數學奧林匹剋中的常見重要不等式 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張艷宗 著

圖書標籤:

• 數學奧林匹剋
• 不等式
• 數學競賽
• 高中數學
• 奧數
• 數學技巧
• 解題方法
• 重要不等式
• 數學學習
• 競賽輔導

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560369372

版次：1

商品編碼：12285028

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2017-11-01

用紙：膠版紙

內容簡介

本書旨在介紹在高中數學奧林匹剋競賽、自主招生考試等中齣現的常見重要不等式及其變形、拓展的應用。全書共8章，相互獨立，每章精選瞭國內外數學競賽中的典型不等式問題為例題，從係統觀的視角，深入講解每個問題，提煉瞭這些常見重要不等式的使用技巧，幫助讀者建立不等式證明的“結構觀”方法。

本書集普及性、理論性、實用性於一體，適閤中學生、中學數學教師等閱讀使用，也是學校開展教師培訓與拓展性教學的好素材，同時可供數學愛好者參考。對參加全國高中數學聯賽、高校自主招生等考試的考生也會有較大的幫助。

目錄

【目 錄】

前備知識//1

第1章 均值不等式//5

第2章 Cauchy-Schwarz不等式//57

第3章 Hölder不等式//103

第4章 排序不等式與Chebyshev不等式//122

第5章 Schur不等式//148

第6章 J.Wolstenholen-嵌入不等式//179

第7章 切綫不等式//191

第8章 Jensen不等式//216

參考文獻//246

數學奧林匹剋中的常見重要不等式 圖書簡介 本書旨在為對數學競賽，特彆是奧林匹剋數學懷有濃厚興趣的讀者提供一套全麵、深入且實用的不等式知識體係。我們聚焦於在各類數學競賽中頻繁齣現、具有高度代錶性和應用價值的重要不等式，力求通過詳盡的理論闡述、豐富的例題解析和精選的習題設計，幫助讀者構建紮實的不等式基礎，並有效提升解決復雜數學問題的能力。 本書內容結構嚴謹，邏輯清晰，從基礎概念齣發，逐步深入到高級技巧的應用。我們深知，不等式作為數學分析、代數、幾何乃至數論中的核心工具，其重要性不言而喻。因此，我們不僅僅羅列公式，更側重於講解這些不等式背後的思想、推導方法以及它們在不同場景下的靈活運用。 第一部分：基礎不等式與經典工具 本部分奠定瞭全書的理論基石，重點介紹那些構建更復雜不等式所必需的基本工具和思想。 1. 基礎代數不等式 我們首先迴顧並深入探討瞭絕對值不等式（如三角不等式及其推廣形式），以及利用二次函數性質或配方法構造非負錶達式的方法。著重分析瞭平方和、平方差等基本形式在證明中的應用潛力。例如，如何利用 $a^2+b^2 geq 2ab$ 及其變形來簡化或證明其他不等式。 2. 均值不等式族（AM-GM-HM） 算術平均數不等式（AM）、幾何平均數不等式（GM）、調和平均數不等式（HM）是整個不等式學習的核心。本書不僅詳細闡述瞭它們的形式和等號成立條件，還深入探究瞭加權算術平均數不等式（WAM），並展示瞭如何通過變量代換、分離變量或利用對數函數等方法證明這些不等式。大量篇幅用於展示如何將 AM-GM 技巧應用於含有多個變量、約束條件復雜的問題中。 3. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality） CS 不等式是連接代數、幾何和嚮量空間的重要橋梁。本書將介紹其代數形式、嚮量形式以及積分形式。重點解析瞭其在處理求和、內積以及優化問題時的強大威力。我們會通過構造輔助嚮量或通過柯西不等式與排序不等式相結閤的技巧，展示其在競賽中的高頻應用。 4. 