大学数学科学丛书35：实变函数论教程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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杨力华 著

图书标签:

• 实变函数
• 数学分析
• 高等数学
• 大学教材
• 数学科学
• 函数论
• 测度论
• 积分论
• 数学教学
• 理论基础

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030528322

版次：1

商品编码：12109005

包装：平装

丛书名： 大学数学科学丛书

开本：16开

出版时间：2017-05-01

用纸：胶版纸

页数：162

字数：212000

正文语种：中文

内容简介

　　《大学数学科学丛书：实变函数论教程》系统讲述实变函数的基本理论，包括集合论的基本概念、欧几里得空间的拓扑性质与连续函数的基本性质、点集的测度与可测函数、Lebesgue积分理论以及微积分基本定理，作为实变函数基本理论的延伸，《大学数学科学丛书：实变函数论教程》还给出了Lp空间的基本理论和抽象测度论的一个简介，前者是泛函分析与调和分析的一个入门基础，后者可为概率论的学习提供一个初步的理论基础。
　　《大学数学科学丛书：实变函数论教程》可作为大学数学与应用数学专业高年级本科生的教材和教学参考书，也可作为相近专业研究生的实分析教材。
　　《大学数学科学丛书：实变函数论教程》强调实变函数理论基本思想的解析，可读性强，也适宜作为自学读本。

内页插图

目录

前言/序言

　　现代工业文明起源于牛顿力学。微积分是牛顿力学的基石。1671年牛顿出版了《流数法和无穷级数》从而创立了微积分。与他同时期，1684年德国数学家莱布尼茨发表了题为《-种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》的论文，独立地创立了微积分。1687年牛顿出版了《自然哲学的数学原理》从而建立了经典力学的基础，利用微积分，事物非均匀变化的规律可以得到准确的描述：速度是物体运动行程关于时间的导数；速度的导数是加速度；加速度与所受的力成正比。漫长的人类发展史（约350万-600万年）和文明史（约5000-7000年）孕育了微积分的诞生。微积分的诞生迄今才340多年，今天，从自然科学到社会科学，微积分是我们描述和认识复杂事物必不可少的工具。没有微积分就没有现代工业和科技文明，
　　数学源于人们对于度量的需要，度量导致了对数和形的认识与研究，人们逐步认识了自然数、有理数、无理数以及正数、负数、复数；对形的认识首先是直的（正方形、矩形、三角形、多边形），然后是曲的（圆、椭圆、曲边形），最后是一般的集合，实变函数在高维欧几里得空间的一般点集上建立度量理论（Lebesgue测度）和积分理论（Lebesgue积分），发展了微积分，奠定了分析数学的重要基础。
　　为了在高维欧几里得空间的点集上建立度量和积分理论，19世纪后期，以Borel为代表的法国数学家（Borel，Bair，Lebesgue等）做出了杰出的贡献。1901年，年仅26岁的Lebesgue发表了论文《论定积分的一种推广》，在该文中，他建立了现在被称为Lebesgue测度和Lebesgue积分的新理论，他对欧几里得空间中非常一般的集合建立了体积度量，并对定义在集合上的函数建立了积分理论。Lebesgue测度和Lebesgue积分理论己成为泛函分析、调和分析、测度论、抽象分析等学科的基础，是现代分析数学的基石，不能想象没有Lebesgue积分的数学会是什么样子。斗转星移，百年间人类历史发生了巨变。数学改变了世界，而Lebesgue积分是数学发展的里程碑（推荐读者阅读Jean-Pierre Kahane为纪念Lebesgue积分100周年而写的文章《Lebesgue积分的产生及其影响》，中译本发表于《数学进展》，Vol.31，No.2，2002年4月）。
　　实变函数便是系统讲授Lebesgue测度和Lebesgue积分的专业课程，从知识结构上说，它与复变函数一起承接微积分的基本理论和方法，复变函数论从复变量函数的解析性（任意方向的可微性）上延伸微积分；而实变函数以扩充实函数的积分体系为主线，在非常广泛的意义上拓广函数的概念，建立了Lebesgue积分理论，发展出一套技巧精湛的分析方法。

