具体描述
编辑推荐
一本结合了艺术图形与数学的书籍，读者可以在欣赏艺术图片的同时了解背后蕴含的数学知识，以及相关的背景。
内容简介
“如果你曾经认为数学和艺术没有交集，那么这本书将会令你对几何学视觉艺术的历史从震惊到刮目相看。本书涉及美丽几何学及数学相关的艺术品的书籍超过了60种，配备了大量的细腻诠释几何理论的插图，其后还有大量引人入胜的历史故事和人物介绍，并从尺规作图到神奇的结构配置上涵盖了多种学科知识。本书中，瑞士艺术家EugenJost将受人尊敬的数学历史学家的文献积累进行了卓有成效的艺术加工，用翔实的解释说明贯穿了几何学作为数学重要和美丽的分支的2500年的历史，全文为读者呈现了一个的几何盛宴，其结果是令人欣喜”
目录
序者的话前言
1 米利都学派的泰勒斯 1
2 面积相等的三角形 4
3 四边形 7
4 完全数和三角数 10
5 毕达哥拉斯定理Ⅰ 14
6 毕达哥拉斯定理Ⅱ 17
7 毕达哥拉斯三元数组 20
8 2 的平方根 23
9 所有种类的平均数 26
10 更多平均值 29
11 欧几里得的两个定理 32
12 形式不同， 本质相同 35
13 一个定理， 三种证明 38
14 素数 42
15 两个素数谜团 46
16 0.. 999 49
17 11 53
18 欧几里得作图 57
19 六边形 60
20 斐波那契数列 63
21 黄金比例 67
22 正五边形 71
23 正17 边形 74
24 50 78
25 倍立方 81
26 化圆为方 84
27 阿基米德测圆术 88
Ⅹ
28 数字猎人 91
29 圆锥曲线 94
30 33
＝ 4
4 98
31 调和级数 101
32 塞瓦定理 105
33 自然对数底数 ｅ 108
34 等角螺线 113
35 摆线 116
36 外摆线和内摆线 119
37 欧拉线 123
38 反演变换 126
39 斯坦纳系 130
40 线路设计 133
41 法国连接 136
42 所闻即所见 140
43 利萨茹图形 143
44 对称性Ⅰ 146
45 对称性Ⅱ 149
46 勒洛三角形 154
47 皮克定理 157
48 莫雷定理 160
49 雪花曲线 163
50 谢尔宾斯基三角形 166
51 超越极限 169
附录： 书中所提及定理的证明 173
参考文献 180
前言/序言
透过数学的视角认知艺术伊莱·马奥尔毫无疑问， 很多人都不会赞同艺术与数学有交集。他们认为， 艺术是用来表达感情、情绪和印象的， 这是艺术家们所理解的主观世界， 而数学恰恰是完全对立的， 冷峻、理性和没有情感的， 但我想说， 这种观念是错误的。事实上， 早在文艺复兴时期， 人们就已经发现数学和艺术不仅融合在一起，并且被认为在人类思维上是互为补充的。特别地， 达·芬奇、米开朗基罗和阿尔布雷特·丢勒等文艺复兴时期的大师们， 如同认为自己是艺术家一样，同样也认为他们自己是建筑师、工程师和数学家。
如果仅指出数学和艺术的一个共同点， 那么应该是它们在对图案、循环与规则方面的共同探索。一位数学家看到表达式a2 ＋b2， 会立即联想到勾股定理， 即直角三角形是由包含垂直两边的三边包围成的图形。但是这种表达不仅局限于几何方面， 它几乎出现在数学的每一个分支领域里， 从数论、代数到微积分与数学分析， 它即定为一个图案或模式。同样地， 当一个艺术家看到一幅壁画设计的时候， 图形仿佛在无限重复着， 循环着它基础的样子，成为一个图案刻在他的脑海里。对于图案模式的探索确实是联系数学和艺术的一条纽带。
写作这本书的想法始于2009 年5 月， 我的好朋友Reny Montandon 为我安排了一个在瑞士Alte Kantonsschule 学校（前Cantonal 高级中学） 高级数学班的讲座。这所学校因一段历史事件而闻名， 那就是16 岁的阿尔伯特·爱因斯坦正是在这里度过了两年的快乐时光。为了逃避他所厌恶的、过多的家庭专制教育， 他主动选择在这所学校读书。爱因斯坦就读时期的建筑仍然保存完好， 它的旁边又新建了一座现代风格的建筑。一次午餐的时候， 我和我的妻子有幸见到了尤金·约斯特。
