高等代数选讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

张丽华，姚波，黄影 著

图书标签:

• 高等代数
• 线性代数
• 抽象代数
• 数学分析
• 大学教材
• 数学
• 选讲
• 理论数学
• 代数结构
• 矩阵理论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030417435

版次：01

商品编码：12334784

包装：平装

丛书名： 高等代数课程创新型教材

开本：16开

出版时间：2018-03-01

页数：292

正文语种：中文

内容简介

本书是数学与应用数学专业选修课教材，全书共九章和两个附录。九章分别是多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间，每章包括知识点归纳与要点解析、典型例题、精选习题三部分内容。两个附录分别为精选习题提示及参考答案、大学生数学竞赛试题及参考答案。

几何、拓扑与微分：现代数学的基石 第一章 欧几里得空间中的几何基础 本卷聚焦于经典欧几里得几何在更高维度空间的自然延伸与抽象化。我们将从向量空间的基本概念入手，系统阐述 $mathbb{R}^n$ 上的内积、范数以及它们所诱导的几何结构。重点讨论施密特正交化过程、正交基的构造，以及正交变换（如旋转和反射）在保持距离和角度方面的核心作用。 随后，我们将深入探讨线性映射在几何上的具体表现，特别是正交矩阵的性质及其与正交群 $O(n)$ 的关系。矩阵的奇异值分解（SVD）将被引入，用以揭示任意线性变换在正交基下的“最佳”分解形式，即拉伸与旋转的组合。这不仅是理解线性代数深层结构的钥匙，也是数据降维和图像处理等应用领域的理论基础。 几何直观的建立是本章的重中之重。我们将通过低维度的例子（如平面与三维空间）逐步提升到 $n$ 维的抽象视角，确保读者对距离、夹角、投影等基本概念在任意有限维实向量空间中的精确把握。 第二章 线性代数在应用中的深化 本章将线性代数的核心工具从纯粹的代数运算提升到对实际问题的建模层面。我们将详细剖析特征值与特征向量的物理和几何意义。不仅仅是计算它们，更重要的是理解它们如何描述系统的固有模式——例如，微分方程中的稳定态、振动系统中的主频率，或者图论中的中心性度量。 二次型与矩阵的二次可积形式将作为本章的核心内容之一。我们将介绍如何通过正交相似变换将任意二次型化为对角形式，从而揭示二次曲面（如椭球面、双曲面）的本质结构。这部分内容与最优化理论中的 Hessian 矩阵分析紧密相关。 此外，我们将引入泛函分析的萌芽概念，探讨有限维向量空间上的线性算子的谱理论。这为后续理解无限维空间中的算子理论（如希尔伯特空间）打下坚实的基础。我们将对比不同类型的矩阵分解（LU, QR, Cholesky）在数值稳定性和计算效率上的优劣，并讨论它们在最小二乘问题求解中的关键地位。 第三章 流形与微分几何的初探 本章开始向更精细的几何结构过渡，引入局部欧几里得空间的思想——微分流形。流形是现代几何学的核心对象，它允许我们将微积分的工具应用到弯曲的空间上。 首先，我们将严格定义拓扑流形，讨论开集、基、拓扑结构以及相容的坐标图册（Atlas）。重点阐述光滑性（可微性）的要求，以及在不同坐标系之间进行坐标变换的规则，这直接引出了雅可比矩阵在流形上的作用。 