》则将它提升到了一个全新的维度。它教会我如何从大量独立重复的随机现象中，捕捉到背后隐藏的规律性。书中关于“期望”和“方差”的讲解，让我理解了随机变量的中心趋势和离散程度，这些看似基础的概念，在构建更复杂的统计模型时起到了至关重要的作用。我尤其喜欢书中关于“渐进性质”的探讨，它揭示了当样本量无限增大时，统计量的行为会变得多么“乖巧”和可预测。这就像是在观察一片人口不断增长的城市，一开始个体行为千差万别，但当人口达到一定规模时，整体的消费模式、出行规律等就会显现出清晰的趋势。这种从个体随机到整体规律的转变，正是大样本理论的精髓所在。这本书不仅仅是理论的堆砌，更是一种思维方式的启迪，让我学会用更宏观、更长远的视角去看待数据和概率。