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方企勤 著

圖書標籤:

• 復變函數
• 復分析
• 數學分析
• 高等數學
• 教程
• 教材
• 函數論
• 解析函數
• 留數定理
• 柯西積分定理

齣版社： 北京大學齣版社

ISBN：9787301031001

版次：1

商品編碼：12193237

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：2017-09-01

用紙：膠版紙

頁數：324

字數：264000

編輯推薦

　　《復變函數教程》可作為綜閤大學和高等師範院校數學係及相關專業大學生的教科書或教學參考書，也可作為大、中學數學教師、科技工作者和工程技術人員的數學參考書。

內容簡介

　　《復變函數教程》是國傢“十一五”規劃教材《結構化學基礎（第四版）》的配套習題輔導書。本書包括習題解析、典型實例精解、結構化學實習三部分，能加深讀者對結構化學原理和概念的理解，增強讀者運用結構化學知識解決實際問題的能力。

目錄

第一章 復數與復空間
1 復數域
2 復數的錶示
3 復數的運算
4 不等式
5 圓周和直綫方程
6 關於圓周的對稱點
7 復數的球麵錶示與擴充復平麵

第二章 復平麵的拓撲
1 復平麵上的開集與閉集
2 完備性
3 緊性
4 麯綫
5 連通性
6 連續函數
習題

第三章 解析函數概念與初等解析函數
1 解析函數概念
2 可導的充要條件
3 導數的運算
4 導數的幾何意義與函數的實可微
5 指數函數
6 儒可夫斯基函數
7 分式綫性變換
8 三角函數
9 對數函數
10 冪函數
11 儒可夫斯基函數的反函數與反三角函數
習題

第四章 Cauchy 定理與Cauchy 公式
1 積分
2 Cauchy 定理
3 Cauchy 公式
4 變上限積分確定的函數
5 最大模原理與Schwarz 引理
習題

第五章 解析函數的級數展開
1 函數項級數
1.1 數項級數
1.2 函數項級數與Weierstrass定理
1.3 級數的收斂性
2 冪級數與Taylor展式
2.1 冪級數
2.2 解析函數的Taylor展式
2.3 零點的孤立性與唯一性
3 Laurent級數與Laurent展式
3.1 Laurent級數
3.2 Laurent展式
3.3 孤立奇點
4 整函數與亞純函數
習題

第六章 留數定理和輻角原理
1 留數定理
1.1 留數的定義與計算
1.2 留數定理
2 輻角原理與Rouche定理
2.1 關於零點與極點的一般定理
2.2 輻角原理與Rouche定理
3 求解析函數的零點數
4 單葉解析函數的性質
5 求亞純函數的展式
6 求某些函數的定積分
習題

第七章 調和函數
1 共軛調和微分與Green公式
1.1 調和微分與共軛調和微分
1.2 Green公式
2 平均值性質
3 Poisson公式與Poisson積分
3.1 Poisson公式
3.2 Poisson積分
4 幾個等價命題與Harnack原理
4.1 調和函數的幾個等價命題
4.2 Harnack原理
5 次（下）調和函數
6 Dirichlet問題
習題

第八章 解析開拓
1 解析開拓概念與冪級數解析開拓
1.1 解析開拓概念
1.2 冪級數的解析開拓
2 對稱原理
3 單值性定理
3.1 沿麯綫的解析開拓
3.2 單值性定理
習題

第九章 共形映射
1 共形映射的例子
1.1 單連通區域情形
1.2 二連通區域情形
2 黎曼存在定理
2.1 Montel定理
2.2 黎曼存在定理
3 邊界對應
3.1 函數g（w）的連續開拓
3.2 函數f（z）的連續開拓
4 多角形的共形映射
4.1 Schwarz-Christoffel公式
4.2 矩形情形
習題

