具體描述
編輯推薦
一本結閤瞭藝術圖形與數學的書籍，讀者可以在欣賞藝術圖片的同時瞭解背後蘊含的數學知識，以及相關的背景。
內容簡介
“如果你曾經認為數學和藝術沒有交集，那麼這本書將會令你對幾何學視覺藝術的曆史從震驚到颳目相看。本書涉及美麗幾何學及數學相關的藝術品的書籍超過瞭60種，配備瞭大量的細膩詮釋幾何理論的插圖，其後還有大量引人入勝的曆史故事和人物介紹，並從尺規作圖到神奇的結構配置上涵蓋瞭多種學科知識。本書中，瑞士藝術傢EugenJost將受人尊敬的數學曆史學傢的文獻積纍進行瞭卓有成效的藝術加工，用翔實的解釋說明貫穿瞭幾何學作為數學重要和美麗的分支的2500年的曆史，全文為讀者呈現瞭一個的幾何盛宴，其結果是令人欣喜”
目錄
序者的話前言
1 米利都學派的泰勒斯 1
2 麵積相等的三角形 4
3 四邊形 7
4 完全數和三角數 10
5 畢達哥拉斯定理Ⅰ 14
6 畢達哥拉斯定理Ⅱ 17
7 畢達哥拉斯三元數組 20
8 2 的平方根 23
9 所有種類的平均數 26
10 更多平均值 29
11 歐幾裏得的兩個定理 32
12 形式不同， 本質相同 35
13 一個定理， 三種證明 38
14 素數 42
15 兩個素數謎團 46
16 0.. 999 49
17 11 53
18 歐幾裏得作圖 57
19 六邊形 60
20 斐波那契數列 63
21 黃金比例 67
22 正五邊形 71
23 正17 邊形 74
24 50 78
25 倍立方 81
26 化圓為方 84
27 阿基米德測圓術 88
Ⅹ
28 數字獵人 91
29 圓錐麯綫 94
30 33
＝ 4
4 98
31 調和級數 101
32 塞瓦定理 105
33 自然對數底數 ｅ 108
34 等角螺綫 113
35 擺綫 116
36 外擺綫和內擺綫 119
37 歐拉綫 123
38 反演變換 126
39 斯坦納係 130
40 綫路設計 133
41 法國連接 136
42 所聞即所見 140
43 利薩茹圖形 143
44 對稱性Ⅰ 146
45 對稱性Ⅱ 149
46 勒洛三角形 154
47 皮剋定理 157
48 莫雷定理 160
49 雪花麯綫 163
50 謝爾賓斯基三角形 166
51 超越極限 169
附錄： 書中所提及定理的證明 173
參考文獻 180
前言/序言
透過數學的視角認知藝術伊萊·馬奧爾毫無疑問， 很多人都不會贊同藝術與數學有交集。他們認為， 藝術是用來錶達感情、情緒和印象的， 這是藝術傢們所理解的主觀世界， 而數學恰恰是完全對立的， 冷峻、理性和沒有情感的， 但我想說， 這種觀念是錯誤的。事實上， 早在文藝復興時期， 人們就已經發現數學和藝術不僅融閤在一起，並且被認為在人類思維上是互為補充的。特彆地， 達·芬奇、米開朗基羅和阿爾布雷特·丟勒等文藝復興時期的大師們， 如同認為自己是藝術傢一樣，同樣也認為他們自己是建築師、工程師和數學傢。
如果僅指齣數學和藝術的一個共同點， 那麼應該是它們在對圖案、循環與規則方麵的共同探索。一位數學傢看到錶達式a2 ＋b2， 會立即聯想到勾股定理， 即直角三角形是由包含垂直兩邊的三邊包圍成的圖形。但是這種錶達不僅局限於幾何方麵， 它幾乎齣現在數學的每一個分支領域裏， 從數論、代數到微積分與數學分析， 它即定為一個圖案或模式。同樣地， 當一個藝術傢看到一幅壁畫設計的時候， 圖形仿佛在無限重復著， 循環著它基礎的樣子，成為一個圖案刻在他的腦海裏。對於圖案模式的探索確實是聯係數學和藝術的一條紐帶。
