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内容简介

　　《大学数学科学丛书：实变函数论教程》系统讲述实变函数的基本理论，包括集合论的基本概念、欧几里得空间的拓扑性质与连续函数的基本性质、点集的测度与可测函数、Lebesgue积分理论以及微积分基本定理，作为实变函数基本理论的延伸，《大学数学科学丛书：实变函数论教程》还给出了Lp空间的基本理论和抽象测度论的一个简介，前者是泛函分析与调和分析的一个入门基础，后者可为概率论的学习提供一个初步的理论基础。
　　《大学数学科学丛书：实变函数论教程》可作为大学数学与应用数学专业高年级本科生的教材和教学参考书，也可作为相近专业研究生的实分析教材。
　　《大学数学科学丛书：实变函数论教程》强调实变函数理论基本思想的解析，可读性强，也适宜作为自学读本。

内页插图

目录

前言/序言

　　现代工业文明起源于牛顿力学。微积分是牛顿力学的基石。1671年牛顿出版了《流数法和无穷级数》从而创立了微积分。与他同时期，1684年德国数学家莱布尼茨发表了题为《-种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》的论文，独立地创立了微积分。1687年牛顿出版了《自然哲学的数学原理》从而建立了经典力学的基础，利用微积分，事物非均匀变化的规律可以得到准确的描述：速度是物体运动行程关于时间的导数；速度的导数是加速度；加速度与所受的力成正比。漫长的人类发展史（约350万-600万年）和文明史（约5000-7000年）孕育了微积分的诞生。微积分的诞生迄今才340多年，今天，从自然科学到社会科学，微积分是我们描述和认识复杂事物必不可少的工具。没有微积分就没有现代工业和科技文明，
　　数学源于人们对于度量的需要，度量导致了对数和形的认识与研究，人们逐步认识了自然数、有理数、无理数以及正数、负数、复数；对形的认识首先是直的（正方形、矩形、三角形、多边形），然后是曲的（圆、椭圆、曲边形），最后是一般的集合，实变函数在高维欧几里得空间的一般点集上建立度量理论（Lebesgue测度）和积分理论（Lebesgue积分），发展了微积分，奠定了分析数学的重要基础。
　　为了在高维欧几里得空间的点集上建立度量和积分理论，19世纪后期，以Borel为代表的法国数学家（Borel，Bair，Lebesgue等）做出了杰出的贡献。1901年，年仅26岁的Lebesgue发表了论文《论定积分的一种推广》，在该文中，他建立了现在被称为Lebesgue测度和Lebesgue积分的新理论，他对欧几里得空间中非常一般的集合建立了体积度量，并对定义在集合上的函数建立了积分理论。Lebesgue测度和Lebesgue积分理论己成为泛函分析、调和分析、测度论、抽象分析等学科的基础，是现代分析数学的基石，不能想象没有Lebesgue积分的数学会是什么样子。斗转星移，百年间人类历史发生了巨变。数学改变了世界，而Lebesgue积分是数学发展的里程碑（推荐读者阅读Jean-Pierre Kahane为纪念Lebesgue积分100周年而写的文章《Lebesgue积分的产生及其影响》，中译本发表于《数学进展》，Vol.31，No.2，2002年4月）。
　　实变函数便是系统讲授Lebesgue测度和Lebesgue积分的专业课程，从知识结构上说，它与复变函数一起承接微积分的基本理论和方法，复变函数论从复变量函数的解析性（任意方向的可微性）上延伸微积分；而实变函数以扩充实函数的积分体系为主线，在非常广泛的意义上拓广函数的概念，建立了Lebesgue积分理论，发展出一套技巧精湛的分析方法。
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