接着，本章将引入切空间的概念。切空间被定义为流形上某一点的所有可能“速度向量”构成的向量空间，它是局部的线性化工具。我们将展示如何通过微分映射将切空间结构从一个流形传递到另一个流形。 向量场作为定义在流形上且取值为对应点切空间的向量的函数，将被详细研究。我们随后会介绍李导数和流的概念，这是理解流形上微分动力系统的关键工具。 第四章 基础拓扑学：连续性的抽象表达 在深入研究光滑结构之前，理解“接近”和“连续”的抽象概念至关重要。本章致力于构建一套严谨的拓扑学基础。 我们将从度量空间开始，回顾距离函数如何生成拓扑结构。然后，我们抽象化这一结构，引入拓扑空间的正式定义：开集的集合。我们将详细讨论开集、闭集、邻域、边界、内部和闭包等基本拓扑概念，并证明它们在任意拓扑空间中都成立的普适性质。 本章将深入探讨拓扑空间中的连续函数定义，并证明它与度量空间中的 $epsilon-delta$ 定义是兼容的。紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）是拓扑学中最重要的两个性质。我们将利用开覆盖来定义紧致性，并证明在 $mathbb{R}^n$ 中， Heine-Borel 定理如何将紧致性与有界闭集等价起来。连通性的概念将通过路径连通性来直观阐释。 最后，我们将讨论商拓扑的构造，这是一种在已有拓扑空间上构建新拓扑空间的重要方法，它在描述如圆环、球面等“粘合”结构时具有不可替代的作用。 第五章 向量丛与纤维丛的概念 本章将第零章的切空间提升到一个更普遍的框架——向量丛。向量丛是现代微分几何和代数拓扑中处理几何结构之间关系的核心工具。 我们将首先定义纤维丛的结构，包括底空间、纤维、总空间以及投影映射。以切丛为例，说明局部平凡性如何允许我们将一个弯曲空间的局部结构视为欧几里得空间的“平坦”拼接。 我们将详细考察向量丛的构造方法，特别是如何通过一个空间（如流形）上的一个群（如一般线性群 $GL(n)$）的陪集空间来定义主丛。向量丛与主丛之间的关系（通过选择截面）将被清晰阐明。 本章的重点将落在截面（Section）的概念上，一个截面是将底空间中的每一点映射到对应纤维中的一个向量的函数。向量场（在切丛的意义下）即是光滑截面。我们还会引入丛的同态（Morphism of Bundles），为后续的陈类理论奠定必要的代数基础。 第六章 微分形式与外代数 本章旨在将线性代数中的行列式概念推广到更高阶的结构，并引入微分几何中最重要的积分工具——微分形式。 我们将从张量积开始，定义对称张量和反对称张量。反对称张量在 $k$ 阶形成的外积空间（或称为楔积空间） $igwedge^k V^$ 是定义微分形式的代数基础。我们将讨论楔积的反对称性 $(omega wedge eta = - eta wedge omega)$ 及其与行列式的联系。 在流形上，微分 $k$-形式被定义为光滑地取值为 $k$ 阶外代数的截面。我们将详细研究 0-形式（光滑函数）、1-形式（线性泛函的推广）以及 2-形式。 最后，我们将定义外导数（Exterior Derivative）$d$，它是一个作用于 $k$-形式并将其映射到 $(k+1)$-形式的算子。外导数是梯度、旋度、散度在任意维度流形上的统一推广。我们将证明其关键性质 $d^2 = 0$，并简要介绍德拉姆上同调的初步思想，即如何利用 $d^2=0$ 来区分“洞”的存在。