寫作這本書的想法始於2009 年5 月， 我的好朋友Reny Montandon 為我安排瞭一個在瑞士Alte Kantonsschule 學校（前Cantonal 高級中學） 高級數學班的講座。這所學校因一段曆史事件而聞名， 那就是16 歲的阿爾伯特·愛因斯坦正是在這裏度過瞭兩年的快樂時光。為瞭逃避他所厭惡的、過多的傢庭專製教育， 他主動選擇在這所學校讀書。愛因斯坦就讀時期的建築仍然保存完好， 它的旁邊又新建瞭一座現代風格的建築。一次午餐的時候， 我和我的妻子有幸見到瞭尤金·約斯特。
在我們共同的朋友Reny Montandon 的引薦下， 我對尤金與數學相關的優秀藝術作品已經十分熟悉， 然而麵晤他又給瞭我另一驚喜， 我們一見如故，偶遇碰撞齣的火花促使我們一起閤作瞭這本書。讓我們深感遺憾的是， Ⅶ Reny Montandon在本書即將完稿之時， 卻意外去世瞭。在他生前最後一天，尤金還打電話告訴他這本書的最新進展， 他知道後非常高興。不幸的是， 他沒能看到這本書付梓齣版。
本書力求簡單和通俗。每一個主題———定理， 數列， 或有趣的幾何圖案都附注瞭文字說明， 並配有一個或多個Eugen 的藝術插圖。本書的大部分主題取材於幾何， 少部分取材於算術和算術的發展。本書大部分章節之間都是相互獨立的， 所以讀者可以根據自己的興趣來選擇閱讀而不受閱讀的連續性所影響， 並且大部分內容是按照時間順序排列的， 但是偶爾也把與數學主題中相互關聯的章節放在一起。我們盡量迴避技巧性較強的證明過程， 並把一些證明細節放到書末的附錄中， 有些內容我們僅列齣參考資料（如果已經在參考文獻欄中， 我們隻標注書名和作者的姓名）。因此， 這本書可以看作是一部通俗意義上的幾何史， 當然肯定是不完整的。
我們希望能讓更多的人來閱讀本書， 包括高中生和大學生， 中學的數學和科學老師， 以及大學講師， 還有那些對偶爾齣現的公式或方程並不懼怕的非專業人員。基於這一目標， 我們隻涉及瞭初等代數和初等幾何等的相關知識（ “初等” 是指不涉及微積分）。我們希望這本書能鼓勵讀者去欣賞數學的美， 特彆是幾何的美。
在本書的撰寫過程中， 許多人熱情地幫助瞭我們， 在此錶示衷心的感謝， 特彆要感謝的是給我們緻信的普林斯頓大學齣版社的編輯Vickie Kearn，他持續的熱情和支持一直激勵著我們完成此書； 感謝普林斯頓大學齣版社的其他編輯和技術人員， 正是他們的努力確保瞭這本書麵世時能夠達到極緻的審美標準和藝術高度； 也感謝我的兒子Dror 在插圖26 中用希伯來語書寫相關文字時提供的技術支持； 最後， 我需要感謝我的妻子Dalia， 感謝她提齣瞭很多建設性的批評意見， 並且還一絲不苟地為我校對手稿。在這個過程中，她一直鼓勵我， 給瞭我很多幫助。
前言 Ⅷ 玩轉圖案、數字和錶格尤金·約斯特我的藝術生涯主要圍繞圖案、數字和錶格。我喜歡和它們一起娛樂並解釋它們， 讓它們的變形豐富多樣。我的座右銘是畢達哥拉斯的名言： 萬物皆數； 這是我2008 年與我的朋友Peter Baptist 和Carsten Miller 所做項目的早期標題。本書吸收瞭那項工作中的一些想法， 但設想有些不同。我們在此努力地用藝術的方式描述各式各樣的幾何理論， 與此同時保持數學的真諦。
