Hamilton-Cayley定理 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉培傑數學工作室 著

圖書標籤:

• 代數
• 矩陣
• 圖論
• 抽象代數
• 定理
• 數學
• 高等代數
• 綫性代數
• Cayley定理
• Hamilton定理

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560366975

版次：1

商品編碼：12361968

包裝：精裝

開本：16

齣版時間：2017-07-01

用紙：膠版紙

編輯推薦

本書可供從事這一數學分支或相關學科的數學工作者、大學生以及數學愛好者研讀。

內容簡介

本書詳細介紹瞭哈密頓-凱萊定理的相關知識。全書共分為五章，分彆為：引言、基礎篇、應用篇、人物篇與進一步的討論。在附錄中詳細介紹瞭哈密爾頓-凱萊定理的另一證法。

目錄

目錄

第1章 引言

第2章 基礎篇

第3章 應用篇

第4章 人物篇

第5章 進一步的討論

附錄 哈密爾頓-凱萊定理的另一證法

參考文獻

《矩陣代數與綫性變換的精妙交織》 圖書簡介 本書旨在為讀者構建一座堅實的橋梁，連接純粹的綫性代數理論與矩陣運算的實際應用，深入剖析綫性空間、嚮量變換以及矩陣結構之間的內在聯係。本書的視角超越瞭對基礎行列式和逆矩陣計算的機械性記憶，而是緻力於揭示矩陣作為一種描述綫性映射的強大工具所蘊含的深層數學美學。 第一部分：綫性空間與基礎結構 本書的開篇將從綫性代數的基石——嚮量空間——齣發。我們將詳細探討域（Field）的概念及其在構建嚮量空間中的關鍵作用，重點分析實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 下嚮量空間的特性。隨後，我們將深入研究子空間（Subspaces）、綫性無關性（Linear Independence）、基（Basis）和維數（Dimension）等核心概念。我們將展示如何通過選擇恰當的基來簡化對嚮量空間中元素的描述，並探討基變換如何影響坐標的錶示。書中特彆強調瞭直和（Direct Sum）的概念，闡釋其在分解復雜空間結構時的重要性，並引入商空間（Quotient Space）的構造，以理解共性與差異的數學錶達。 第二部分：綫性映射與矩陣錶示 本部分是全書的核心，專注於綫性變換（Linear Transformation）——即保持嚮量空間結構不變的映射。我們將嚴格定義綫性映射，並證明任何有限維嚮量空間之間的綫性映射都可以被一個唯一的矩陣所代錶，這取決於所選定的源空間和目標空間的基。本書詳盡闡述瞭相似變換（Similarity Transformation）的意義，即改變基如何導緻矩陣錶示的變化，而本質的綫性操作保持不變。讀者將學會如何根據不同的應用場景（例如，從一個基到另一個基的轉換）構造和解釋這些錶示矩陣。我們還將介紹核空間（Kernel，或零空間 Null Space）和像空間（Image，或值域 Range），並通過秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）來統一描述綫性映射的“輸入冗餘”與“輸齣維度”。 第三部分：矩陣的結構分解 為瞭更好地理解矩陣所代錶的綫性變換的內在幾何性質，本書投入大量篇幅討論矩陣的結構分解。我們將係統地引入特徵值（Eigenvalues）和特徵嚮量（Eigenvectors）的概念，它們是理解矩陣動力學行為的關鍵。書中不僅提供瞭計算這些值的標準方法，更重要的是解釋瞭它們在描述變換“不變方嚮”上的幾何意義。 隨後，我們將進入對角化（Diagonalization）的主題。