高等代數選講 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張麗華，姚波，黃影 著

圖書標籤:

• 高等代數
• 綫性代數
• 抽象代數
• 數學分析
• 大學教材
• 數學
• 選講
• 理論數學
• 代數結構
• 矩陣理論

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030417435

版次：01

商品編碼：12334784

包裝：平裝

叢書名： 高等代數課程創新型教材

開本：16開

齣版時間：2018-03-01

頁數：292

正文語種：中文

內容簡介

本書是數學與應用數學專業選修課教材，全書共九章和兩個附錄。九章分彆是多項式、行列式、綫性方程組、矩陣、二次型、綫性空間、綫性變換、λ-矩陣、歐幾裏得空間，每章包括知識點歸納與要點解析、典型例題、精選習題三部分內容。兩個附錄分彆為精選習題提示及參考答案、大學生數學競賽試題及參考答案。

幾何、拓撲與微分：現代數學的基石 第一章 歐幾裏得空間中的幾何基礎 本捲聚焦於經典歐幾裏得幾何在更高維度空間的自然延伸與抽象化。我們將從嚮量空間的基本概念入手，係統闡述 $mathbb{R}^n$ 上的內積、範數以及它們所誘導的幾何結構。重點討論施密特正交化過程、正交基的構造，以及正交變換（如鏇轉和反射）在保持距離和角度方麵的核心作用。 隨後，我們將深入探討綫性映射在幾何上的具體錶現，特彆是正交矩陣的性質及其與正交群 $O(n)$ 的關係。矩陣的奇異值分解（SVD）將被引入，用以揭示任意綫性變換在正交基下的“最佳”分解形式，即拉伸與鏇轉的組閤。這不僅是理解綫性代數深層結構的鑰匙，也是數據降維和圖像處理等應用領域的理論基礎。 幾何直觀的建立是本章的重中之重。我們將通過低維度的例子（如平麵與三維空間）逐步提升到 $n$ 維的抽象視角，確保讀者對距離、夾角、投影等基本概念在任意有限維實嚮量空間中的精確把握。 第二章 綫性代數在應用中的深化 本章將綫性代數的核心工具從純粹的代數運算提升到對實際問題的建模層麵。我們將詳細剖析特徵值與特徵嚮量的物理和幾何意義。不僅僅是計算它們，更重要的是理解它們如何描述係統的固有模式——例如，微分方程中的穩定態、振動係統中的主頻率，或者圖論中的中心性度量。 二次型與矩陣的二次可積形式將作為本章的核心內容之一。我們將介紹如何通過正交相似變換將任意二次型化為對角形式，從而揭示二次麯麵（如橢球麵、雙麯麵）的本質結構。這部分內容與最優化理論中的 Hessian 矩陣分析緊密相關。 此外，我們將引入泛函分析的萌芽概念，探討有限維嚮量空間上的綫性算子的譜理論。這為後續理解無限維空間中的算子理論（如希爾伯特空間）打下堅實的基礎。我們將對比不同類型的矩陣分解（LU, QR, Cholesky）在數值穩定性和計算效率上的優劣，並討論它們在最小二乘問題求解中的關鍵地位。 第三章 流形與微分幾何的初探 本章開始嚮更精細的幾何結構過渡，引入局部歐幾裏得空間的思想——微分流形。流形是現代幾何學的核心對象，它允許我們將微積分的工具應用到彎麯的空間上。 首先，我們將嚴格定義拓撲流形，討論開集、基、拓撲結構以及相容的坐標圖冊（Atlas）。重點闡述光滑性（可微性）的要求，以及在不同坐標係之間進行坐標變換的規則，這直接引齣瞭雅可比矩陣在流形上的作用。 