編寫這本書時， 我的腦海裏經常浮現歐幾裏得的理論： 點是沒有大小的， 綫是有長度沒有寬度的。盡管這樣， 阿基米德仍然在锡拉庫紮的沙灘上用手指畫齣瞭他的粗綫圓盤。如今， 要滿足歐幾裏得條件的要求就更容易瞭： 隻要你點擊鼠標， 就可以將一條長綫段縮減到無窮窄———直到最後隻有一條虛擬的軌跡。發明此構造的過程是令人敬畏的， 或者更應該說是發現！
尤其對兩韆年前的希臘人更是這樣。
對於我而言， 跟數字和圖案一起玩是我最優先考慮的事情。我把我的圖片作品稱為遊樂場， 這與瑞士藝術傢Max Bill 的名言： “具體藝術的目標是為瞭精神需求去發現對象， 這和人們為瞭物質需要而創造物體是如齣一轍”。
我們這本書的一些插圖可以用這樣的視角去欣賞。讀者將被邀請做以下事情： 發現圖案的插圖規則和它們的多種變形的機理， 去創造屬於讀者自己的圖案。在某些章節中， 文本與圖案之間的關係是不緊密的； 除這些章節外，藝術傢們成功地將圖案與Eli 的文本緊密結閤起來。大部分插圖是我用計算機創作的， 其他的是在畫布上做的丙烯畫。與Eli 在一起工作很開心， 他和其他數學傢一樣教會瞭我很多東西， 數學並不是從天而降的， 它是人類科學研究的結果， 其中有很多的故事。數學是哲學、曆史、也是文化。希望讀者能贊同我的觀點。
用戶評價
《數學：幾何印象》這本書，在我看來，是一次對幾何學“印象”的深度挖掘。作者並沒有止步於對定理和公式的講解，而是著力於展現幾何學在人類文明進程中的作用和影響。我非常欣賞書中對“透視學”在文藝復興時期藝術發展中的作用的論述，它不僅解釋瞭如何利用數學原理來模擬三維空間，更揭示瞭這種技術如何改變瞭人們對現實的感知方式。作者通過分析達芬奇、拉斐爾等大師的作品，讓我看到瞭數學與藝術之間密不可分的關係。書中還涉及瞭“幾何學與測量”的章節，從古代的丈量土地到現代的全球定位係統，都離不開幾何學的原理。作者用一種循序漸進的方式，展現瞭幾何學如何從最基本的測量工具，演變為支撐現代科技發展的基石。這讓我深刻認識到，幾何學並非脫離現實的象牙塔，而是與我們的生活息息相關。這本書也讓我開始反思，我們對“空間”的理解，是否受到瞭現有幾何學體係的局限。作者鼓勵讀者去思考“是否存在不同的空間幾何”，這種開放式的提問，極大地激發瞭我進一步探索的興趣。
評分我不得不承認，《數學：幾何印象》這本書給我的閱讀體驗帶來瞭巨大的驚喜。作者似乎擁有神奇的魔力，能夠將那些抽象復雜的幾何概念，用一種詩意且富有吸引力的方式呈現齣來。書中對“麯綫”的探討，不僅僅局限於圓和橢圓，更是深入到瞭各種奇特的數學麯綫，比如“螺鏇綫”、“擺綫”以及一些更為復雜的“分形麯綫”。作者通過精美的插圖和通俗易懂的語言，讓我得以窺見這些麯綫背後所蘊含的數學之美和動態過程。我尤其喜歡書中關於“傅裏葉分析”的初步介紹，它將復雜的周期性信號分解為簡單的正弦波的疊加，讓我看到瞭隱藏在看似混亂現象背後的規律。這種“化繁為簡”的思想，在數學中無處不在，而傅裏葉分析更是其中的傑齣代錶。這本書也讓我重新審視瞭“視角”的重要性。作者通過對不同角度觀察同一幾何體所産生的不同形狀的對比，讓我意識到，我們對事物的認知，很大程度上取決於我們所處的觀察點。這種思維方式的轉變，讓我更加審慎地去理解和分析問題。總的來說，這本書為我提供瞭一個全新的觀察和思考世界的方式，讓我看到瞭數學在各個領域中無處不在的滲透力。
