共形几何的若干问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王文智 著

图书标签:

• 共形几何
• 复分析
• 黎曼面
• 调和函数
• 保形映射
• 微分几何
• 偏微分方程
• 数学分析
• 几何学
• 拓扑学

出版社： 华南理工大学出版社

ISBN：9787562353263

版次：1

商品编码：12257724

品牌：华南理工大学出版社

包装：平装

开本：16

出版时间：2017-06-01

用纸：铜版纸

内容简介

微分算子，通常讨论的是非线性偏微分方程。除了在微分几何方面的重要性之外，共形几何在理论物理，超弦理论方面也有重要应用。由于其变分泛函不满足紧性条件，通常的变分方法不再适用，而为了获得紧性条件，必须考虑所研究几何对象的几何结构、拓扑结构等等，在知识上涉及面广泛，在方法上技巧高超，是艰深而又有趣的。

目录

部分Ⅰ 背景材料
第一章 黎曼几何要略
第一节 微分流形
一、拓扑流形微分流形
二、切空间与余切空间
三、张量场与外微分式
四、外微分式的积分
第二节 Riemann流形
一、Riemann度量
二、仿射联络
三、Levi-Civita联络
四、流形上的微分算子
第三节 曲率
一、曲率张量
二、Ricci曲率数量曲率
第四节 指数映射
一、平移
二、指数映射
三、测地法坐标系
四、Jacolbi场
第五节 共形不变张量
一、Weyl张量
二、Schouten张量Cotten张量
三、共形度量
四、Weyl张量的共形不变性
五、局部共形平坦
第二章 索伯列夫空间
第一节 Lebesgue积分
一、流形上的Lebesgue积分
二、空间Lp(M)
三、Lorentz空间Lp，q(M)
第二节 Sobolev空间及相关不等式
一、Sobolev嵌入定理
二、最佳Sobolev不等式
三、直交性Aubin不等式
四、Moser-Aubin不等式

部分Ⅱ 共形数量曲率的分析方法
第三章 共形度量的数量曲率
第一节 经典Yamabe问题
一、历史上的Yamabe问题
二、Aubin定理BN.模型
三、Schoen定理
四、Yamabe方程解的集合
五、Aubin定理的影响
第二节 设定共形数量曲率
一、存在性与Euler示性数
二、存在性与Yamabe不变量
三、Brezis-Kato正则化
第三节 Yamabe流
一、Yamabe流
二、Sn上的Yamabe流
三、指数收敛
四、关于Yamabe不变量
第四章 对称性与NIR.问题
第一节 Nirenberg问题
一、问题
二、Kazdan-Warner恒等式
第二节 分析方法
一、非线性Fredholm型定理
二、具对称性的问题
第三节 Aubin不等式的另一种形式
一、Chang-Yang的结论
二、用次临界逼近
三、不等式的建立

部分Ⅲ Nirenberg问题的拓扑方法
第五章 代数拓扑方法
第一节 Bahri-Coron定理
一、变分问题
二、Rn上的Bahri-Coron模型
第二节 (P.S.)序列的行为
一、Struwe-Bahri-Coron引理
二、用粒子逼近及余项
三、导算子在粒子上的作用
第三节 梯度流及其走向
一、梯度流
二、从W(p，?)(p≥2)出发的下降流
三、从W(1，?)出发的下降流
四、构建形变引理
第四节 拓扑论证
一、代数拓扑准备
二、拓扑论证
第五节 积分估计补充
一、粒子与余项间的作用
二、粒子间的相互作用
三、J(u)的展开式
第六章 拓扑度方法
第一节 张一杨摄动定理
一、张-杨映射
二、张-杨摄动定理
三、指标记数条件与拓扑度条件
第二节 共形参数解
一、带Lagrange乘数的共形解
二、Qp(u)的一阶与二阶导数
三、极小解的唯一性与连续性
第三节 G(P，t)的渐近性质
一、拓扑度相等的映射
二、极值函数的存在性
三、摄动条件下的积分估计
第四节 G的渐近展式及其它
一、其它结论
二、庥成?
第七章 低维Nirenberg问题
第一节 解的上下界
一、共形参数解
二、(?-*)条件
第二节 逐点估计
一、迹零Ricci张量
二、拉回映射
三、逐点估计
第三节 整体拓扑度
一、摄动常数量曲率
二、拓扑度的计算
第四节 二维情形的结论
一、Chang-Gursky-Yang定理
二、张恭庆刘嘉荃定理