接著，本章將引入切空間的概念。切空間被定義為流形上某一點的所有可能“速度嚮量”構成的嚮量空間，它是局部的綫性化工具。我們將展示如何通過微分映射將切空間結構從一個流形傳遞到另一個流形。 嚮量場作為定義在流形上且取值為對應點切空間的嚮量的函數，將被詳細研究。我們隨後會介紹李導數和流的概念，這是理解流形上微分動力係統的關鍵工具。 第四章 基礎拓撲學：連續性的抽象錶達 在深入研究光滑結構之前，理解“接近”和“連續”的抽象概念至關重要。本章緻力於構建一套嚴謹的拓撲學基礎。 我們將從度量空間開始，迴顧距離函數如何生成拓撲結構。然後，我們抽象化這一結構，引入拓撲空間的正式定義：開集的集閤。我們將詳細討論開集、閉集、鄰域、邊界、內部和閉包等基本拓撲概念，並證明它們在任意拓撲空間中都成立的普適性質。 本章將深入探討拓撲空間中的連續函數定義，並證明它與度量空間中的 $epsilon-delta$ 定義是兼容的。緊緻性（Compactness）和連通性（Connectedness）是拓撲學中最重要的兩個性質。我們將利用開覆蓋來定義緊緻性，並證明在 $mathbb{R}^n$ 中， Heine-Borel 定理如何將緊緻性與有界閉集等價起來。連通性的概念將通過路徑連通性來直觀闡釋。 最後，我們將討論商拓撲的構造，這是一種在已有拓撲空間上構建新拓撲空間的重要方法，它在描述如圓環、球麵等“粘閤”結構時具有不可替代的作用。 第五章 嚮量叢與縴維叢的概念 本章將第零章的切空間提升到一個更普遍的框架——嚮量叢。嚮量叢是現代微分幾何和代數拓撲中處理幾何結構之間關係的核心工具。 我們將首先定義縴維叢的結構，包括底空間、縴維、總空間以及投影映射。以切叢為例，說明局部平凡性如何允許我們將一個彎麯空間的局部結構視為歐幾裏得空間的“平坦”拼接。 我們將詳細考察嚮量叢的構造方法，特彆是如何通過一個空間（如流形）上的一個群（如一般綫性群 $GL(n)$）的陪集空間來定義主叢。嚮量叢與主叢之間的關係（通過選擇截麵）將被清晰闡明。 本章的重點將落在截麵（Section）的概念上，一個截麵是將底空間中的每一點映射到對應縴維中的一個嚮量的函數。嚮量場（在切叢的意義下）即是光滑截麵。我們還會引入叢的同態（Morphism of Bundles），為後續的陳類理論奠定必要的代數基礎。 第六章 微分形式與外代數 本章旨在將綫性代數中的行列式概念推廣到更高階的結構，並引入微分幾何中最重要的積分工具——微分形式。 我們將從張量積開始，定義對稱張量和反對稱張量。反對稱張量在 $k$ 階形成的外積空間（或稱為楔積空間） $igwedge^k V^$ 是定義微分形式的代數基礎。我們將討論楔積的反對稱性 $(omega wedge eta = - eta wedge omega)$ 及其與行列式的聯係。 在流形上，微分 $k$-形式被定義為光滑地取值為 $k$ 階外代數的截麵。我們將詳細研究 0-形式（光滑函數）、1-形式（綫性泛函的推廣）以及 2-形式。 最後，我們將定義外導數（Exterior Derivative）$d$，它是一個作用於 $k$-形式並將其映射到 $(k+1)$-形式的算子。外導數是梯度、鏇度、散度在任意維度流形上的統一推廣。我們將證明其關鍵性質 $d^2 = 0$，並簡要介紹德拉姆上同調的初步思想，即如何利用 $d^2=0$ 來區分“洞”的存在。

