Hamilton-Cayley定理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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刘培杰数学工作室 著

图书标签:

• 代数
• 矩阵
• 图论
• 抽象代数
• 定理
• 数学
• 高等代数
• 线性代数
• Cayley定理
• Hamilton定理

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560366975

版次：1

商品编码：12361968

包装：精装

开本：16

出版时间：2017-07-01

用纸：胶版纸

编辑推荐

本书可供从事这一数学分支或相关学科的数学工作者、大学生以及数学爱好者研读。

内容简介

本书详细介绍了哈密顿-凯莱定理的相关知识。全书共分为五章，分别为：引言、基础篇、应用篇、人物篇与进一步的讨论。在附录中详细介绍了哈密尔顿-凯莱定理的另一证法。

目录

目录

第1章 引言

第2章 基础篇

第3章 应用篇

第4章 人物篇

第5章 进一步的讨论

附录 哈密尔顿-凯莱定理的另一证法

参考文献

《矩阵代数与线性变换的精妙交织》 图书简介 本书旨在为读者构建一座坚实的桥梁，连接纯粹的线性代数理论与矩阵运算的实际应用，深入剖析线性空间、向量变换以及矩阵结构之间的内在联系。本书的视角超越了对基础行列式和逆矩阵计算的机械性记忆，而是致力于揭示矩阵作为一种描述线性映射的强大工具所蕴含的深层数学美学。 第一部分：线性空间与基础结构 本书的开篇将从线性代数的基石——向量空间——出发。我们将详细探讨域（Field）的概念及其在构建向量空间中的关键作用，重点分析实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 下向量空间的特性。随后，我们将深入研究子空间（Subspaces）、线性无关性（Linear Independence）、基（Basis）和维数（Dimension）等核心概念。我们将展示如何通过选择恰当的基来简化对向量空间中元素的描述，并探讨基变换如何影响坐标的表示。书中特别强调了直和（Direct Sum）的概念，阐释其在分解复杂空间结构时的重要性，并引入商空间（Quotient Space）的构造，以理解共性与差异的数学表达。 第二部分：线性映射与矩阵表示 本部分是全书的核心，专注于线性变换（Linear Transformation）——即保持向量空间结构不变的映射。我们将严格定义线性映射，并证明任何有限维向量空间之间的线性映射都可以被一个唯一的矩阵所代表，这取决于所选定的源空间和目标空间的基。本书详尽阐述了相似变换（Similarity Transformation）的意义，即改变基如何导致矩阵表示的变化，而本质的线性操作保持不变。读者将学会如何根据不同的应用场景（例如，从一个基到另一个基的转换）构造和解释这些表示矩阵。我们还将介绍核空间（Kernel，或零空间 Null Space）和像空间（Image，或值域 Range），并通过秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）来统一描述线性映射的“输入冗余”与“输出维度”。 第三部分：矩阵的结构分解 为了更好地理解矩阵所代表的线性变换的内在几何性质，本书投入大量篇幅讨论矩阵的结构分解。我们将系统地引入特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的概念，它们是理解矩阵动力学行为的关键。书中不仅提供了计算这些值的标准方法，更重要的是解释了它们在描述变换“不变方向”上的几何意义。 随后，我们将进入对角化（Diagonalization）的主题。本书将明确指出并非所有矩阵都可对角化，并探讨可对角化的充要条件，这与特征向量的完备性直接相关。对于不可对角化的矩阵，我们将引入更具普适性的工具——Jordan标准型（Jordan Canonical Form）。我们详细阐述了如何通过初等行列式因子（Elementary Divisors）和不变因子（Invariant Factors）来确定一个矩阵在相似变换下的唯一标准形式。这一部分将展示，即使在最复杂的情况下，通过系统的分解，矩阵结构也能被还原为最简洁的“块状”形式。 第四部分：内积空间与正交性 本书的第四部分将向量空间提升到内积空间（Inner Product Spaces）的层次，从而引入长度、角度和正交性等几何概念。我们将定义内积，并基于内积构建欧几里得空间（Euclidean Spaces）和酉空间（Unitary Spaces）。施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization）将被作为核心工具，用于从任意基构造一组正交基或标准正交基。这极大地简化了投影、最小二乘近似以及傅里叶分析等问题的处理。 对于线性算子（Linear Operators）在内积空间上的推广，本书将深入探讨伴随算子（Adjoint Operators）的概念，并详细分析正规算子（Normal Operators）、酉算子（Unitary Operators）和自伴算子（Self-Adjoint/Hermitian Operators）的特殊性质。特别是对于实数域上的对称矩阵和复数域上的厄米特矩阵，我们将证明它们总可以被正交相似对角化，这在量子力学和优化问题中具有根本性的意义。 第五部分：多线性代数基础 最后，本书将探讨超越单一线性映射的结构——多线性形式。我们将介绍张量（Tensors）的概念，并以最基础的双线性形式（Bilinear Forms）和二次型（Quadratic Forms）开始。读者将学会如何使用矩阵来表示这些形式，并通过合同变换（Congruence Transformations）来研究它们的规范形式。惯性定律（Sylvester's Law of Inertia）将被用来描述二次型在不同坐标系下的不变性质。本书将以行列式的深刻理解收尾，将其视为一种具有高度对称性的多线性函数，而非仅仅是一个计算工具，从而回归到对线性变换整体作用的洞察。 本书的撰写风格严谨而清晰，旨在培养读者对线性结构进行抽象思考的能力，使其能够灵活运用所学知识解决工程、物理学以及高级数学中的复杂问题。全书穿插了大量的几何解释和精心设计的例题，以确保理论的直观性和可操作性。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我购买这本书的动机有些特别。我是一名正在攻读计算机科学博士的学生，研究方向涉及算法分析和图论。最近在研究某个复杂算法的复杂度时，无意中接触到了Hamilton-Cayley定理的身影，它似乎是解决某个核心问题的关键。然而，我对这个定理的了解仅限于其名称，对其具体内容和证明方法一无所知。这本书的出现，就像在迷雾中看到了一丝曙光。我尤其关注书中是否能提供一些与计算数学相关的应用案例，例如在数值分析、优化算法或者编码理论中，Hamilton-Cayley定理是如何发挥作用的。我希望这本书的语言风格能够相对通俗一些，毕竟我不是数学专业的科班出身，虽然有一定的数学基础，但如果能避免过于晦涩的术语，或者能提供必要的背景知识铺垫，那将对我更好地吸收内容大有裨益。我期待书中能有一些图示或者直观的解释，帮助我理解定理背后的数学直觉，而不仅仅是枯燥的符号推演。如果能有关于定理的历史渊源和发展历程的介绍，也会让我对这个概念有更全面的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当朴实，但却散发着一种沉甸甸的学术气息，让我一眼就觉得它不是那种流于表面的科普读物。我一直对抽象代数和线性代数中那些看似“优雅”但又极难掌握的概念很感兴趣，而Hamilton-Cayley定理无疑是其中的佼佼者。我购买这本书的初衷，是希望能够更深入地理解这个定理的几何意义以及它在矩阵理论中的核心地位。从目录上看，本书似乎从基础概念出发，循序渐进地引导读者进入定理的证明，并且探讨了其在不同数学分支中的应用。我特别期待书中能够详细讲解定理的几种不同证明思路，比如代数方法、几何方法，甚至是利用特征多项式和最小多项式的关系来阐释。同时，我也希望书中能够涉及一些相关的进阶话题，例如对角化、若尔当标准型，以及Hamilton-Cayley定理如何影响这些概念的理解。当然，作为一本学术专著，我希望能看到严谨的数学推导，清晰的逻辑链条，以及充分的例证来巩固理解。我对这本书的期望很高，希望它能成为我深入理解Hamilton-Cayley定理的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

