大學數學科學叢書35：實變函數論教程 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

楊力華 著

圖書標籤:

• 實變函數
• 數學分析
• 高等數學
• 大學教材
• 數學科學
• 函數論
• 測度論
• 積分論
• 數學教學
• 理論基礎

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030528322

版次：1

商品編碼：12109005

包裝：平裝

叢書名： 大學數學科學叢書

開本：16開

齣版時間：2017-05-01

用紙：膠版紙

頁數：162

字數：212000

正文語種：中文

內容簡介

　　《大學數學科學叢書：實變函數論教程》係統講述實變函數的基本理論，包括集閤論的基本概念、歐幾裏得空間的拓撲性質與連續函數的基本性質、點集的測度與可測函數、Lebesgue積分理論以及微積分基本定理，作為實變函數基本理論的延伸，《大學數學科學叢書：實變函數論教程》還給齣瞭Lp空間的基本理論和抽象測度論的一個簡介，前者是泛函分析與調和分析的一個入門基礎，後者可為概率論的學習提供一個初步的理論基礎。
　　《大學數學科學叢書：實變函數論教程》可作為大學數學與應用數學專業高年級本科生的教材和教學參考書，也可作為相近專業研究生的實分析教材。
　　《大學數學科學叢書：實變函數論教程》強調實變函數理論基本思想的解析，可讀性強，也適宜作為自學讀本。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　現代工業文明起源於牛頓力學。微積分是牛頓力學的基石。1671年牛頓齣版瞭《流數法和無窮級數》從而創立瞭微積分。與他同時期，1684年德國數學傢萊布尼茨發錶瞭題為《-種求極大極小和切綫的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》的論文，獨立地創立瞭微積分。1687年牛頓齣版瞭《自然哲學的數學原理》從而建立瞭經典力學的基礎，利用微積分，事物非均勻變化的規律可以得到準確的描述：速度是物體運動行程關於時間的導數；速度的導數是加速度；加速度與所受的力成正比。漫長的人類發展史（約350萬-600萬年）和文明史（約5000-7000年）孕育瞭微積分的誕生。微積分的誕生迄今纔340多年，今天，從自然科學到社會科學，微積分是我們描述和認識復雜事物必不可少的工具。沒有微積分就沒有現代工業和科技文明，
　　數學源於人們對於度量的需要，度量導緻瞭對數和形的認識與研究，人們逐步認識瞭自然數、有理數、無理數以及正數、負數、復數；對形的認識首先是直的（正方形、矩形、三角形、多邊形），然後是麯的（圓、橢圓、麯邊形），最後是一般的集閤，實變函數在高維歐幾裏得空間的一般點集上建立度量理論（Lebesgue測度）和積分理論（Lebesgue積分），發展瞭微積分，奠定瞭分析數學的重要基礎。
　　為瞭在高維歐幾裏得空間的點集上建立度量和積分理論，19世紀後期，以Borel為代錶的法國數學傢（Borel，Bair，Lebesgue等）做齣瞭傑齣的貢獻。1901年，年僅26歲的Lebesgue發錶瞭論文《論定積分的一種推廣》，在該文中，他建立瞭現在被稱為Lebesgue測度和Lebesgue積分的新理論，他對歐幾裏得空間中非常一般的集閤建立瞭體積度量，並對定義在集閤上的函數建立瞭積分理論。Lebesgue測度和Lebesgue積分理論己成為泛函分析、調和分析、測度論、抽象分析等學科的基礎，是現代分析數學的基石，不能想象沒有Lebesgue積分的數學會是什麼樣子。鬥轉星移，百年間人類曆史發生瞭巨變。數學改變瞭世界，而Lebesgue積分是數學發展的裏程碑（推薦讀者閱讀Jean-Pierre Kahane為紀念Lebesgue積分100周年而寫的文章《Lebesgue積分的産生及其影響》，中譯本發錶於《數學進展》，Vol.31，No.2，2002年4月）。
　　實變函數便是係統講授Lebesgue測度和Lebesgue積分的專業課程，從知識結構上說，它與復變函數一起承接微積分的基本理論和方法，復變函數論從復變量函數的解析性（任意方嚮的可微性）上延伸微積分；而實變函數以擴充實函數的積分體係為主綫，在非常廣泛的意義上拓廣函數的概念，建立瞭Lebesgue積分理論，發展齣一套技巧精湛的分析方法。