評分《數學：幾何印象》這本書，帶給我的不僅僅是知識的增長，更是一種對數學認識的顛覆。作者以一種極其巧妙的方式，將那些原本可能令人望而生畏的幾何概念，變得生動有趣且易於理解。我尤其喜歡書中關於“嚮量”和“空間變換”的講解，作者通過大量的圖形演示和實際應用案例，讓我直觀地理解瞭嚮量在描述方嚮和大小上的作用，以及如何通過嚮量來實現平移、鏇轉和縮放等空間變換。這讓我聯想到瞭計算機圖形學和三維建模，原來這些神奇的技術都離不開幾何學的支撐。書中對“歐拉公式”的探討也讓我印象深刻，它不僅僅是一個數學公式，更是連接多麵體頂點、邊和麵的橋梁，揭示瞭三維空間中一種深刻的內在聯係。作者通過各種有趣的例子，比如對多麵體進行切割和重組，讓我看到瞭歐拉公式的普適性和優雅。更重要的是，這本書鼓勵讀者不僅僅是被動接受知識，而是主動去思考、去探索。作者常常會拋齣一些問題，引導讀者自己去發現規律，這極大地激發瞭我的求知欲。我感覺，這本書不僅僅是在傳授知識，更是在培養一種數學思維，一種觀察世界、分析問題的方式。
評分《數學：幾何印象》給我的整體感覺是，它以一種極為人性化的方式來展現數學的魅力。作者似乎非常瞭解讀者的心理，他深知如果一開始就拋齣大量艱澀的定義和證明，很容易讓人生畏。因此，書中大量運用瞭曆史故事和名人軼事來貫穿始終。例如，在介紹勾股定理時，書中不僅講述瞭畢達哥拉斯的傳說，還追溯瞭它的發展曆程，以及不同文明對這一定理的貢獻，這使得枯燥的定理瞬間變得鮮活起來。我還特彆喜歡書中對“對稱性”的探討，它不僅僅是數學上的定義，更是從生物學、化學，甚至到我們日常生活中對稱的美感進行延展。作者通過大量的圖片和實例，讓我看到瞭對稱性在自然界的普遍存在，以及它在人類創造的藝術和建築中所扮演的重要角色。這種跨學科的視角，極大地拓寬瞭我對幾何學的理解邊界。我發現，原來數學並非孤立的學科，而是與我們生活的方方麵麵都息息相關。書中的語言風格也十分平易近人，沒有使用過多的專業術語，即使偶爾齣現，作者也會給齣清晰的解釋。這讓我感到非常放鬆，能夠專注於理解內容本身，而不是被語言所睏擾。這本書更像是一位循循善誘的老師，用一種充滿耐心和智慧的方式，引導我一點點地揭開幾何學的麵紗，讓我驚喜地發現，原來數學也可以如此有趣和富有啓發性。
評分閱讀《數學：幾何印象》的過程，對我來說是一場思維的洗禮。書的前半部分，作者著重於基礎概念的梳理，從點、綫、麵等最基本的元素開始，層層遞進，將讀者引入幾何學的殿堂。然而，與許多教科書不同的是，這本書並沒有停留在概念的羅列，而是通過大量的實例和可視化圖示，讓這些概念“活”瞭起來。我印象特彆深刻的是關於“透視法”的章節，作者不僅解釋瞭其數學原理，還深入探討瞭它在繪畫和攝影中的應用，甚至分析瞭不同畫傢如何運用透視法來營造空間感和情感錶達。這讓我意識到，幾何學不僅僅是抽象的理論，更是理解和錶現現實世界的重要工具。書中對“分形幾何”的介紹也讓我大開眼界。那些看似雜亂無章的自然現象，如海岸綫的蜿蜒、樹枝的分叉、雪花的形態，竟然都蘊含著深刻的數學規律。作者通過清晰的圖示和通俗的語言，將這些復雜的概念展現得淋灕盡緻，讓我對數學的認識上升到瞭一個新的高度。我開始能夠用一種全新的視角去觀察周圍的世界，發現隱藏在各種事物背後的數學之美。這本書給我帶來的不僅僅是知識的增長，更是一種思維方式的轉變，讓我學會瞭如何從更宏觀和更細微的層麵去理解事物的結構和規律。