《数学分析原理与进展》 丛书系列：现代数学前沿探索系列 第四辑 第一卷：基础理论的深度挖掘 本书旨在为读者提供一个全面而深入的数学分析基础知识体系，同时引入现代分析学中的一些前沿思想和方法。全书共分三部分，共十章，系统地构建了从经典到现代的分析学知识框架。 第一部分：经典基础的重构与深化 (第1章至第4章) 第1章：实数系的拓扑与度量结构 本章从构造性的角度重新审视实数系$mathbb{R}$的完备性。重点讨论了在$mathbb{R}^n$上引入的拓扑结构，包括开集、闭集、紧致性（Heine-Borel定理的严谨证明及其推广）。引入了度量空间的广义概念，将实数空间置于更广阔的度量空间背景下进行考察。讨论了序列的收敛性在更一般拓扑下的表现，特别是网（nets）的概念，作为序列概念的自然延伸，为理解函数空间的结构打下基础。 第2章：勒贝格测度的构造与性质 本章是全书的核心基础之一。我们不满足于仅仅介绍勒贝格测度的定义，而是从外测度的概念出发，通过Carathéodory的构造定理，严格推导出$sigma$-代数和勒贝格测度的存在性与唯一性。详细讨论了可测集的性质，特别是单调类定理的应用。着重分析了测度论中的“零集”问题，如可分的定义和Borel集与Lebesgue可测集的包含关系。深入探讨了测度的完备性与$sigma$-有限性对积分理论的根本影响。 第3章：Lp空间的基础与等距嵌入 在建立了勒贝格积分理论后，本章专注于函数空间的结构。定义了经典的$L^p(Omega, mu)$空间，并运用Minkowski不等式证明了其完备性，即$L^p$空间是Banach空间。详细阐述了Riesz-Fischer定理的意义，它表明$L^2$空间是希尔伯特空间。通过对$p=1$和$p=infty$情况的细致分析，揭示了不同$p$值下函数空间性质的微妙差异。引入了函数空间之间的线性映射和有界线性算子概念，为后续泛函分析做铺垫。 第4章：勒贝格积分的收敛定理与积分的变换 本章系统回顾并深化了勒贝格积分的四大核心收敛定理：单调收敛定理（MCT）、法图引理（Fatou's Lemma）、占统治收敛定理（DCT）。这些定理的证明采用了与经典微积分中均匀收敛截然不同的测度论视角。此外，本章还详细讨论了Fubini-Tonelli定理，这是处理多重积分的关键工具。着重分析了积分号下交换次序的严格条件，并探讨了在非乘积测度空间中（如概率测度空间）积分的推广形式。 第二部分：分析的工具箱——微分与积分的相互作用 (第5章至第7章) 第5章：测度论中的微分：Radon-Nikodym分解 本章探讨了测度之间相互依赖的关系。Riesz-Markov-Kakutani表示定理是泛函分析的基石，而Radon-Nikodym定理则是其在测度空间上的具体体现。详细阐述了绝对连续与奇异分解（Hahn-Decomposition），并引申出Radon-Nikodym导数，它本质上是“密度函数”。本章通过具体例子（如概率测度中的条件期望）展示了导数在概率论和调和分析中的实际应用。 第6章：$L^p$空间上的对偶与共轭算子 基于Banach空间理论，本章聚焦于$L^p$空间的对偶空间。利用Riesz表示定理，清晰地刻画了$L^p$空间的对偶空间结构，特别是当$1 < p < infty$时，对偶空间是$L^q$（其中$1/p + 1/q = 1$）。对$p=1$和$p=infty$的情况进行特殊处理，阐明了函数空间对偶性的复杂性。引入了弱收敛的概念，并研究了在$L^p$空间中算子的弱有界性。 第7章：调和分析的初步：傅里叶变换的测度论基础 本章将分析工具引入函数空间，为现代调和分析做准备。首先，在$L^1(mathbb{R})$上定义傅里叶变换，并利用其与卷积的关系，证明其基本性质。接着，将傅里叶变换推广到$L^2(mathbb{R})$空间，利用Plancherel定理证明了傅里叶变换在$L^2$上的等距性。强调了测度论在定义无限区间上的积分和理解$L^2$空间上的酉变换中的关键作用。 第三部分：拓扑分析与函数空间的高级主题 (第8章至第10章) 第8章：泛函分析的视角：Banach空间与线性算子 本章从更抽象的层次审视函数空间。系统介绍了Banach空间的基本概念，如开映射定理、闭图像定理和Hahn-Banach扩张定理。这些定理的证明高度依赖于选择原理或相关的拓扑工具。通过对有界线性算子集合的分析，引入了算子范数，为研究算子代数打下坚实基础。 第9章：相对一致收敛性：Ascoli-Arzelà定理的推广 紧致性是分析学的核心概念之一，它使得序列收敛成为可能。本章将经典紧致性（Heine-Borel）提升到函数空间。详细阐述了等度连续性的定义及其在函数族紧致性判据中的核心地位。深入分析了Ascoli-Arzelà定理的精确表述及其在微分方程解的存在性证明中的重要性。