排序不等式 (Rearrangement Inequality) 排序不等式是處理變量順序敏感性問題的利器。本書詳細介紹瞭其基本形式和推論，並通過實例說明瞭如何根據變量的單調性來確定最優或最差的排列組閤，從而解決涉及乘積和或交叉相乘和的問題。 第二部分：凸函數與Jensen不等式 凸性分析是現代數學分析中處理不等式問題的重要視角。 1. 凸函數與凹函數 詳細定義瞭凸函數和凹函數的概念，並介紹瞭判斷函數凸性的充要條件（如二階導數檢驗）。 2. Jensen 不等式 Jensen 不等式是 AM-GM 不等式在更一般函數空間中的推廣。本書將重點分析凸函數和凹函數下的 Jensen 不等式，並展示其在處理概率、期望以及涉及 $ln, e^x, x^p$ 等函數的復雜不等式中的應用。我們特彆關注如何利用 Jensen 不等式來統一證明許多看似不同的不等式結論。 第三部分：重要不等式的推廣與變體 在掌握基礎工具後，本書深入探討瞭更高級和更具挑戰性的不等式。 1. 冪平均不等式（Power Mean Inequality） 本書係統地介紹瞭 $M_p$ 形式的冪平均不等式，揭示瞭 $M_p$ 隨著 $p$ 值變化的趨勢，並展示瞭它如何自然地涵蓋瞭 AM, GM, HM 等基本均值不等式。 2. 均值與積分不等式的聯係 探索瞭將離散的均值不等式推廣到連續函數積分形式的聯係，為讀者建立更宏觀的數學視野。 3. Schur 不等式 Schur 不等式及其擴展形式，特彆是在處理對稱多項式和特定條件下的不等式證明中扮演著關鍵角色。本書將詳述 Schur 不等式的不同次數形式，並展示它如何有效解決許多需要利用對稱性或奇偶性來構造非負項的問題。 第四部分：技巧與策略：不等式證明的藝術 本部分是全書實踐性的核心，專注於如何將理論知識轉化為實際的解題能力。 1. 變量替換與構造技巧 詳細介紹瞭幾種常用的變量替換策略，例如： 三角代換（適用於有界區間或涉及平方和/差的形式）。 代換為均值（如 $a=x+y, b=y+z, c=z+x$ 等）。 均值化處理：通過引入輔助量，將不等式轉化為關於平均值的形式進行分析。 2. 齊次化與標準化 對於非齊次不等式，講解如何通過引入條件項（如 $a+b+c=k$ 或 $abc=k$）進行齊次化處理，從而簡化錶達式結構，便於應用標準不等式。 3. 極端值分析與判彆 強調利用“極端情況法”（Equality Case Analysis）來指導證明方嚮，即分析等號成立的條件來推測不等式結構，並利用該信息構造輔助函數或輔助錶達式。 4. 微積分工具在證明中的應用 在需要處理涉及變量趨嚮於零或無窮大，或涉及復雜函數關係的不等式時，將適當地引入導數、極值點分析以及泰勒展開等微積分工具，以實現對復雜錶達式的精確控製。 總結與展望 本書的編寫目標是超越簡單的公式羅列，緻力於培養讀者發現問題、分析問題和解決問題的能力。所選例題和習題均為曆年各大國際、國內奧賽中的經典或高難度題目，覆蓋麵廣，難度遞進閤理。通過係統學習，讀者將能夠熟練掌握不等式證明的多種核心方法，為參加高水平數學競賽奠定堅實的基礎，並為未來在數學及相關領域的學習打下堅實的分析基礎。本書適閤具有一定微積分和基礎代數知識的數學愛好者、高中生以及準備參加數學奧賽的學生和教師使用。

評分☆☆☆☆☆

最近我嘗試閱讀瞭一本關於幾何壓軸題的書籍，這本書給我留下瞭深刻的印象。它並非僅僅羅列題目，而是花瞭很大篇幅去講解各種幾何定理、性質以及它們之間的內在聯係。書中對一些經典幾何問題的解法進行瞭非常細緻的推導，甚至還會提供多種不同的解題思路，這對於我這樣希望在幾何方麵有所突破的學生來說，簡直是雪中送炭。我特彆喜歡它分析解題過程的方式，不僅僅是給齣答案，而是深入到“為什麼這麼想”的層麵，引導讀者去觀察圖形的特徵，發掘隱藏的條件，以及如何巧妙地運用已知定理。有時候，我會對著書中的圖形反復揣摩，嘗試自己去找齣書本之外的其他證明方法，這種思考的過程極大地鍛煉瞭我的幾何直覺和邏輯推理能力。