附錄
習題答案與提示
名詞索引
參考書目

《復變函數教程》是一本麵嚮高等院校數學、物理、工程等專業學生的基礎性教材。本書旨在係統地介紹復變函數的概念、性質以及相關的分析方法，為讀者打下堅實的理論基礎，並培養其運用復變函數解決實際問題的能力。 全書內容涵蓋瞭復變函數的分析學的核心內容。首先，教材從復數的幾何意義和代數運算入手，為讀者構建直觀的幾何模型，並熟練掌握復數的基本運算。接著，深入探討復變函數的概念，包括函數的定義、圖像以及復變函數的基本類型，如指數函數、對數函數、三角函數和雙麯函數等，詳細闡述它們的性質和幾何意義。 本書的重點之一在於導數和積分的概念。嚴格定義瞭復變函數的導數，並引入瞭柯西-黎曼方程這一判斷函數解析性的重要準則。在此基礎上，詳細講解瞭解析函數的性質，強調瞭其在數學和物理中的重要地位。然後，對復變函數的積分進行瞭深入的剖析，介紹瞭沿麯綫積分的計算方法，以及格林公式和柯西積分定理等核心定理，它們是理解和掌握復變函數理論的關鍵。 本書還重點講解瞭留數定理及其應用。通過引入孤立奇點的概念，區分瞭可去奇點、極點和本質奇點，並定義瞭洛朗級數，這為理解函數在奇點附近的性質提供瞭強有力的工具。在此基礎上，詳細闡述瞭留數定理，並係統介紹瞭利用留數定理計算復變函數積分的方法，包括計算各種類型的瑕積分，這在工程和物理學中有廣泛的應用。 此外，《復變函數教程》還包含瞭共形映射的理論。共形映射在幾何和物理問題中扮演著重要角色，本書介紹瞭保角映射的定義和性質，並探討瞭莫比烏斯變換等重要的共形映射，展示瞭它們在解決邊界值問題等方麵的應用。 本書的編寫注重理論與實踐的結閤。在每個章節的講解中，都穿插瞭大量的例題，這些例題既能幫助讀者理解抽象的數學概念，又能引導讀者掌握解決實際問題的思路和方法。同時，每章末尾都精心設計瞭練習題，涵蓋瞭從基礎概念的鞏固到復雜問題的求解，鼓勵讀者獨立思考和深入探究。 《復變函數教程》的語言嚴謹、邏輯清晰，力求做到概念準確，推理嚴密，層次分明。在數學符號和術語的使用上，嚴格遵循國際通行的規範。本書不僅是一本學習復變函數理論的教材，更是一本能夠激發讀者對數學探索興趣的讀物。通過學習本書，讀者將能夠深入理解復數域中的函數分析，為進一步學習更高級的數學理論和解決復雜的科學工程問題奠定堅實的基礎。 本書適閤作為高等院校數學類、物理類、電子信息類、航空航天類以及其他相關理工科專業本科生和研究生的教材或參考書。對於有誌於從事科學研究或工程技術工作的學生而言，本書是不可或缺的學習資料。

評分☆☆☆☆☆

說實話，在拿到《復變函數教程》之前，我對學習這門課程是有些抵觸的。高中時期的數學就已經讓我覺得有些吃力，而復變函數聽起來更是遙不可及。但當我真正開始閱讀這本書時，我驚訝地發現，事情並沒有我想象的那麼糟糕。作者似乎很有心得，他用一種非常平易近人的方式來講解那些原本可能令人望而生畏的概念。比如，在介紹復數及其運算時，他不僅僅是羅列公式，而是通過生動的比喻和形象的圖示，將抽象的復數“實體化”，讓我能夠輕鬆地理解它們的幾何意義。我尤其喜歡他對於解析函數這一核心概念的闡述，他花瞭相當大的篇幅來解釋柯西-黎曼方程的重要性，以及它如何揭示瞭復變函數的光滑性和可微性。通過大量的例題，我能夠一步步地跟著作者的思路，去理解如何判斷一個函數是否是解析的，以及解析函數的性質。最讓我感到欣慰的是，這本書並沒有迴避那些復雜的證明，而是以一種循序漸進的方式，將復雜的證明分解成若乾個小步驟，並輔以清晰的邏輯推理，讓我能夠理解證明的每一個環節，而不是簡單地記憶結論。這對於我這樣對數學證明一直感到頭疼的學生來說，無疑是巨大的福音。這本書讓我覺得，復變函數並非不可逾越的鴻溝，而是一個可以探索和理解的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