部分Ⅳ 高阶共形曲率
第八章 高阶共形曲率
第一节 Q曲率及相关问题
一、Paneitz算子
二、Q-Yamabe问题
三、一个极小极大方案
第二节 k-Yamabe问题
一、髃-曲率
二、髃-Yamabe问题
三、变分法
四、Kazdan-Wamer型恒等式
附录A 变分原理
一、泛函三定理及收敛
二、映射的微分
三、极值问题
四、形变引理
附录B 拓扑度理论
一、Brouwer度
二、Leray-Scshauder度
附录C 凝聚紧性原理
一、P.-L.ions引理
二、Sobolev函数列
三、Struwe-Bahri型引理
附录D Sn上的Laplace算子
一、球极投影
二、特征值与特征函数
三、球面调和函数
参考文献
符号索引
内容索引

好的，这是一份图书简介，旨在介绍一本与“共形几何的若干问题”无关，但同样具有深度和广度的数学领域著作。 --- 书名：非欧几何基础与黎曼曲面的拓扑结构 作者：[此处可填入虚构的作者名，例如：李明 教授] 出版社：[此处可填入虚构的出版社名，例如：数学前沿出版社] 内容简介： 本书系统、深入地探讨了非欧几何的根基及其在现代数学结构中的重要作用，特别聚焦于黎曼曲面的拓扑性质及其与代数几何的交叉联系。全书旨在为具备微积分和线性代数基础的读者，提供一条通往高等几何和拓扑学核心概念的严谨路径。我们着重于构建几何直觉与分析工具之间的桥梁，而非仅仅罗列公式或陈述定理。 第一部分：非欧几何的诞生与基础 本部分追溯了非欧几何的哲学与数学渊源。我们从欧几里得几何的第五公设入手，详细剖析了其在历史上的争议及其被推翻的可能性。通过对罗巴切夫斯基和鲍伊亚的几何思想的梳理，我们引入了双曲空间的内禀结构。 1.1 欧氏几何的内省：第五公设的独立性 本章首先回顾了欧氏几何的公理系统，并以克莱因对平行线的讨论为例，揭示了第五公设的特殊地位。我们详细分析了割舍该公设后可能产生的逻辑后果，为过渡到更广阔的几何空间做铺垫。 1.2 罗巴切夫斯基几何：双曲空间的构造 我们采用运动学和向量分析相结合的方法，构建了罗巴切夫斯基空间（双曲空间）。重点讨论了双曲三角形的内角和定理——其和恒小于 $pi$——以及相关的三角函数关系。通过构建庞加莱圆盘模型和双曲上半平面模型，读者可以直观地理解双曲度量的内在性质，如测地线的性质和空间曲率的恒定性。我们还将讨论双曲空间中“理想点”的概念及其在几何证明中的应用。 1.3 椭圆几何：球面几何的再审视 与双曲几何形成对比，本章分析了曲率恒为正的空间，即球面几何。虽然球面几何常被视为初等内容，但我们在本节中将其提升到更严格的微分几何框架下讨论。重点在于测地线的唯一性、大圆的概念，以及球面三角学中内角和恒大于 $pi$ 的性质。此处的讨论旨在统一处理曲率为零（欧氏）、负（双曲）和正（椭圆）三种基本情形。 第二部分：度量空间与微分流形初步 为了更精确地描述非欧几何，我们需要引入现代微分几何的语言。本部分侧重于度量空间的引入和对曲率概念的初步理解。 