在我们共同的朋友Reny Montandon 的引荐下， 我对尤金与数学相关的优秀艺术作品已经十分熟悉， 然而面晤他又给了我另一惊喜， 我们一见如故，偶遇碰撞出的火花促使我们一起合作了这本书。让我们深感遗憾的是， Ⅶ Reny Montandon在本书即将完稿之时， 却意外去世了。在他生前最后一天，尤金还打电话告诉他这本书的最新进展， 他知道后非常高兴。不幸的是， 他没能看到这本书付梓出版。
本书力求简单和通俗。每一个主题———定理， 数列， 或有趣的几何图案都附注了文字说明， 并配有一个或多个Eugen 的艺术插图。本书的大部分主题取材于几何， 少部分取材于算术和算术的发展。本书大部分章节之间都是相互独立的， 所以读者可以根据自己的兴趣来选择阅读而不受阅读的连续性所影响， 并且大部分内容是按照时间顺序排列的， 但是偶尔也把与数学主题中相互关联的章节放在一起。我们尽量回避技巧性较强的证明过程， 并把一些证明细节放到书末的附录中， 有些内容我们仅列出参考资料（如果已经在参考文献栏中， 我们只标注书名和作者的姓名）。因此， 这本书可以看作是一部通俗意义上的几何史， 当然肯定是不完整的。
我们希望能让更多的人来阅读本书， 包括高中生和大学生， 中学的数学和科学老师， 以及大学讲师， 还有那些对偶尔出现的公式或方程并不惧怕的非专业人员。基于这一目标， 我们只涉及了初等代数和初等几何等的相关知识（ “初等” 是指不涉及微积分）。我们希望这本书能鼓励读者去欣赏数学的美， 特别是几何的美。
在本书的撰写过程中， 许多人热情地帮助了我们， 在此表示衷心的感谢， 特别要感谢的是给我们致信的普林斯顿大学出版社的编辑Vickie Kearn，他持续的热情和支持一直激励着我们完成此书； 感谢普林斯顿大学出版社的其他编辑和技术人员， 正是他们的努力确保了这本书面世时能够达到极致的审美标准和艺术高度； 也感谢我的儿子Dror 在插图26 中用希伯来语书写相关文字时提供的技术支持； 最后， 我需要感谢我的妻子Dalia， 感谢她提出了很多建设性的批评意见， 并且还一丝不苟地为我校对手稿。在这个过程中，她一直鼓励我， 给了我很多帮助。
前言 Ⅷ 玩转图案、数字和表格尤金·约斯特我的艺术生涯主要围绕图案、数字和表格。我喜欢和它们一起娱乐并解释它们， 让它们的变形丰富多样。我的座右铭是毕达哥拉斯的名言： 万物皆数； 这是我2008 年与我的朋友Peter Baptist 和Carsten Miller 所做项目的早期标题。本书吸收了那项工作中的一些想法， 但设想有些不同。我们在此努力地用艺术的方式描述各式各样的几何理论， 与此同时保持数学的真谛。
编写这本书时， 我的脑海里经常浮现欧几里得的理论： 点是没有大小的， 线是有长度没有宽度的。尽管这样， 阿基米德仍然在锡拉库扎的沙滩上用手指画出了他的粗线圆盘。如今， 要满足欧几里得条件的要求就更容易了： 只要你点击鼠标， 就可以将一条长线段缩减到无穷窄———直到最后只有一条虚拟的轨迹。发明此构造的过程是令人敬畏的， 或者更应该说是发现！
尤其对两千年前的希腊人更是这样。
对于我而言， 跟数字和图案一起玩是我最优先考虑的事情。我把我的图片作品称为游乐场， 这与瑞士艺术家Max Bill 的名言： “具体艺术的目标是为了精神需求去发现对象， 这和人们为了物质需要而创造物体是如出一辙”。
我们这本书的一些插图可以用这样的视角去欣赏。读者将被邀请做以下事情： 发现图案的插图规则和它们的多种变形的机理， 去创造属于读者自己的图案。在某些章节中， 文本与图案之间的关系是不紧密的； 除这些章节外，艺术家们成功地将图案与Eli 的文本紧密结合起来。大部分插图是我用计算机创作的， 其他的是在画布上做的丙烯画。与Eli 在一起工作很开心， 他和其他数学家一样教会了我很多东西， 数学并不是从天而降的， 它是人类科学研究的结果， 其中有很多的故事。数学是哲学、历史、也是文化。希望读者能赞同我的观点。