《數學分析原理與進展》 叢書係列：現代數學前沿探索係列 第四輯 第一捲：基礎理論的深度挖掘 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的數學分析基礎知識體係，同時引入現代分析學中的一些前沿思想和方法。全書共分三部分，共十章，係統地構建瞭從經典到現代的分析學知識框架。 第一部分：經典基礎的重構與深化 (第1章至第4章) 第1章：實數係的拓撲與度量結構 本章從構造性的角度重新審視實數係$mathbb{R}$的完備性。重點討論瞭在$mathbb{R}^n$上引入的拓撲結構，包括開集、閉集、緊緻性（Heine-Borel定理的嚴謹證明及其推廣）。引入瞭度量空間的廣義概念，將實數空間置於更廣闊的度量空間背景下進行考察。討論瞭序列的收斂性在更一般拓撲下的錶現，特彆是網（nets）的概念，作為序列概念的自然延伸，為理解函數空間的結構打下基礎。 第2章：勒貝格測度的構造與性質 本章是全書的核心基礎之一。我們不滿足於僅僅介紹勒貝格測度的定義，而是從外測度的概念齣發，通過Carathéodory的構造定理，嚴格推導齣$sigma$-代數和勒貝格測度的存在性與唯一性。詳細討論瞭可測集的性質，特彆是單調類定理的應用。著重分析瞭測度論中的“零集”問題，如可分的定義和Borel集與Lebesgue可測集的包含關係。深入探討瞭測度的完備性與$sigma$-有限性對積分理論的根本影響。 第3章：Lp空間的基礎與等距嵌入 在建立瞭勒貝格積分理論後，本章專注於函數空間的結構。定義瞭經典的$L^p(Omega, mu)$空間，並運用Minkowski不等式證明瞭其完備性，即$L^p$空間是Banach空間。詳細闡述瞭Riesz-Fischer定理的意義，它錶明$L^2$空間是希爾伯特空間。通過對$p=1$和$p=infty$情況的細緻分析，揭示瞭不同$p$值下函數空間性質的微妙差異。引入瞭函數空間之間的綫性映射和有界綫性算子概念，為後續泛函分析做鋪墊。 第4章：勒貝格積分的收斂定理與積分的變換 本章係統迴顧並深化瞭勒貝格積分的四大核心收斂定理：單調收斂定理（MCT）、法圖引理（Fatou's Lemma）、占統治收斂定理（DCT）。這些定理的證明采用瞭與經典微積分中均勻收斂截然不同的測度論視角。此外，本章還詳細討論瞭Fubini-Tonelli定理，這是處理多重積分的關鍵工具。著重分析瞭積分號下交換次序的嚴格條件，並探討瞭在非乘積測度空間中（如概率測度空間）積分的推廣形式。 第二部分：分析的工具箱——微分與積分的相互作用 (第5章至第7章) 第5章：測度論中的微分：Radon-Nikodym分解 本章探討瞭測度之間相互依賴的關係。Riesz-Markov-Kakutani錶示定理是泛函分析的基石，而Radon-Nikodym定理則是其在測度空間上的具體體現。詳細闡述瞭絕對連續與奇異分解（Hahn-Decomposition），並引申齣Radon-Nikodym導數，它本質上是“密度函數”。本章通過具體例子（如概率測度中的條件期望）展示瞭導數在概率論和調和分析中的實際應用。 第6章：$L^p$空間上的對偶與共軛算子 基於Banach空間理論，本章聚焦於$L^p$空間的對偶空間。利用Riesz錶示定理，清晰地刻畫瞭$L^p$空間的對偶空間結構，特彆是當$1 < p < infty$時，對偶空間是$L^q$（其中$1/p + 1/q = 1$）。對$p=1$和$p=infty$的情況進行特殊處理，闡明瞭函數空間對偶性的復雜性。引入瞭弱收斂的概念，並研究瞭在$L^p$空間中算子的弱有界性。 第7章：調和分析的初步：傅裏葉變換的測度論基礎 本章將分析工具引入函數空間，為現代調和分析做準備。首先，在$L^1(mathbb{R})$上定義傅裏葉變換，並利用其與捲積的關係，證明其基本性質。接著，將傅裏葉變換推廣到$L^2(mathbb{R})$空間，利用Plancherel定理證明瞭傅裏葉變換在$L^2$上的等距性。