評分☆☆☆☆☆

我最近有幸接觸到一本講解數論專題的書，這本書的敘述風格讓我耳目一新。它不像我之前看過的很多數論書籍那樣，上來就給齣一堆晦澀的概念和定理，而是以一種更貼近思維過程的方式，循序漸進地引導讀者進入數論的奇妙世界。書中對於一些基礎概念的解釋非常到位，常常會用一些生活中的類比或者簡單的例子來幫助理解，這讓數論不再顯得那麼高高在上。而且，本書在引入一些稍顯復雜的定理時，也並非直接給齣證明，而是通過一係列精心設計的思考題，讓讀者在嘗試解決問題的過程中，自然而然地“發現”這些定理，從而加深理解。最讓我印象深刻的是，書中對丟番圖方程、同餘方程等經典數論問題有著非常係統且深入的講解，並提供瞭不少巧妙的解題技巧。

評分☆☆☆☆☆

我之前一直在尋找一本能夠係統性地提升我數學思維能力的書，最近偶然看到一本關於“數學思想方法”的著作，這正是我所需要的。這本書並非僅僅教授解題技巧，而是著重於培養讀者分析問題、解決問題的宏觀視角。它深入淺齣地講解瞭數學中的一些核心思想，比如化歸思想、構造思想、對稱思想等等，並結閤大量經典的數學問題，展示瞭這些思想如何在實際解題中發揮作用。書中對於每一個思想的闡述都非常透徹，並輔以一係列由淺入深的例題，這些例題的選取非常具有代錶性，能夠很好地體現特定思想的威力。我從中不僅學到瞭如何更有效地解決具體問題，更重要的是，我開始學會從更深層次去理解數學，培養瞭更強的數學敏感度和創新能力。

評分☆☆☆☆☆

作為一個熱愛數學競賽的普通高中生，我一直在尋找能夠係統性地梳理高中數學競賽中那些“點石成金”的不等式技巧的寶藏。市麵上確實有不少競賽數學的書籍，有的偏嚮於代數，有的則側重幾何，但專門深入講解不等式應用的，我翻閱瞭不少，總覺得有些意猶未盡。有些書的例子過於簡單，講解不夠深入，難以觸及到一些更高級或更巧妙的應用；有些書則可能概念過於抽象，對於非數學專業的學生來說，理解起來會有些吃力，需要花費大量的時間去消化。我更傾嚮於那種能從基本原理齣發，層層遞進，最終展現齣不等式在解決復雜問題時那“四兩撥韆斤”的力量的書籍。最好能配以豐富的例題，從易到難，並且對每個例題的解題思路和技巧都有詳盡的剖析，這樣我纔能真正地將知識內化，融會貫通，而不是僅僅停留在“看懂”的層麵。

評分☆☆☆☆☆

我最近讀瞭一本關於組閤數學的書，這本書給我最大的感受就是它的“趣味性”和“啓發性”。組閤數學聽起來可能有些枯燥，但這本書卻通過大量生動有趣的例子，比如如何分配物品、如何安排座位、如何計算可能性等等，將抽象的組閤原理變得非常直觀易懂。書中對於排列、組閤、容斥原理、生成函數等基本概念的講解，都非常清晰，並且提供瞭多種不同的思考角度。我尤其喜歡它對一些組閤恒等式的證明，不僅僅是枯燥的代數推演，還會結閤圖形或實際情境進行解釋，讓人茅塞頓開。更重要的是，這本書在講解瞭基本概念之後，並沒有止步於此，而是引導讀者去探索更復雜的組閤問題，並介紹瞭一些解決這些問題的通用策略，這讓我對組閤數學這門學科産生瞭濃厚的興趣。