在眾多復變函數教材中，《復變函數教程》以其獨特的視角和深入淺齣的講解方式，吸引瞭我的目光。我最初關注的是這本書對復數基本概念的引入。作者並沒有僅僅羅列公式，而是通過生動的比喻和形象的圖示，將抽象的復數“具象化”，讓我能夠輕鬆地理解它們的幾何意義，以及加法、乘法等運算在復平麵上的對應。我特彆贊賞書中對於解析函數的闡述。作者深入淺齣地剖析瞭柯西-黎曼方程，並詳細解釋瞭它為何是函數解析的充要條件，以及解析函數所具有的豐富性質，如可微、可積、一緻收斂等。這讓我對復變函數有瞭更加深刻的認識。我希望書中能夠提供豐富的練習題，並且題目類型多樣，能夠從基礎的概念理解，到復雜的積分計算，再到理論的應用，全方位地考察讀者的掌握程度。我更期待書中能夠涉及一些復變函數在物理學和工程學中的應用，比如在處理穩態場問題、信號分析等方麵，這些都能極大地提升學習的興趣和動力，讓我看到數學的實用價值。一本好的教材，不僅要傳授知識，更要激發思考，而《復變函數教程》在這方麵無疑是成功的。

評分☆☆☆☆☆

一本好的復變函數教材，應該能夠幫助讀者建立起對這個數學分支的清晰認知，並且能夠激發進一步探索的興趣。《復變函數教程》在這方麵給瞭我不少驚喜。我欣賞作者在引入復數的基本概念時，所采用的圖示化講解方式，這讓我能夠直觀地理解復數的幾何意義，以及加法、乘法等運算在復平麵上的對應。書中對於解析函數和柯西-黎曼方程的闡述，也顯得尤為到位。他不僅僅是給齣瞭公式，更是深入淺齣地解釋瞭這些方程的幾何含義，以及它們如何揭示瞭復變函數在復平麵上的光滑性和一緻性。我特彆喜歡書中對圍道積分定理的詳細論述，這個定理是復變函數理論的基石，能夠深刻理解它，對後續的學習至關重要。我希望書中能夠提供足夠多的練習題，並且題目類型多樣，能夠從基礎的概念理解，到復雜的積分計算，再到理論的應用，全方位地考察讀者的掌握程度。我更期待書中能夠涉及一些復變函數在實際問題中的應用，比如在處理流體力學中的勢流問題、電磁場理論中的電勢計算，或者信號處理中的傅裏葉變換等方麵，這些都能極大地提升學習的興趣和動力，讓我看到數學的實用價值。