讨论了函数空间中的紧算子概念。 第10章：概率测度、期望与鞅的收敛性 本章将分析理论应用于随机过程的数学基础。首先，在概率测度空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 上重述勒贝格积分，将其解释为期望运算 $E[cdot]$。随后，引入鞅（Martingale）的概念及其基本性质。重点分析了鞅收敛定理（特别是上鞅的下有界收敛定理和下鞅的有界收敛定理），展示了强大的分析工具如何解决随机过程中的收敛性问题，为深入研究随机分析奠定基础。 本书特点： 严谨性与洞察力并重： 严格遵循现代数学的逻辑结构，但同时注重解释关键定理背后的直觉和应用背景。 广义空间视角： 强调从$mathbb{R}^n$推广到一般度量空间和Banach空间，培养读者的抽象思维能力。 理论深度： 聚焦于现代分析的支柱——测度论、泛函分析和调和分析的理论基础，而非仅停留在初级微积分的复述。 本书适合数学、物理、工程及计算机科学（涉及机器学习理论）等领域的本科高年级学生和研究生作为深入学习数学分析和泛函分析的参考教材。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是数学爱好者的福音！我一直对数学领域充满了好奇，尤其对那些看似深奥但却蕴含着精妙逻辑的学科。在一次偶然的机会下，我接触到了《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》。虽然我不是专业数学出身，但书中循序渐进的讲解方式，以及作者对概念的深入剖析，让我感到非常惊喜。 我特别喜欢书中对集合论的引入，它不像我之前看过的某些教材那样枯燥乏味，而是通过生动的例子和清晰的逻辑，让我很快掌握了集合的基本概念和运算。特别是关于“可测集”的部分，作者用一种非常直观的方式解释了测度的概念，让我对“大小”的数学定义有了全新的认识。这种数学思维的启蒙，远比死记硬背公式来得重要。 书中对极限和连续性的处理也让我印象深刻。我一直觉得数学中的“无限”概念很难理解，但作者通过引入上确界和下确界等概念，以及对序列和函数的细致分析，让我逐渐领略到了微积分背后严谨的数学基础。那些看似微小的变化，在数学家眼中却有着如此宏大的意义，这让我对数学的敬畏之心油然而生。 《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的老师。作者在讲解每一个概念时，都会给出大量的例子，并且会详细解释这些例子是如何与理论相联系的。这种“理论与实践相结合”的教学方法，让我受益匪浅。我不再是孤立地学习数学知识，而是能够将它们融入到实际问题中去思考，去解决。 总而言之，这本书是我近期阅读过最满意的一本数学书籍。它不仅内容翔实，而且讲解透彻，语言生动。我强烈推荐给所有对数学感兴趣的朋友，无论是初学者还是有一定基础的读者，都能从中获得极大的启发和收获。这本书让我对数学的理解提升了一个层次，也让我对未来的数学学习充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我拿到《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》这本书的时候，内心是有些忐忑的。毕竟“实变函数论”这个名字听起来就充满了挑战。然而，当我开始翻阅之后，这种忐忑很快就被一种探索的乐趣所取代。 书中对“集合”的讲解，并没有停留在初等集合论的层面，而是引入了更加严谨的公理化体系。作者通过对各种集合关系的深入剖析，让我理解了数学公理化的重要性。特别是关于“选择公理”的讨论，虽然有些抽象，但作者通过一些有趣的例子，让我看到了它的强大之处。 在讲解“测度”的时候，作者并没有直接给出勒贝格测度的定义，而是从直观的“长度”、“面积”出发，逐渐抽象化。我特别欣赏书中对“外测度”的引入，它是一种非常巧妙的构造方法，能够让我们在不预设可测性的情况下，先定义一个“测度”，然后再从中挑选出“可测集”。这种循序渐进的教学方式，让我更容易接受。 书中对“函数序列的收敛性”的讨论也让我受益匪浅。除了点点收敛和一致收敛，作者还详细介绍了“依测度收敛”和“Lp收敛”。每一个概念都有清晰的定义和直观的例子，并且会讨论它们之间的关系。这让我对收敛性的理解更加全面和深入。 总而言之，《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》是一本非常优秀的教材。它不仅内容充实，而且讲解清晰，逻辑性强。作者的讲解方式能够帮助读者克服对抽象概念的恐惧，并逐渐建立起对实变函数论的深刻理解。这本书对于想要深入学习分析学，或者从事相关研究的朋友来说，绝对是一本不可多得的参考书。