用户评价
阅读《数学：几何印象》的过程，对我来说是一场思维的洗礼。书的前半部分，作者着重于基础概念的梳理，从点、线、面等最基本的元素开始，层层递进，将读者引入几何学的殿堂。然而，与许多教科书不同的是，这本书并没有停留在概念的罗列，而是通过大量的实例和可视化图示，让这些概念“活”了起来。我印象特别深刻的是关于“透视法”的章节，作者不仅解释了其数学原理，还深入探讨了它在绘画和摄影中的应用，甚至分析了不同画家如何运用透视法来营造空间感和情感表达。这让我意识到，几何学不仅仅是抽象的理论，更是理解和表现现实世界的重要工具。书中对“分形几何”的介绍也让我大开眼界。那些看似杂乱无章的自然现象，如海岸线的蜿蜒、树枝的分叉、雪花的形态，竟然都蕴含着深刻的数学规律。作者通过清晰的图示和通俗的语言，将这些复杂的概念展现得淋漓尽致，让我对数学的认识上升到了一个新的高度。我开始能够用一种全新的视角去观察周围的世界，发现隐藏在各种事物背后的数学之美。这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种思维方式的转变，让我学会了如何从更宏观和更细微的层面去理解事物的结构和规律。
评分在我翻阅《数学：几何印象》的过程中，我最深刻的感受是作者并没有将几何学仅仅局限于平面二维的讨论，而是循序渐进地引入了三维空间的奥妙。从简单的立方体、球体，到更复杂的曲面和多面体，书中都以一种清晰易懂的方式进行阐述。特别是关于“欧拉特征”的介绍，我以前总觉得它只是一个抽象的公式，但在书中，作者通过对不同多面体进行切割、组合，甚至是一些奇特形状的探索，让我直观地理解了这个公式的含义以及它在拓扑学中的重要性。书中的例子非常生动，例如将一个甜甜圈（环面）如何通过连续变形变成一个杯子，这完全颠覆了我对“形状”的固有认知，让我意识到在某些数学分支中，形状的连续性比具体的形态更为关键。这种思想的转变，对我来说是极具启发性的。我还特别欣赏书中关于“非欧几里得几何”的章节，它打破了我长期以来对“直线”和“平行线”的刻板印象。通过对不同几何公理体系的介绍，我得以窥见一个完全不同的空间想象，这让我深刻体会到数学的包容性和无限的可能性。作者并没有强求读者去掌握复杂的推导过程，而是通过形象的比喻和类比，让我能够感受到这些抽象概念的逻辑之美。这本书让我明白，几何学并不仅仅是测量和绘图，更是一种强大的思维工具，能够帮助我们理解和描述我们所处的这个多维度的世界。它鼓励我跳出固有的思维模式，用更开放的视角去审视空间和形状。
评分我必须承认，《数学：几何印象》这本书，以一种极其独特的方式，让我重新认识了几何学的魅力。作者并没有遵循传统的教科书模式，而是以一种更具故事性和启发性的方式，带领我走进几何学的世界。书中对“对称性”的探讨，让我看到了它不仅仅存在于数学定义中，更是贯穿于自然、艺术、甚至我们人类自身的形态之中。作者通过对各种生物体、晶体结构以及艺术作品的分析，让我深刻理解了对称性的普遍性和重要性。我尤其喜欢书中关于“马尔可夫链”与“几何学”的交叉部分，虽然这部分内容相对深入，但作者通过生动的例子，比如模拟粒子在空间中的随机游走，让我得以窥见概率论与几何学结合所产生的奇妙效果。这让我意识到，数学的各个分支并非孤立存在，而是相互联系，相互启发。这本书也让我开始思考，我们如何才能更好地理解和描述复杂的世界。作者提出的“用几何的语言来思考”的理念，对我产生了深远的影响。它鼓励我尝试用更直观、更具空间感的方式去分析问题，去发现事物之间的内在联系。整本书的阅读过程，就像是在与一位智慧的导师进行对话，不断地激发我的思考，拓展我的视野。