評分☆☆☆☆☆

拿到《復變函數教程》這本書，我最看重的是其內容編排的邏輯性和知識點的覆蓋度。我希望這本書能夠係統地梳理復變函數的發展脈絡，從最基礎的復數幾何意義，到柯西-黎曼方程的建立，再到解析函數的性質，最後過渡到更高級的概念，如黎曼麯麵、多值函數等。作者在講解過程中，是否能夠清晰地區分不同概念之間的聯係與區彆，並且對每一個重要定理的證明都給齣詳細且易於理解的論述，這是我衡量一本書質量的重要標準。我尤其關注書中對“一緻收斂”和“保角映射”等概念的解釋，這些都是復變函數中非常核心且具有深遠意義的內容。如果書中能夠通過豐富的圖示和直觀的例子來輔助講解，例如在保角映射部分，展示不同區域之間的映射關係，那將極大地幫助我建立起對這些抽象概念的感性認識。另外，我希望書中能夠包含足夠的練習題，並且題目的難度和類型能夠兼顧基礎概念的鞏固和綜閤應用能力的培養。高質量的習題不僅能夠幫助我檢驗學習效果，更能引導我深入思考，發現知識點的盲區。總而言之，我期望這本書能夠成為我深入理解復變函數這門學科的堅實基石，為我未來的學習和研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，無疑為我正在進行的復變函數學習注入瞭一股新的活力。之前接觸過幾本教材，總覺得要麼過於理論化，脫離實際，要麼過於側重計算，缺乏深刻的洞察。而《復變函數教程》在這一點上做得相當齣色。我最欣賞的是它對積分概念的引入，尤其是復積分。作者並沒有直接拋齣復雜的積分公式，而是從綫積分的概念齣發，逐步過渡到復積分的定義，並詳細闡述瞭復積分的性質，比如路徑無關性等。這種嚴謹的數學邏輯推導，讓我對復積分有瞭更加深刻的理解。此外，書中對於留數定理和留數定理的應用部分，更是讓我眼前一亮。留數定理在計算復雜復積分和求解一些涉及無窮積分的問題時，展現齣瞭驚人的威力，而這本書恰恰詳細地講解瞭這一重要工具的由來和多種應用場景，包括利用它來計算實積分。我特彆期待書中能有關於解析延拓的深入探討，因為這個概念是理解整個復變函數理論體係的關鍵之一。如果這本書能夠清晰地解釋其原理和方法，那將是對我學習的一大助力。我非常看重書中是否能夠給齣一些典型的應用案例，例如在物理學中的勢流理論、電磁場分析或者控製理論中的係統穩定性分析等方麵，這能幫助我將抽象的數學概念與實際問題聯係起來，提升學習的積極性和主動性。

評分☆☆☆☆☆

對於《復變函數教程》這本書，我最看重的是它在理論深度和實踐應用之間的平衡。我希望這本書不僅僅是一堆枯燥的公式和證明，而是能夠引領我真正領略復變函數之美，並感受到它在解決實際問題中的強大威力。在我看來，復變函數之所以迷人，很大程度上在於它能夠將原本看似不相關的概念巧妙地聯係起來，例如在解析延拓的過程中，通過一個局部性質來確定一個全局的函數。我希望這本書能夠清晰地闡述這些深層次的聯係。同時，我非常關注書中對於留數定理的講解。留數定理不僅是計算復積分的利器，更是理解很多數學現象的鑰匙。我希望書中能夠提供足夠多、有代錶性的例題，能夠覆蓋留數定理在各種積分計算中的應用，包括那些看似棘手的無理函數積分或者三角函數積分。此外，我非常期待書中能有關於保角映射的詳細介紹。保角映射在很多物理和工程領域都有著廣泛的應用，例如在流體力學和電磁場分析中，它能夠將復雜的幾何區域映射到簡單的區域，從而簡化問題的求解。如果書中能夠提供一些具體的應用實例，並展示如何利用保角映射來解決實際問題，那將極大地提升這本書的價值。

評分☆☆☆☆☆

當我翻開《復變函數教程》時，我最關心的是作者是否能夠將那些抽象的概念講得清晰易懂，並且能夠幫助我理解它們之間的聯係。《復變函數教程》在這方麵做得相當不錯。在介紹復數和復變量的概念時，作者並沒有止步於純粹的代數定義，而是通過幾何化的語言，將復數引入復平麵，並通過圖示的方式，展現瞭復數的加減乘除以及模、輻角等概念的幾何意義。這對於我這樣更偏嚮於直觀理解的學生來說，非常有幫助。我特彆欣賞書中對於解析函數的闡述。作者深入地剖析瞭柯西-黎曼方程，並詳細解釋瞭它為何是函數解析的充要條件，以及解析函數所具有的豐富性質，如可微、可積、一緻收斂等。我希望書中能夠提供大量的例題，來鞏固這些概念，並且題目能夠由淺入深，循序漸進。我尤其看重書中對留數定理的講解。留數定理是計算復積分和求解一些復雜問題的關鍵工具。我希望書中能夠詳細講解留數定理的原理，並展示它在不同場景下的應用，包括如何計算圍道積分，以及如何利用它來求解一些定積分。如果書中還能包含一些復變函數在物理學或工程學中的應用實例，例如在處理穩態場問題、信號分析等方麵，那將更具吸引力。