评分☆☆☆☆☆

最近在书架上看到一本《高等代数选讲》，光是这个书名就让人感觉充满了学术气息，仿佛在诉说着一场关于数的精妙舞蹈。我一直认为，数学知识的学习，就像攀登一座高峰，每一步都需要扎实的基础和清晰的指引。这本书的“选讲”二字，让我猜测它并非一本包罗万象的百科全书，而是经过精心挑选、提炼出的精华。我猜想，书中可能不会涉及初等代数的所有繁枝末节，而是着重于讲解那些在高等数学中扮演关键角色的概念和理论。比如，我个人对抽象代数中的结构性思想特别感兴趣，比如群的对称性，环的运算规则，域的扩张等等。我希望这本书能够以一种非常直观易懂的方式，介绍这些概念是如何被构建起来的，它们各自的独特之处在哪里，以及它们是如何在解决更复杂数学问题中发挥作用的。也许书中会用一些生动形象的比喻，或者引人入胜的历史故事，来为这些抽象的理论增添趣味，让学习的过程不再枯燥乏味。

评分☆☆☆☆☆

我对数学的喜爱，更多的是源于它那种逻辑严谨、层层递进的魅力。《高等代数选讲》这个书名，在我看来，就像是一张通往数学深处神秘领域的藏宝图。我推测，这本书并非旨在全面教授高等代数的所有分支，而是像一位经验丰富的向导，带领读者精选那些最重要、最能体现高等代数思想精髓的章节。我热切地希望，书中能够深入讲解那些构建现代数学大厦的基石性理论，例如线性代数中的一些更高级的主题，比如特征值与特征向量的深刻内涵，或者对各种代数结构的分类和性质的细致探讨。我憧憬着，作者能够用清晰的语言，辅以恰当的例子，将那些复杂的数学思想生动地呈现在我面前，让我不仅仅是记住公式，更能理解公式背后的逻辑和思想。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学这门学科充满好奇，尤其对那些看似晦涩难懂的抽象概念着迷。最近，我偶然翻阅了一本名为《高等代数选讲》的书，虽然我尚未深入钻研其具体内容，但仅凭其书名和大致的编排，就足以勾起我强烈的求知欲。我总觉得，数学的美妙之处在于它能够以一种严谨而优雅的方式，揭示宇宙深层的规律。这本书的名字暗示着它将带领读者进入一个更加高级的代数领域，那里可能充满了群论、环论、域论等令人着迷的课题。我尤其期待书中能够清晰地阐述这些抽象概念的定义、性质以及它们之间的相互联系。我相信，通过作者的“选讲”，一定能提炼出代数中最核心、最精妙的部分，让我得以窥见这个领域的冰山一角，并为我今后更深入的学习打下坚实的基础。我设想，书中或许会通过一些经典的例子和精心设计的习题，来帮助我理解那些复杂的理论。这种“选讲”的方式，比起面面俱到的教科书，更能抓住重点，激发兴趣，让我不会在浩瀚的知识海洋中迷失方向。

评分☆☆☆☆☆

最近在朋友的推荐下，我了解到一本名为《高等代数选讲》的书。虽然我尚未有幸拜读其全貌，但仅从书名，我就已经对其充满了期待。我总觉得，数学的美，体现在它抽象的符号背后所蕴含的深刻含义，以及它能够以一种极其简洁的方式，描述宇宙万物的运行规律。而“高等代数”，更是将这种抽象与规律推向了一个新的高度。我猜想，这本书的“选讲”二字，意味着它将选取高等代数中最精华、最具代表性的部分进行阐述，而不是面面俱到。我期待书中能够深入剖析诸如群论、环论、域论等抽象代数的核心概念，并能清晰地展示这些概念是如何相互联系，以及它们在现代数学中的重要地位。我希望通过阅读这本书，能够对代数这门学科有一个更全面、更深入的理解，并从中体会到数学的严谨与优雅。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学有着浓厚兴趣的业余爱好者，我总是在寻找能够拓展我数学视野的读物。当我在书店的数学专区看到《高等代数选讲》时，我的目光立刻被它吸引住了。这个书名本身就充满了探索的意味，它暗示着这本书将带领读者超越基础代数的范畴，去领略更加广阔和深刻的数学世界。我期待这本书能够清晰地阐释高等代数中的核心概念，比如那些关于向量空间、线性变换、矩阵理论以及更抽象的代数结构（如群、环、域）的理论。我希望作者能够以一种既严谨又不失启发性的方式，来引导读者理解这些概念的本质。尤其是我对那些能够揭示数学内在统一性和深刻联系的理论特别感兴趣，我希望通过这本书，我能够更好地理解不同代数概念之间的融会贯通，以及它们在解决各种数学问题中所展现出的强大力量。