评分我不得不说，《数学：几何印象》这本书为我打开了一个全新的视角去审视数学，特别是几何学。作者在书中并没有将几何学仅仅视为一门枯燥的学科，而是将其融入到艺术、建筑、自然甚至哲学之中，展现了其多维度、多层次的魅力。我非常喜欢书中关于“比例”和“黄金分割”的章节，作者通过对大量艺术作品和自然现象的分析，让我深刻理解了为何这些比例能够带来视觉上的和谐与美感。这让我意识到，数学不仅仅是冰冷的数字和公式，更是构成美学的重要基础。书中还涉及了“拓扑学”的一些基本概念，比如“同胚”和“同态”，作者通过一些非常形象的比喻，比如将咖啡杯和甜甜圈视为同一种形状，让我对这些抽象概念有了直观的理解。这种将看似无关的概念联系起来的能力，正是数学的魅力所在。它让我意识到，在某些数学分支中，形状的连续性和连接性比具体的形态更为重要。这本书也让我开始思考，我们对“空间”的认知是否是唯一的，是否存在着我们尚未发现的几何学原理。作者鼓励读者保持开放的心态，去探索和质疑，这对我来说是极大的启发。整本书的阅读过程，就像是一场视觉与思维的双重盛宴，让我沉醉其中，久久不能自拔。
评分《数学：几何印象》这本书，在我看来，是一次对几何学“印象”的深度挖掘。作者并没有止步于对定理和公式的讲解，而是着力于展现几何学在人类文明进程中的作用和影响。我非常欣赏书中对“透视学”在文艺复兴时期艺术发展中的作用的论述，它不仅解释了如何利用数学原理来模拟三维空间，更揭示了这种技术如何改变了人们对现实的感知方式。作者通过分析达芬奇、拉斐尔等大师的作品，让我看到了数学与艺术之间密不可分的关系。书中还涉及了“几何学与测量”的章节，从古代的丈量土地到现代的全球定位系统，都离不开几何学的原理。作者用一种循序渐进的方式，展现了几何学如何从最基本的测量工具，演变为支撑现代科技发展的基石。这让我深刻认识到，几何学并非脱离现实的象牙塔，而是与我们的生活息息相关。这本书也让我开始反思，我们对“空间”的理解，是否受到了现有几何学体系的局限。作者鼓励读者去思考“是否存在不同的空间几何”，这种开放式的提问，极大地激发了我进一步探索的兴趣。
评分《数学：几何印象》给我的整体感觉是，它以一种极为人性化的方式来展现数学的魅力。作者似乎非常了解读者的心理，他深知如果一开始就抛出大量艰涩的定义和证明，很容易让人生畏。因此，书中大量运用了历史故事和名人轶事来贯穿始终。例如，在介绍勾股定理时，书中不仅讲述了毕达哥拉斯的传说，还追溯了它的发展历程，以及不同文明对这一定理的贡献，这使得枯燥的定理瞬间变得鲜活起来。我还特别喜欢书中对“对称性”的探讨，它不仅仅是数学上的定义，更是从生物学、化学，甚至到我们日常生活中对称的美感进行延展。作者通过大量的图片和实例，让我看到了对称性在自然界的普遍存在，以及它在人类创造的艺术和建筑中所扮演的重要角色。这种跨学科的视角，极大地拓宽了我对几何学的理解边界。我发现，原来数学并非孤立的学科，而是与我们生活的方方面面都息息相关。书中的语言风格也十分平易近人，没有使用过多的专业术语，即使偶尔出现，作者也会给出清晰的解释。这让我感到非常放松，能够专注于理解内容本身，而不是被语言所困扰。这本书更像是一位循循善诱的老师，用一种充满耐心和智慧的方式，引导我一点点地揭开几何学的面纱，让我惊喜地发现，原来数学也可以如此有趣和富有启发性。
评分作为一名对数学，特别是几何学领域有着浓厚兴趣的读者，我怀着一份期待的心情翻开了《数学：几何印象》。这本书名本身就充满了一种诗意和画面感，似乎在预示着一段关于空间、形状和逻辑之美的探索之旅。初读之下，这本书并没有立刻抛出枯燥乏味的公式和定理，而是从一些非常生活化的场景入手，比如建筑的比例、艺术品的构图，甚至是自然界中常见的花瓣排列方式，来引导我逐步认识几何学的魅力。作者似乎深谙如何抓住读者的好奇心，将那些抽象的数学概念巧妙地融入到我们日常可见的事物中。我尤其喜欢书中对“黄金分割”的讲解，它不仅仅是作为一个数学比例被介绍，而是通过对古希腊雕塑、文艺复兴绘画乃至现代设计的分析，让我深刻理解了为何这个比例会带来视觉上的和谐与美感。这种将数学与艺术、美学相结合的方式，极大地激发了我进一步阅读的欲望。书中那些精美的插图，无论是手绘草图还是高质量的摄影作品，都起到了画龙点睛的作用，它们不仅仅是辅助理解的工具，更像是一种视觉的引导，让我能够在大脑中构建出清晰的空间模型。我可以想象，即便是那些对数学望而却步的读者，在看到这些图像时，也会被其中的美所吸引，从而产生接触几何学的兴趣。这本书更像是一次导览，带领我穿越由点、线、面构成的奇妙世界，让我体验到数学不仅仅是冰冷的符号和计算，更是构建宇宙万物的底层逻辑和美的源泉。它成功地将我从一个旁观者转变为一个沉浸其中的探索者，迫不及待地想揭开更多几何学的奥秘。