評分☆☆☆☆☆

在我看來，一本優秀的數學教材，不僅要講清楚“是什麼”，更要講清楚“為什麼”以及“怎麼用”。《復變函數教程》在這方麵給我留下瞭深刻的印象。從書中對於解析函數的定義和性質的闡述，我看到瞭作者深厚的功底和嚴謹的治學態度。他並沒有僅僅滿足於給齣公式和定理，而是通過對柯西-黎曼方程的深入剖析，揭示瞭復變函數之所以特殊的根本原因，以及解析函數為何擁有如此豐富的優美性質。書中對於復積分的介紹，也讓我對微積分的邊界有瞭新的認識。我特彆關注書中對圍道積分定理的引入和證明，這個定理是復變函數理論的基石之一，能夠深刻地理解它，對後續的學習至關重要。我希望這本書能夠為我展示更多利用留數定理求解各種類型積分的技巧，以及它在解析延拓過程中的關鍵作用。此外，我非常期待書中能夠包含一些關於復變函數在物理學和工程學中的應用案例，例如在處理波動方程、調和函數以及一些復變量的微分方程時，復變函數的強大工具性是如何體現齣來的。如果書中能夠提供一些具體的實例分析，那將極大地激發我學習的興趣，讓我看到數學理論的實際價值，而不僅僅是停留在抽象的符號運算層麵。

評分☆☆☆☆☆

選擇一本好的復變函數教材，對於我這樣的學習者來說至關重要。《復變函數教程》給我留下深刻印象的是其內容的係統性和邏輯性。從復數的基本概念到復變函數的微分、積分，再到留數定理和解析延拓，每一個章節的過渡都顯得非常自然，並且前後呼應。我尤其喜歡作者在講解圍道積分定理時所采用的方法，他並沒有直接拋齣復雜的證明，而是通過一步步的邏輯推理，引導讀者逐步理解定理的內涵和意義。這對於我這樣對數學證明有些畏懼的學生來說，無疑是極大的幫助。書中對解析函數性質的闡述，也讓我對復變函數有瞭更深刻的認識。例如，解析函數在復平麵上的光滑性、解析函數的級數展開等，都讓我看到瞭復變函數在數學上的優美之處。我非常期待書中能夠有關於留數定理及其應用的詳細講解。留數定理在計算復雜的復積分和求解一些實際問題時，展現齣瞭強大的威力。如果書中能夠提供足夠多的例題，並且覆蓋各種應用場景，那將極大地提升我的學習效率。同時，我也希望書中能夠涉及一些復變函數在物理學和工程學中的應用，例如在處理波動方程、調和函數以及一些復變量的微分方程時，復變函數是如何發揮作用的。

評分☆☆☆☆☆

初次翻開《復變函數教程》，我懷揣著一絲忐忑與期待。大學數學專業課的經曆讓我對這門課程的抽象性有著深刻的體會，而市麵上相關的教材和參考書也是良莠不齊。我希望這本書能夠提供一個清晰、係統且易於理解的學習路徑，尤其是在那些一開始就讓人頭暈目眩的積分、解析延拓和留數定理等概念上。翻閱目錄，我看到瞭紮實的理論基礎鋪墊，從復數的基本概念到柯西-黎曼方程的推導，再到復積分的概念以及解析函數的性質。我尤其關注書中對一些關鍵定理的證明是如何組織和闡述的，是否能夠層層遞進，讓讀者在理解概念的同時，也能領略到數學的嚴謹與深刻。函數的幾何意義和拓撲性質也是我比較看重的方麵，希望書中能有足夠的圖示和直觀的講解，幫助我建立起對復變函數全局的認識，而不是僅僅停留在符號運算層麵。此外，應用部分也是衡量一本書實用性的重要標準，不知道這本書是否會涉及一些復變函數在物理、工程等領域的實際應用案例，例如在流體力學、電磁學或者信號處理中的應用，這些都能極大地激發學習的興趣，並幫助我理解理論的價值。我期待著書中能夠給我帶來驚喜，解決我在學習過程中遇到的睏惑，成為我復變函數學習道路上的一位得力助手。