強調瞭測度論在定義無限區間上的積分和理解$L^2$空間上的酉變換中的關鍵作用。 第三部分：拓撲分析與函數空間的高級主題 (第8章至第10章) 第8章：泛函分析的視角：Banach空間與綫性算子 本章從更抽象的層次審視函數空間。係統介紹瞭Banach空間的基本概念，如開映射定理、閉圖像定理和Hahn-Banach擴張定理。這些定理的證明高度依賴於選擇原理或相關的拓撲工具。通過對有界綫性算子集閤的分析，引入瞭算子範數，為研究算子代數打下堅實基礎。 第9章：相對一緻收斂性：Ascoli-Arzelà定理的推廣 緊緻性是分析學的核心概念之一，它使得序列收斂成為可能。本章將經典緊緻性（Heine-Borel）提升到函數空間。詳細闡述瞭等度連續性的定義及其在函數族緊緻性判據中的核心地位。深入分析瞭Ascoli-Arzelà定理的精確錶述及其在微分方程解的存在性證明中的重要性。討論瞭函數空間中的緊算子概念。 第10章：概率測度、期望與鞅的收斂性 本章將分析理論應用於隨機過程的數學基礎。首先，在概率測度空間 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 上重述勒貝格積分，將其解釋為期望運算 $E[cdot]$。隨後，引入鞅（Martingale）的概念及其基本性質。重點分析瞭鞅收斂定理（特彆是上鞅的下有界收斂定理和下鞅的有界收斂定理），展示瞭強大的分析工具如何解決隨機過程中的收斂性問題，為深入研究隨機分析奠定基礎。 本書特點： 嚴謹性與洞察力並重： 嚴格遵循現代數學的邏輯結構，但同時注重解釋關鍵定理背後的直覺和應用背景。 廣義空間視角： 強調從$mathbb{R}^n$推廣到一般度量空間和Banach空間，培養讀者的抽象思維能力。 理論深度： 聚焦於現代分析的支柱——測度論、泛函分析和調和分析的理論基礎，而非僅停留在初級微積分的復述。 本書適閤數學、物理、工程及計算機科學（涉及機器學習理論）等領域的本科高年級學生和研究生作為深入學習數學分析和泛函分析的參考教材。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是數學愛好者的福音！我一直對數學領域充滿瞭好奇，尤其對那些看似深奧但卻蘊含著精妙邏輯的學科。在一次偶然的機會下，我接觸到瞭《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》。雖然我不是專業數學齣身，但書中循序漸進的講解方式，以及作者對概念的深入剖析，讓我感到非常驚喜。 我特彆喜歡書中對集閤論的引入，它不像我之前看過的某些教材那樣枯燥乏味，而是通過生動的例子和清晰的邏輯，讓我很快掌握瞭集閤的基本概念和運算。特彆是關於“可測集”的部分，作者用一種非常直觀的方式解釋瞭測度的概念，讓我對“大小”的數學定義有瞭全新的認識。這種數學思維的啓濛，遠比死記硬背公式來得重要。 書中對極限和連續性的處理也讓我印象深刻。我一直覺得數學中的“無限”概念很難理解，但作者通過引入上確界和下確界等概念，以及對序列和函數的細緻分析，讓我逐漸領略到瞭微積分背後嚴謹的數學基礎。那些看似微小的變化，在數學傢眼中卻有著如此宏大的意義，這讓我對數學的敬畏之心油然而生。 《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》這本書不僅僅是一本教科書，更像是一位循循善誘的老師。作者在講解每一個概念時，都會給齣大量的例子，並且會詳細解釋這些例子是如何與理論相聯係的。這種“理論與實踐相結閤”的教學方法，讓我受益匪淺。我不再是孤立地學習數學知識，而是能夠將它們融入到實際問題中去思考，去解決。 總而言之，這本書是我近期閱讀過最滿意的一本數學書籍。它不僅內容翔實，而且講解透徹，語言生動。我強烈推薦給所有對數學感興趣的朋友，無論是初學者還是有一定基礎的讀者，都能從中獲得極大的啓發和收獲。這本書讓我對數學的理解提升瞭一個層次，也讓我對未來的數學學習充滿瞭信心。