本書將明確指齣並非所有矩陣都可對角化，並探討可對角化的充要條件，這與特徵嚮量的完備性直接相關。對於不可對角化的矩陣，我們將引入更具普適性的工具——Jordan標準型（Jordan Canonical Form）。我們詳細闡述瞭如何通過初等行列式因子（Elementary Divisors）和不變因子（Invariant Factors）來確定一個矩陣在相似變換下的唯一標準形式。這一部分將展示，即使在最復雜的情況下，通過係統的分解，矩陣結構也能被還原為最簡潔的“塊狀”形式。 第四部分：內積空間與正交性 本書的第四部分將嚮量空間提升到內積空間（Inner Product Spaces）的層次，從而引入長度、角度和正交性等幾何概念。我們將定義內積，並基於內積構建歐幾裏得空間（Euclidean Spaces）和酉空間（Unitary Spaces）。施密特正交化過程（Gram-Schmidt Orthogonalization）將被作為核心工具，用於從任意基構造一組正交基或標準正交基。這極大地簡化瞭投影、最小二乘近似以及傅裏葉分析等問題的處理。 對於綫性算子（Linear Operators）在內積空間上的推廣，本書將深入探討伴隨算子（Adjoint Operators）的概念，並詳細分析正規算子（Normal Operators）、酉算子（Unitary Operators）和自伴算子（Self-Adjoint/Hermitian Operators）的特殊性質。特彆是對於實數域上的對稱矩陣和復數域上的厄米特矩陣，我們將證明它們總可以被正交相似對角化，這在量子力學和優化問題中具有根本性的意義。 第五部分：多綫性代數基礎 最後，本書將探討超越單一綫性映射的結構——多綫性形式。我們將介紹張量（Tensors）的概念，並以最基礎的雙綫性形式（Bilinear Forms）和二次型（Quadratic Forms）開始。讀者將學會如何使用矩陣來錶示這些形式，並通過閤同變換（Congruence Transformations）來研究它們的規範形式。慣性定律（Sylvester's Law of Inertia）將被用來描述二次型在不同坐標係下的不變性質。本書將以行列式的深刻理解收尾，將其視為一種具有高度對稱性的多綫性函數，而非僅僅是一個計算工具，從而迴歸到對綫性變換整體作用的洞察。 本書的撰寫風格嚴謹而清晰，旨在培養讀者對綫性結構進行抽象思考的能力，使其能夠靈活運用所學知識解決工程、物理學以及高級數學中的復雜問題。全書穿插瞭大量的幾何解釋和精心設計的例題，以確保理論的直觀性和可操作性。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計相當樸實，但卻散發著一種沉甸甸的學術氣息，讓我一眼就覺得它不是那種流於錶麵的科普讀物。我一直對抽象代數和綫性代數中那些看似“優雅”但又極難掌握的概念很感興趣，而Hamilton-Cayley定理無疑是其中的佼佼者。我購買這本書的初衷，是希望能夠更深入地理解這個定理的幾何意義以及它在矩陣理論中的核心地位。從目錄上看，本書似乎從基礎概念齣發，循序漸進地引導讀者進入定理的證明，並且探討瞭其在不同數學分支中的應用。我特彆期待書中能夠詳細講解定理的幾種不同證明思路，比如代數方法、幾何方法，甚至是利用特徵多項式和最小多項式的關係來闡釋。同時，我也希望書中能夠涉及一些相關的進階話題，例如對角化、若爾當標準型，以及Hamilton-Cayley定理如何影響這些概念的理解。當然，作為一本學術專著，我希望能看到嚴謹的數學推導，清晰的邏輯鏈條，以及充分的例證來鞏固理解。我對這本書的期望很高，希望它能成為我深入理解Hamilton-Cayley定理的得力助手。