2.1 度量空间的拓扑性质 我们从抽象的度量空间出发，讨论了开集、闭集、完备性、紧致性和连通性等基本拓扑概念。这些概念是理解几何对象内在结构的基石。我们详细分析了由非欧度量诱导的拓扑结构，例如在双曲空间中，测地线如何影响区域的边界行为。 2.2 曲率的内禀概念：高斯关于曲面的绝妙定理 高斯关于曲面的绝妙定理是连接局部几何与整体拓扑的关键。我们首先定义了第一、第二基本形式，并由此导出法曲率和主曲率。本章的核心在于证明高斯曲率 $K$ 是完全由曲面自身的内禀度量决定的，从而奠定了黎曼几何的内禀性基础。我们将通过几个具体的例子（如圆柱面、球面、悬链曲面）来计算和解释高斯曲率的几何意义。 2.3 黎曼度量与黎曼流形 在二维空间之后，我们将概念推广到更高维度的流形。黎曼流形被定义为光滑流形配备一个处处非退化的对称二次型（黎曼度量）。我们引入了协变导数、黎曼曲率张量和里奇张量，为后续讨论的整体性质做准备。 第三部分：黎曼曲面的拓扑结构与分析 本部分将前两部分的几何直觉与拓扑不变量相结合，深入探讨二维紧致黎曼流形——黎曼曲面——的性质。 3.1 拓扑分类与欧拉示性数 黎曼曲面的拓扑结构由其欧拉示性数 $chi$ 完全决定。我们采用组合拓扑的方法，通过剖分和组合公式，计算了不同拓扑类型（球面、环面、双孔曲面等）的欧拉示性数。本章强调了拓扑不变量在区分几何结构方面的决定性作用。 3.2 调和微分形式与德拉姆上同调 为了在不依赖度量的情况下研究曲面的拓扑结构，我们引入了微分形式理论。详细阐述了德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$ 的构造。对于二维流形 $M$，我们重点分析了 $H^0(M)$（函数空间）和 $H^1(M)$（一形式空间）。 3.3 黎曼-洛赫定理（Riemann-Roch Theorem） 本书的高潮部分是黎曼-洛赫定理的阐述与应用。该定理精妙地联系了代数几何中的代数系统（代数曲线上的线丛和它们的截面空间维度）与微分几何中的分析量（曲面的拓扑属性和度量）。我们将以拓扑曲线上的亚纯函数和除数理论为切入点，解释该定理的深刻内涵，展示了黎曼曲面在连接不同数学分支中的中心地位。 3.4 测地流与动力学 最后，我们短暂地触及了黎曼曲面上的动力学系统。讨论了测地线流（Geodesic Flow）的性质，以及它如何受曲面曲率的影响。在负曲率（双曲）流形上，测地流表现出完全的混沌性，这为理解随机过程在曲面上的演化提供了几何模型。 目标读者： 本书适合数学系高年级本科生、研究生，以及几何学、拓扑学、理论物理学中需要扎实非欧几何基础的研究人员。对读者要求具备扎实的微积分基础、线性代数知识，并对拓扑学有初步了解者更佳。 本书特点： 强调内禀性： 尽可能使用不依赖于嵌入空间的证明方法。 模型与抽象结合： 结合具体的几何模型（如庞加莱圆盘）与抽象的微分几何语言。 跨学科视野： 重点展示非欧几何、微分几何与拓扑学之间的内在联系。 ---