評分☆☆☆☆☆

作為一名一直對數學理論懷有敬畏之心的人，我這次閱讀《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》的體驗，可以說是顛覆性的。我一直以為實變函數論是數學中最“硬核”的領域之一，充滿瞭各種我難以理解的抽象概念，但這本書徹底改變瞭我的看法。 書中在講解“測度空間”時，並沒有直接給齣定義，而是先鋪墊瞭測度的基本性質，比如非負性、可列可加性等等。這種“由果溯因”的教學方式，讓我更容易理解為什麼要建立這樣的數學結構。當我看到書中關於“博雷爾集”和“勒貝格可測集”的定義時，我纔意識到，原來數學傢們為瞭解決一些實際問題，已經走瞭如此之遠，構建瞭如此精妙的理論體係。 我特彆喜歡書中對“積分”這一概念的拓展。從黎曼積分到勒貝格積分的過渡，作者處理得非常自然。他通過分析黎曼積分的局限性，比如無法積分狄利剋雷函數，然後引齣勒貝格積分的強大之處。書中的例子非常生動，讓我能夠直觀地感受到勒貝格積分在處理“病態”函數時的優勢。 書中關於“Lp空間”的討論也讓我印象深刻。這不僅僅是幾個函數的集閤，而是一個具有良好代數和拓撲性質的空間。作者對這個空間的性質進行瞭細緻的分析，包括範數、完備性等等。這讓我看到瞭數學的普適性，很多在集閤中成立的性質，在Lp空間中也得到瞭延續，並且有瞭更豐富的內涵。 總而言之，《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》是一本能夠帶你深入理解數學本質的書籍。它不僅僅是教授知識，更是在培養一種數學思維。如果你想挑戰自己，想深入探索數學的奧秘，這本書絕對是值得你花時間去鑽研的。它會讓你看到數學的魅力，並激發你對數學更深層次的探索欲望。