评分《数学：几何印象》这本书所带来的启示，远超出了我对一本数学读物的预期。作者在书中巧妙地融合了数学的美学和哲学的思考，让我在享受几何学带来的逻辑严谨的同时，也对“空间”、“维度”乃至“现实”本身有了更深的思考。我尤其欣赏书中对“欧几里得几何”与“非欧几里得几何”的对比，它不仅仅是知识的介绍，更是对人类思维局限性和突破性创新的一种探讨。作者通过生动的比喻，比如在一个弯曲的表面上画直线，让我直观地理解了为何会产生与我们日常经验不同的结论。这种对不同“世界观”的呈现，极大地激发了我对未知的好奇心。书中还涉及了一些关于“维度”的概念，作者并没有止步于三维空间，而是引导我们去想象更高维度的存在。虽然这部分内容相对抽象，但作者通过类比和图示，尽可能地将这些难以理解的概念变得易于接受。这让我看到了数学作为一种超越感官的语言，是如何帮助我们探索那些超出日常经验的领域的。整本书的阅读体验，就像是在进行一场智力探险，每一页都可能带来新的惊喜和发现。它让我意识到，数学的魅力不仅仅在于其实用性，更在于其能够拓展我们的思维边界，让我们以一种全新的方式去理解世界。
评分《数学：几何印象》这本书，带给我的不仅仅是知识的增长，更是一种对数学认识的颠覆。作者以一种极其巧妙的方式，将那些原本可能令人望而生畏的几何概念，变得生动有趣且易于理解。我尤其喜欢书中关于“向量”和“空间变换”的讲解，作者通过大量的图形演示和实际应用案例，让我直观地理解了向量在描述方向和大小上的作用，以及如何通过向量来实现平移、旋转和缩放等空间变换。这让我联想到了计算机图形学和三维建模，原来这些神奇的技术都离不开几何学的支撑。书中对“欧拉公式”的探讨也让我印象深刻，它不仅仅是一个数学公式，更是连接多面体顶点、边和面的桥梁，揭示了三维空间中一种深刻的内在联系。作者通过各种有趣的例子，比如对多面体进行切割和重组，让我看到了欧拉公式的普适性和优雅。更重要的是，这本书鼓励读者不仅仅是被动接受知识，而是主动去思考、去探索。作者常常会抛出一些问题，引导读者自己去发现规律，这极大地激发了我的求知欲。我感觉，这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养一种数学思维，一种观察世界、分析问题的方式。
评分我不得不承认，《数学：几何印象》这本书给我的阅读体验带来了巨大的惊喜。作者似乎拥有神奇的魔力，能够将那些抽象复杂的几何概念，用一种诗意且富有吸引力的方式呈现出来。书中对“曲线”的探讨，不仅仅局限于圆和椭圆，更是深入到了各种奇特的数学曲线，比如“螺旋线”、“摆线”以及一些更为复杂的“分形曲线”。作者通过精美的插图和通俗易懂的语言，让我得以窥见这些曲线背后所蕴含的数学之美和动态过程。我尤其喜欢书中关于“傅里叶分析”的初步介绍，它将复杂的周期性信号分解为简单的正弦波的叠加，让我看到了隐藏在看似混乱现象背后的规律。这种“化繁为简”的思想，在数学中无处不在，而傅里叶分析更是其中的杰出代表。这本书也让我重新审视了“视角”的重要性。作者通过对不同角度观察同一几何体所产生的不同形状的对比，让我意识到，我们对事物的认知，很大程度上取决于我们所处的观察点。这种思维方式的转变，让我更加审慎地去理解和分析问题。总的来说，这本书为我提供了一个全新的观察和思考世界的方式，让我看到了数学在各个领域中无处不在的渗透力。
评分领略数学的奥密，欣赏几何的之美，一本好书，慢慢领悟
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