评分☆☆☆☆☆

一直以来，我对数学的认识都停留在微积分的层面，总觉得实变函数论是高不可攀的领域。直到我读了《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》，我才发现，原来它并没有我想象中那么遥不可及。 书中对“集合”的讲解，虽然运用了一些数学符号，但作者并没有因此而疏远读者。他会通过举例说明，比如集合的并集、交集，还有各种集合的运算，来帮助我们理解这些抽象的概念。特别是当他介绍“不可数集”时，我才真正体会到数学的奇妙，原来集合的大小可以用这种方式来区分。 《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》在讲解“测度”的时候，也是从非常基础的概念开始。我之前对“测度”的理解非常模糊，但这本书通过对长度、面积的推广，让我逐渐明白了测度的意义。特别是当他介绍“勒贝格可测集”的时候，我才意识到，原来数学家们为了精确定义“大小”付出了多少努力。 书中对“积分”的讲解，更是让我眼前一亮。作者并没有直接跳到勒贝格积分，而是先回顾了黎曼积分，然后分析了黎曼积分的局限性。这样一来，勒贝格积分的引入就显得顺理成章了。书中的例子非常生动，让我能够直观地理解勒贝格积分的优越性，尤其是在处理那些不连续的函数时。 总而言之，《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》是一本非常值得推荐的书籍。它以一种非常清晰易懂的方式，将实变函数论的复杂概念呈现在读者面前。无论你是数学专业的学生，还是对数学感兴趣的业余爱好者，都能从中获得很多启发。这本书让我对数学有了更深的认识，也让我对未来的学习充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

作为一名一直对数学理论怀有敬畏之心的人，我这次阅读《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》的体验，可以说是颠覆性的。我一直以为实变函数论是数学中最“硬核”的领域之一，充满了各种我难以理解的抽象概念，但这本书彻底改变了我的看法。 书中在讲解“测度空间”时，并没有直接给出定义，而是先铺垫了测度的基本性质，比如非负性、可列可加性等等。这种“由果溯因”的教学方式，让我更容易理解为什么要建立这样的数学结构。当我看到书中关于“博雷尔集”和“勒贝格可测集”的定义时，我才意识到，原来数学家们为了解决一些实际问题，已经走了如此之远，构建了如此精妙的理论体系。 我特别喜欢书中对“积分”这一概念的拓展。从黎曼积分到勒贝格积分的过渡，作者处理得非常自然。他通过分析黎曼积分的局限性，比如无法积分狄利克雷函数，然后引出勒贝格积分的强大之处。书中的例子非常生动，让我能够直观地感受到勒贝格积分在处理“病态”函数时的优势。 书中关于“Lp空间”的讨论也让我印象深刻。这不仅仅是几个函数的集合，而是一个具有良好代数和拓扑性质的空间。作者对这个空间的性质进行了细致的分析，包括范数、完备性等等。这让我看到了数学的普适性，很多在集合中成立的性质，在Lp空间中也得到了延续，并且有了更丰富的内涵。 总而言之，《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》是一本能够带你深入理解数学本质的书籍。它不仅仅是教授知识，更是在培养一种数学思维。如果你想挑战自己，想深入探索数学的奥秘，这本书绝对是值得你花时间去钻研的。它会让你看到数学的魅力，并激发你对数学更深层次的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

这本书，说实话，我抱着学习的态度来翻阅的，但它的编排和内容质量，真的超出了我的预期。作为一本“教程”，它并没有像某些同类书籍那样，上来就抛出一堆抽象的定义和复杂的定理，而是以一种相当友好的姿态，引导读者一步步走进实变函数的世界。 我尤其欣赏书中对“测度”这个核心概念的讲解。作者没有一开始就讨论勒贝格测度这类高级话题，而是从直观的几何意义出发，例如如何“测量”一段线段的长度，或者一个区域的面积。这种从具体到抽象的过渡，非常符合我的学习习惯。当我看到书里通过引入“外测度”来定义“可测集”时，我才真正理解了为什么传统的黎曼可积函数在某些情况下会有局限性。 书中对“积分”的阐述也让我耳目一新。它不仅仅是计算面积的一种方法，而是一种更强大的工具，能够处理更广泛的函数类型。作者对勒贝格积分的介绍，虽然涉及一些技术性细节，但通过与黎曼积分的对比，让我清晰地看到了勒贝格积分的优越性。它能够更好地处理那些“不那么规整”的函数，这是我之前从未想过的。 另外，书中对“收敛性”的讨论也十分深入。不仅仅是简单的点点收敛，还包括了各种各样的收敛方式，比如一致收敛、依测度收敛等等。作者通过清晰的例子和严谨的证明，让我理解了这些不同收敛方式的细微差别以及它们在实际应用中的重要性。这对于理解一些复杂的分析理论至关重要。 总的来说，《大学数学科学丛书35：实变函数论教程》是一本非常优秀的教材。它不仅内容严谨，而且讲解清晰，逻辑性强。如果你想要深入理解实变函数，这本书绝对是你的不二之选。它会让你对数学分析有一个全新的认识，并为进一步深入学习高等数学打下坚实的基础。