评分☆☆☆☆☆

一本沉浸式的数学之旅，让人领略到数学思维的精妙与深度。初拿到这本书，就被其书名所吸引——“共形几何的若干问题”。这并非一本通俗的科普读物，而是邀请读者一同深入探讨数学世界中那些引人入胜的未解之谜。书中的内容，如同精心雕琢的艺术品，每一个公式、每一个证明都凝聚着作者的智慧与心血。 我尤其被其中关于黎曼曲面的讨论所打动。作者以一种循序渐进的方式，从基础概念入手，逐步构建起一个宏大而严谨的理论框架。那些看似抽象的几何变换，在作者的笔下变得鲜活起来，仿佛有了生命一般，在纸面上跳跃、旋转，展现出其内在的优雅与和谐。读者不仅能学习到共形映射的核心思想，更能体会到它在拓扑学、复分析等多个数学分支中的广泛应用，以及其在解决实际问题上的强大潜力。 书中对于一些经典难题的探讨，更是令人拍案叫绝。作者没有直接给出答案，而是带领读者一步步剥丝抽茧，分析问题的症结所在，展现出解决问题过程中的思维火花。这种互动式的写作风格，极大地激发了我的求知欲和探索精神。我不再是被动地接收知识，而是主动地参与到数学的创造过程中，仿佛自己也成为了一名小小探险家，在未知的数学海洋中寻找宝藏。 当然，这本书对读者的数学基础有一定要求，但正是这份挑战，使得每一次阅读都成为一次自我突破。我发现，随着阅读的深入，自己对数学的理解也在不断深化，看待问题的方式也变得更加灵活和深刻。那些曾经让我望而却步的难题，如今也似乎有了些许眉目。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的良师益友，引导我不断超越自我，攀登数学的高峰。 总而言之，“共形几何的若干问题”是一本值得反复品读的数学著作。它不仅为我打开了通往共形几何深奥领域的大门，更重要的是，它点燃了我对数学的无限热情，让我看到了数学思维的无穷魅力。我相信，任何对数学有浓厚兴趣的读者，都会在这本书中找到属于自己的那份惊喜与收获。