評分☆☆☆☆☆

作為一名數學係的研究生，Hamilton-Cayley定理是我在本科階段學習綫性代數時就耳熟能詳的一個重要結論。當時，我對這個定理的錶述感到驚嘆，但對其證明過程中的一些細節，尤其是關於域的擴張和模的理論，總覺得理解得不夠透徹。因此，我希望通過閱讀這本書，能夠對Hamilton-Cayley定理有一個更深刻、更全麵的認識。我特彆關注書中對定理證明的嚴謹性和完整性。我希望作者能夠詳細闡述證明的每一個步驟，並解釋其背後的數學原理。例如，對於那些涉及到多項式環、理想以及模的證明，我希望能有清晰的定義和解釋。此外，我希望書中能夠討論Hamilton-Cayley定理的一些推廣形式，以及它與其他代數結構之間的聯係。例如，在交換代數或者群論中，是否有類似Hamilton-Cayley定理的結論？我對這些拓展性的內容非常感興趣，希望能藉此機會拓展我的數學視野。

評分☆☆☆☆☆

我是一個喜歡從不同角度審視數學問題的學習者。Hamilton-Cayley定理，在我看來，是一個非常有趣的“代數幾何”的交匯點。我希望這本書能夠提供一些不同於我以往接觸到的證明方法，或者能夠從更直觀的角度去理解它。我尤其期待書中能夠包含一些關於“代數幾何”視角的解讀。例如，這個定理是否可以看作是某個代數簇的性質？或者，通過嚮量空間的視角，它能揭示齣哪些關於矩陣的幾何意義？我希望書中能夠有一些圖示或者可視化工具來輔助理解，比如通過矩陣的特徵值和特徵嚮量來解釋定理的含義。我同樣對該定理的“數值穩定性”或者“計算復雜性”方麵的內容感興趣，雖然我明白這可能超齣瞭經典數學的範疇，但如果書中能有所提及，或者能引導我思考這方麵的問題，我也會感到非常欣喜。總而言之，我希望這本書能給我帶來耳目一新的視角，讓我對Hamilton-Cayley定理産生更深層次的理解和感悟。

評分☆☆☆☆☆

我是一位對數學史懷有濃厚興趣的讀者，我喜歡追溯數學概念的起源和發展脈絡。Hamilton-Cayley定理，顧名思義，與兩位偉大的數學傢有關，這本身就充滿瞭吸引力。我購買這本書，並非完全齣於對定理本身技術細節的鑽研，更多的是希望能夠瞭解這個定理是如何在數學史上誕生的，以及它對後世數學發展産生瞭怎樣的影響。我期待書中能夠包含一些曆史的敘述，介紹Hamilton和Cayley在各自研究領域的背景，以及他們是如何一步步推導齣這個重要定理的。例如，Hamilton在四元數的研究中是否觸及瞭該定理？Cayley在研究不變量理論時，又是如何看待這個定理的？我希望書中能有對當時數學界對這個定理的接受程度和爭議的描述，以及它後來被證明和推廣的過程。如果書中還能提及一些與之相關的早期研究和後續發展，以及對其他數學分支（如代數幾何、錶示論）的影響，那將是錦上添花。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我購買這本書的動機有些特彆。我是一名正在攻讀計算機科學博士的學生，研究方嚮涉及算法分析和圖論。最近在研究某個復雜算法的復雜度時，無意中接觸到瞭Hamilton-Cayley定理的身影，它似乎是解決某個核心問題的關鍵。然而，我對這個定理的瞭解僅限於其名稱，對其具體內容和證明方法一無所知。這本書的齣現，就像在迷霧中看到瞭一絲曙光。我尤其關注書中是否能提供一些與計算數學相關的應用案例，例如在數值分析、優化算法或者編碼理論中，Hamilton-Cayley定理是如何發揮作用的。我希望這本書的語言風格能夠相對通俗一些，畢竟我不是數學專業的科班齣身，雖然有一定的數學基礎，但如果能避免過於晦澀的術語，或者能提供必要的背景知識鋪墊，那將對我更好地吸收內容大有裨益。我期待書中能有一些圖示或者直觀的解釋，幫助我理解定理背後的數學直覺，而不僅僅是枯燥的符號推演。如果能有關於定理的曆史淵源和發展曆程的介紹，也會讓我對這個概念有更全麵的認識。