評分☆☆☆☆☆

最近在朋友的推薦下，我瞭解到一本名為《高等代數選講》的書。雖然我尚未有幸拜讀其全貌，但僅從書名，我就已經對其充滿瞭期待。我總覺得，數學的美，體現在它抽象的符號背後所蘊含的深刻含義，以及它能夠以一種極其簡潔的方式，描述宇宙萬物的運行規律。而“高等代數”，更是將這種抽象與規律推嚮瞭一個新的高度。我猜想，這本書的“選講”二字，意味著它將選取高等代數中最精華、最具代錶性的部分進行闡述，而不是麵麵俱到。我期待書中能夠深入剖析諸如群論、環論、域論等抽象代數的核心概念，並能清晰地展示這些概念是如何相互聯係，以及它們在現代數學中的重要地位。我希望通過閱讀這本書，能夠對代數這門學科有一個更全麵、更深入的理解，並從中體會到數學的嚴謹與優雅。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學有著濃厚興趣的業餘愛好者，我總是在尋找能夠拓展我數學視野的讀物。當我在書店的數學專區看到《高等代數選講》時，我的目光立刻被它吸引住瞭。這個書名本身就充滿瞭探索的意味，它暗示著這本書將帶領讀者超越基礎代數的範疇，去領略更加廣闊和深刻的數學世界。我期待這本書能夠清晰地闡釋高等代數中的核心概念，比如那些關於嚮量空間、綫性變換、矩陣理論以及更抽象的代數結構（如群、環、域）的理論。我希望作者能夠以一種既嚴謹又不失啓發性的方式，來引導讀者理解這些概念的本質。尤其是我對那些能夠揭示數學內在統一性和深刻聯係的理論特彆感興趣，我希望通過這本書，我能夠更好地理解不同代數概念之間的融會貫通，以及它們在解決各種數學問題中所展現齣的強大力量。

評分☆☆☆☆☆

我一直對數學這門學科充滿好奇，尤其對那些看似晦澀難懂的抽象概念著迷。最近，我偶然翻閱瞭一本名為《高等代數選講》的書，雖然我尚未深入鑽研其具體內容，但僅憑其書名和大緻的編排，就足以勾起我強烈的求知欲。我總覺得，數學的美妙之處在於它能夠以一種嚴謹而優雅的方式，揭示宇宙深層的規律。這本書的名字暗示著它將帶領讀者進入一個更加高級的代數領域，那裏可能充滿瞭群論、環論、域論等令人著迷的課題。我尤其期待書中能夠清晰地闡述這些抽象概念的定義、性質以及它們之間的相互聯係。我相信，通過作者的“選講”，一定能提煉齣代數中最核心、最精妙的部分，讓我得以窺見這個領域的冰山一角，並為我今後更深入的學習打下堅實的基礎。我設想，書中或許會通過一些經典的例子和精心設計的習題，來幫助我理解那些復雜的理論。這種“選講”的方式，比起麵麵俱到的教科書，更能抓住重點，激發興趣，讓我不會在浩瀚的知識海洋中迷失方嚮。

評分☆☆☆☆☆

我對數學的喜愛，更多的是源於它那種邏輯嚴謹、層層遞進的魅力。《高等代數選講》這個書名，在我看來，就像是一張通往數學深處神秘領域的藏寶圖。我推測，這本書並非旨在全麵教授高等代數的所有分支，而是像一位經驗豐富的嚮導，帶領讀者精選那些最重要、最能體現高等代數思想精髓的章節。我熱切地希望，書中能夠深入講解那些構建現代數學大廈的基石性理論，例如綫性代數中的一些更高級的主題，比如特徵值與特徵嚮量的深刻內涵，或者對各種代數結構的分類和性質的細緻探討。我憧憬著，作者能夠用清晰的語言，輔以恰當的例子，將那些復雜的數學思想生動地呈現在我麵前，讓我不僅僅是記住公式，更能理解公式背後的邏輯和思想。

評分☆☆☆☆☆

最近在書架上看到一本《高等代數選講》，光是這個書名就讓人感覺充滿瞭學術氣息，仿佛在訴說著一場關於數的精妙舞蹈。我一直認為，數學知識的學習，就像攀登一座高峰，每一步都需要紮實的基礎和清晰的指引。這本書的“選講”二字，讓我猜測它並非一本包羅萬象的百科全書，而是經過精心挑選、提煉齣的精華。我猜想，書中可能不會涉及初等代數的所有繁枝末節，而是著重於講解那些在高等數學中扮演關鍵角色的概念和理論。比如，我個人對抽象代數中的結構性思想特彆感興趣，比如群的對稱性，環的運算規則，域的擴張等等。我希望這本書能夠以一種非常直觀易懂的方式，介紹這些概念是如何被構建起來的，它們各自的獨特之處在哪裏，以及它們是如何在解決更復雜數學問題中發揮作用的。也許書中會用一些生動形象的比喻，或者引人入勝的曆史故事，來為這些抽象的理論增添趣味，讓學習的過程不再枯燥乏味。