評分《數學：幾何印象》這本書所帶來的啓示，遠超齣瞭我對一本數學讀物的預期。作者在書中巧妙地融閤瞭數學的美學和哲學的思考，讓我在享受幾何學帶來的邏輯嚴謹的同時，也對“空間”、“維度”乃至“現實”本身有瞭更深的思考。我尤其欣賞書中對“歐幾裏得幾何”與“非歐幾裏得幾何”的對比，它不僅僅是知識的介紹，更是對人類思維局限性和突破性創新的一種探討。作者通過生動的比喻，比如在一個彎麯的錶麵上畫直綫，讓我直觀地理解瞭為何會産生與我們日常經驗不同的結論。這種對不同“世界觀”的呈現，極大地激發瞭我對未知的好奇心。書中還涉及瞭一些關於“維度”的概念，作者並沒有止步於三維空間，而是引導我們去想象更高維度的存在。雖然這部分內容相對抽象，但作者通過類比和圖示，盡可能地將這些難以理解的概念變得易於接受。這讓我看到瞭數學作為一種超越感官的語言，是如何幫助我們探索那些超齣日常經驗的領域的。整本書的閱讀體驗，就像是在進行一場智力探險，每一頁都可能帶來新的驚喜和發現。它讓我意識到，數學的魅力不僅僅在於其實用性，更在於其能夠拓展我們的思維邊界，讓我們以一種全新的方式去理解世界。
評分作為一名對數學，特彆是幾何學領域有著濃厚興趣的讀者，我懷著一份期待的心情翻開瞭《數學：幾何印象》。這本書名本身就充滿瞭一種詩意和畫麵感，似乎在預示著一段關於空間、形狀和邏輯之美的探索之旅。初讀之下，這本書並沒有立刻拋齣枯燥乏味的公式和定理，而是從一些非常生活化的場景入手，比如建築的比例、藝術品的構圖，甚至是自然界中常見的花瓣排列方式，來引導我逐步認識幾何學的魅力。作者似乎深諳如何抓住讀者的好奇心，將那些抽象的數學概念巧妙地融入到我們日常可見的事物中。我尤其喜歡書中對“黃金分割”的講解，它不僅僅是作為一個數學比例被介紹，而是通過對古希臘雕塑、文藝復興繪畫乃至現代設計的分析，讓我深刻理解瞭為何這個比例會帶來視覺上的和諧與美感。這種將數學與藝術、美學相結閤的方式，極大地激發瞭我進一步閱讀的欲望。書中那些精美的插圖，無論是手繪草圖還是高質量的攝影作品，都起到瞭畫龍點睛的作用，它們不僅僅是輔助理解的工具，更像是一種視覺的引導，讓我能夠在大腦中構建齣清晰的空間模型。我可以想象，即便是那些對數學望而卻步的讀者，在看到這些圖像時，也會被其中的美所吸引，從而産生接觸幾何學的興趣。這本書更像是一次導覽，帶領我穿越由點、綫、麵構成的奇妙世界，讓我體驗到數學不僅僅是冰冷的符號和計算，更是構建宇宙萬物的底層邏輯和美的源泉。它成功地將我從一個旁觀者轉變為一個沉浸其中的探索者，迫不及待地想揭開更多幾何學的奧秘。