评分☆☆☆☆☆

第一次接触到这本书，就被它深邃的书名所吸引：“共形几何的若干问题”。这股吸引力并非源于对某个具体知识点的期待，而是一种对未知领域探索的渴望。读完之后，我深切感受到这本书带给我的那种“拨云见日”般的惊喜，以及一种智识上的全新体验。 书中对早期几何学家们在共形几何领域所面临的挑战的描绘，让我对数学的发展历程有了更深的认识。作者并非简单地罗列定理，而是将这些定理置于历史的背景之下，展现了它们是如何在解决实际问题的过程中孕育而生的。我仿佛看到了那些伟大的头脑，如何在面对困难时，展现出惊人的毅力和创造力。 令我印象深刻的是，作者对于一些看似相互独立的几何概念，通过共形映射这一核心工具，巧妙地将它们串联起来，展现出一种宏大的统一性。这种“以小见大”的写作手法，不仅让我看到了共形几何的威力，更让我领略到数学的普适性和内在的和谐之美。 书中关于度量空间的探讨，更是让我大开眼界。作者从不同的角度分析了度量在几何中的作用，以及共形变换如何改变度量，但又保留了某些重要的几何信息。这种深入的分析，让我对“距离”这一概念有了更深刻的理解，也让我看到了数学的严谨与精妙之处。 这本书并非易读之作，它需要读者具备一定的数学基础，以及持续的耐心和思考。但正是这份挑战，使得每一次的阅读都充满了成就感。我发现，随着阅读的深入，自己对数学的理解也在不断地升华，思维的边界也在不断地拓宽。 总而言之，“共形几何的若干问题”是一本令人着迷的书籍，它不仅让我学习到了宝贵的数学知识，更重要的是，它点燃了我对探索数学世界的热情，让我看到了数学的无限可能。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面上“共形几何的若干问题”几个字，仿佛是开启一个未知世界的钥匙，激起了我内心深处的好奇和求知欲。拿到手后，我迫不及待地翻开，果然，这是一本能让人沉浸其中、忘却时间的书。 书中对一些关键性几何概念的引入，非常巧妙。它不像一般的教材那样，直白地给出定义，而是通过一系列的问题和思考，引导读者主动去探索和发现。我常常会跟随作者的思路，在脑海中构建出几何图形，然后在心中反复推敲。 我特别欣赏书中对于“共形映射”的深入探讨。作者不仅解释了它的数学本质，更重要的是，它揭示了共形映射在解决一些看似棘手的几何问题中所扮演的关键角色。我仿佛看到了一个隐藏在幕后的“魔法师”，通过其独特的能力，化解了一个又一个的难题。 书中对一些具有挑战性的数学证明的呈现，也让我印象深刻。作者并没有回避其中的复杂性，而是选择了一条清晰而严谨的逻辑路径，一步步地带领读者走向结论。这种“循循善诱”的写作方式，让我即使在遇到困难时，也能保持学习的动力。 更重要的是，这本书为我提供了一个全新的思考框架。它让我明白，在探索数学世界时，不仅仅要关注“是什么”，更要深入思考“为什么”和“如何”。这种批判性思维的培养，对于任何一个追求知识深度的人来说，都是至关重要的。 总而言之，“共形几何的若干问题”是一本极具启发性的数学书籍。它不仅提供了宝贵的知识，更重要的是，它点燃了我对数学探索的热情，让我看到了数学思维的强大力量和无限魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书给人的感觉，就像是在探索一个古老而充满智慧的迷宫，每一个转角都可能隐藏着令人惊叹的发现。初次翻阅，就被其独特的视角所吸引。它不像传统的数学书籍那样，上来就抛出一堆定理和公式，而是以一种更加“问题导向”的方式，引导读者去思考、去探索。 我印象最深刻的是其中关于“共形不变性”的章节。作者并没有直接陈述这个概念有多么重要，而是通过一系列精心设计的例子，展示了在不同的几何变换下，某些几何性质是如何保持不变的。这种“润物细无声”的教学方式，让我对共形映射有了更直观、更深刻的理解。我仿佛看到了那些看似微不足道的变换，在背后却支撑着一个庞大而精妙的数学结构。 书中对一些具有挑战性的证明过程的呈现，更是让我受益匪浅。作者并没有简化那些复杂的推导，而是详细地展示了每一步的逻辑链条，让我们能够跟随作者的思路，一步步地走入证明的内心世界。有时候，即使不能完全理解每一个细节，但仅仅是跟随作者的脚步，也能感受到其中蕴含的严谨与智慧。 这本书的语言风格也十分独特，既有严谨的学术性，又不失文学的韵味。作者善于运用生动的比喻和形象的描述，将抽象的数学概念变得易于理解。我常常在阅读的过程中，会不自觉地停下来，回味那些精妙的措辞，思考那些引人深思的观点。 对我而言，这本书更像是一次思维的洗礼。它教会我如何用更广阔的视野去审视数学问题，如何从不同的角度去寻找解决之道。那些看似孤立的数学知识，在书中被巧妙地联系起来，展现出它们之间千丝万缕的联系。这本书不仅提升了我的数学技能，更重要的是，它培养了我独立思考和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名“共形几何的若干问题”本身就散发着一种神秘而吸引人的气息，让我充满好奇。阅读过程宛如走进一个精心设计的数学迷宫，每一步都充满了智力上的挑战与惊喜，让我不禁沉浸其中，久久不能自拔。 书中对不同几何空间之间关系的阐述，尤其让我印象深刻。作者没有直接给出结论，而是通过大量的细节和严谨的论证，带领读者一步步地理解这些复杂的关联。我常常会反复阅读某一段，试图去理解其中蕴含的深层含义，以及作者是如何一步步构建起这些精妙的论证。 我特别喜欢书中关于“莫比乌斯变换”的讨论。作者将这一看似简单的变换，从不同的角度进行了深入的剖析，展现了它在几何、拓扑等多个领域的强大应用。我仿佛看到了数学工具的强大力量，是如何将看似无关的概念连接起来，并解决实际问题的。 这本书的写作风格十分独特，既有学术的严谨性，又不乏一丝浪漫的色彩。作者在描述复杂的数学概念时，常常会穿插一些历史故事或者哲学的思考，让整个阅读过程更加生动有趣。我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在与一位富有智慧的思想家进行对话。 对我而言，这本书最大的价值在于它提供了一种全新的数学视角。它让我明白，数学并非僵化的规则和公式，而是一个充满活力和创造力的领域。通过这本书，我不仅学到了共形几何的知识，更重要的是，我学会了如何去思考，如何去探索，如何去发现数学中隐藏的美。 因此，我强烈推荐这本书给所有对数学有热情，并且乐于接受挑战的读者。它一定会带给你一次难忘的数学之旅。