我是一位对数学史怀有浓厚兴趣的读者，我喜欢追溯数学概念的起源和发展脉络。Hamilton-Cayley定理，顾名思义，与两位伟大的数学家有关，这本身就充满了吸引力。我购买这本书，并非完全出于对定理本身技术细节的钻研，更多的是希望能够了解这个定理是如何在数学史上诞生的，以及它对后世数学发展产生了怎样的影响。我期待书中能够包含一些历史的叙述，介绍Hamilton和Cayley在各自研究领域的背景，以及他们是如何一步步推导出这个重要定理的。例如，Hamilton在四元数的研究中是否触及了该定理？Cayley在研究不变量理论时，又是如何看待这个定理的？我希望书中能有对当时数学界对这个定理的接受程度和争议的描述，以及它后来被证明和推广的过程。如果书中还能提及一些与之相关的早期研究和后续发展，以及对其他数学分支（如代数几何、表示论）的影响，那将是锦上添花。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学系的研究生，Hamilton-Cayley定理是我在本科阶段学习线性代数时就耳熟能详的一个重要结论。当时，我对这个定理的表述感到惊叹，但对其证明过程中的一些细节，尤其是关于域的扩张和模的理论，总觉得理解得不够透彻。因此，我希望通过阅读这本书，能够对Hamilton-Cayley定理有一个更深刻、更全面的认识。我特别关注书中对定理证明的严谨性和完整性。我希望作者能够详细阐述证明的每一个步骤，并解释其背后的数学原理。例如，对于那些涉及到多项式环、理想以及模的证明，我希望能有清晰的定义和解释。此外，我希望书中能够讨论Hamilton-Cayley定理的一些推广形式，以及它与其他代数结构之间的联系。例如，在交换代数或者群论中，是否有类似Hamilton-Cayley定理的结论？我对这些拓展性的内容非常感兴趣，希望能借此机会拓展我的数学视野。

评分☆☆☆☆☆

我是一个喜欢从不同角度审视数学问题的学习者。Hamilton-Cayley定理，在我看来，是一个非常有趣的“代数几何”的交汇点。我希望这本书能够提供一些不同于我以往接触到的证明方法，或者能够从更直观的角度去理解它。我尤其期待书中能够包含一些关于“代数几何”视角的解读。例如，这个定理是否可以看作是某个代数簇的性质？或者，通过向量空间的视角，它能揭示出哪些关于矩阵的几何意义？我希望书中能够有一些图示或者可视化工具来辅助理解，比如通过矩阵的特征值和特征向量来解释定理的含义。我同样对该定理的“数值稳定性”或者“计算复杂性”方面的内容感兴趣，虽然我明白这可能超出了经典数学的范畴，但如果书中能有所提及，或者能引导我思考这方面的问题，我也会感到非常欣喜。总而言之，我希望这本书能给我带来耳目一新的视角，让我对Hamilton-Cayley定理产生更深层次的理解和感悟。