評分我必須承認，《數學：幾何印象》這本書，以一種極其獨特的方式，讓我重新認識瞭幾何學的魅力。作者並沒有遵循傳統的教科書模式，而是以一種更具故事性和啓發性的方式，帶領我走進幾何學的世界。書中對“對稱性”的探討，讓我看到瞭它不僅僅存在於數學定義中，更是貫穿於自然、藝術、甚至我們人類自身的形態之中。作者通過對各種生物體、晶體結構以及藝術作品的分析，讓我深刻理解瞭對稱性的普遍性和重要性。我尤其喜歡書中關於“馬爾可夫鏈”與“幾何學”的交叉部分，雖然這部分內容相對深入，但作者通過生動的例子，比如模擬粒子在空間中的隨機遊走，讓我得以窺見概率論與幾何學結閤所産生的奇妙效果。這讓我意識到，數學的各個分支並非孤立存在，而是相互聯係，相互啓發。這本書也讓我開始思考，我們如何纔能更好地理解和描述復雜的世界。作者提齣的“用幾何的語言來思考”的理念，對我産生瞭深遠的影響。它鼓勵我嘗試用更直觀、更具空間感的方式去分析問題，去發現事物之間的內在聯係。整本書的閱讀過程，就像是在與一位智慧的導師進行對話，不斷地激發我的思考，拓展我的視野。
評分我不得不說，《數學：幾何印象》這本書為我打開瞭一個全新的視角去審視數學，特彆是幾何學。作者在書中並沒有將幾何學僅僅視為一門枯燥的學科，而是將其融入到藝術、建築、自然甚至哲學之中，展現瞭其多維度、多層次的魅力。我非常喜歡書中關於“比例”和“黃金分割”的章節，作者通過對大量藝術作品和自然現象的分析，讓我深刻理解瞭為何這些比例能夠帶來視覺上的和諧與美感。這讓我意識到，數學不僅僅是冰冷的數字和公式，更是構成美學的重要基礎。書中還涉及瞭“拓撲學”的一些基本概念，比如“同胚”和“同態”，作者通過一些非常形象的比喻，比如將咖啡杯和甜甜圈視為同一種形狀，讓我對這些抽象概念有瞭直觀的理解。這種將看似無關的概念聯係起來的能力，正是數學的魅力所在。它讓我意識到，在某些數學分支中，形狀的連續性和連接性比具體的形態更為重要。這本書也讓我開始思考，我們對“空間”的認知是否是唯一的，是否存在著我們尚未發現的幾何學原理。作者鼓勵讀者保持開放的心態，去探索和質疑，這對我來說是極大的啓發。整本書的閱讀過程，就像是一場視覺與思維的雙重盛宴，讓我沉醉其中，久久不能自拔。
評分在我翻閱《數學：幾何印象》的過程中，我最深刻的感受是作者並沒有將幾何學僅僅局限於平麵二維的討論，而是循序漸進地引入瞭三維空間的奧妙。從簡單的立方體、球體，到更復雜的麯麵和多麵體，書中都以一種清晰易懂的方式進行闡述。特彆是關於“歐拉特徵”的介紹，我以前總覺得它隻是一個抽象的公式，但在書中，作者通過對不同多麵體進行切割、組閤，甚至是一些奇特形狀的探索，讓我直觀地理解瞭這個公式的含義以及它在拓撲學中的重要性。書中的例子非常生動，例如將一個甜甜圈（環麵）如何通過連續變形變成一個杯子，這完全顛覆瞭我對“形狀”的固有認知，讓我意識到在某些數學分支中，形狀的連續性比具體的形態更為關鍵。這種思想的轉變，對我來說是極具啓發性的。我還特彆欣賞書中關於“非歐幾裏得幾何”的章節，它打破瞭我長期以來對“直綫”和“平行綫”的刻闆印象。通過對不同幾何公理體係的介紹，我得以窺見一個完全不同的空間想象，這讓我深刻體會到數學的包容性和無限的可能性。作者並沒有強求讀者去掌握復雜的推導過程，而是通過形象的比喻和類比，讓我能夠感受到這些抽象概念的邏輯之美。這本書讓我明白，幾何學並不僅僅是測量和繪圖，更是一種強大的思維工具，能夠幫助我們理解和描述我們所處的這個多維度的世界。它鼓勵我跳齣固有的思維模式，用更開放的視角去審視空間和形狀。
評分領略數學的奧密，欣賞幾何的之美，一本好書，慢慢領悟
評分領略數學的奧密，欣賞幾何的之美，一本好書，慢慢領悟
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