評分☆☆☆☆☆

這本書，說實話，我抱著學習的態度來翻閱的，但它的編排和內容質量，真的超齣瞭我的預期。作為一本“教程”，它並沒有像某些同類書籍那樣，上來就拋齣一堆抽象的定義和復雜的定理，而是以一種相當友好的姿態，引導讀者一步步走進實變函數的世界。 我尤其欣賞書中對“測度”這個核心概念的講解。作者沒有一開始就討論勒貝格測度這類高級話題，而是從直觀的幾何意義齣發，例如如何“測量”一段綫段的長度，或者一個區域的麵積。這種從具體到抽象的過渡，非常符閤我的學習習慣。當我看到書裏通過引入“外測度”來定義“可測集”時，我纔真正理解瞭為什麼傳統的黎曼可積函數在某些情況下會有局限性。 書中對“積分”的闡述也讓我耳目一新。它不僅僅是計算麵積的一種方法，而是一種更強大的工具，能夠處理更廣泛的函數類型。作者對勒貝格積分的介紹，雖然涉及一些技術性細節，但通過與黎曼積分的對比，讓我清晰地看到瞭勒貝格積分的優越性。它能夠更好地處理那些“不那麼規整”的函數，這是我之前從未想過的。 另外，書中對“收斂性”的討論也十分深入。不僅僅是簡單的點點收斂，還包括瞭各種各樣的收斂方式，比如一緻收斂、依測度收斂等等。作者通過清晰的例子和嚴謹的證明，讓我理解瞭這些不同收斂方式的細微差彆以及它們在實際應用中的重要性。這對於理解一些復雜的分析理論至關重要。 總的來說，《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》是一本非常優秀的教材。它不僅內容嚴謹，而且講解清晰，邏輯性強。如果你想要深入理解實變函數，這本書絕對是你的不二之選。它會讓你對數學分析有一個全新的認識，並為進一步深入學習高等數學打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我拿到《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》這本書的時候，內心是有些忐忑的。畢竟“實變函數論”這個名字聽起來就充滿瞭挑戰。然而，當我開始翻閱之後，這種忐忑很快就被一種探索的樂趣所取代。 書中對“集閤”的講解，並沒有停留在初等集閤論的層麵，而是引入瞭更加嚴謹的公理化體係。作者通過對各種集閤關係的深入剖析，讓我理解瞭數學公理化的重要性。特彆是關於“選擇公理”的討論，雖然有些抽象，但作者通過一些有趣的例子，讓我看到瞭它的強大之處。 在講解“測度”的時候，作者並沒有直接給齣勒貝格測度的定義，而是從直觀的“長度”、“麵積”齣發，逐漸抽象化。我特彆欣賞書中對“外測度”的引入，它是一種非常巧妙的構造方法，能夠讓我們在不預設可測性的情況下，先定義一個“測度”，然後再從中挑選齣“可測集”。這種循序漸進的教學方式，讓我更容易接受。 書中對“函數序列的收斂性”的討論也讓我受益匪淺。除瞭點點收斂和一緻收斂，作者還詳細介紹瞭“依測度收斂”和“Lp收斂”。每一個概念都有清晰的定義和直觀的例子，並且會討論它們之間的關係。這讓我對收斂性的理解更加全麵和深入。 總而言之，《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》是一本非常優秀的教材。它不僅內容充實，而且講解清晰，邏輯性強。作者的講解方式能夠幫助讀者剋服對抽象概念的恐懼，並逐漸建立起對實變函數論的深刻理解。這本書對於想要深入學習分析學，或者從事相關研究的朋友來說，絕對是一本不可多得的參考書。

評分☆☆☆☆☆

一直以來，我對數學的認識都停留在微積分的層麵，總覺得實變函數論是高不可攀的領域。直到我讀瞭《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》，我纔發現，原來它並沒有我想象中那麼遙不可及。 書中對“集閤”的講解，雖然運用瞭一些數學符號，但作者並沒有因此而疏遠讀者。他會通過舉例說明，比如集閤的並集、交集，還有各種集閤的運算，來幫助我們理解這些抽象的概念。特彆是當他介紹“不可數集”時，我纔真正體會到數學的奇妙，原來集閤的大小可以用這種方式來區分。 《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》在講解“測度”的時候，也是從非常基礎的概念開始。我之前對“測度”的理解非常模糊，但這本書通過對長度、麵積的推廣，讓我逐漸明白瞭測度的意義。特彆是當他介紹“勒貝格可測集”的時候，我纔意識到，原來數學傢們為瞭精確定義“大小”付齣瞭多少努力。 書中對“積分”的講解，更是讓我眼前一亮。作者並沒有直接跳到勒貝格積分，而是先迴顧瞭黎曼積分，然後分析瞭黎曼積分的局限性。這樣一來，勒貝格積分的引入就顯得順理成章瞭。書中的例子非常生動，讓我能夠直觀地理解勒貝格積分的優越性，尤其是在處理那些不連續的函數時。 總而言之，《大學數學科學叢書35：實變函數論教程》是一本非常值得推薦的書籍。它以一種非常清晰易懂的方式，將實變函數論的復雜概念呈現在讀者麵前。無論你是數學專業的學生，還是對數學感興趣的業餘愛好者，都能從中獲得很多啓發。這本書讓我對數學有瞭更深的認識，也讓我對未來的學習充滿瞭期待。