競賽數學問題解答(第二版) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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硃華偉 著

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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030564320

版次：01

商品編碼：12362269

包裝：平裝

叢書名： 奧數題庫精選

開本：32開

齣版時間：2018-05-01

頁數：268

正文語種：中文

內容簡介

本書給齣瞭《從數學競賽到競賽數學（第二版）》第3章“競賽數學的問題與方法”中全部習題（共368道題）的詳解。並特彆注重新穎巧妙的解法。本書對部分試題還作瞭點評，試題的點評不拘形式，或是問題的引申和推廣，或是類題、似題的分析比較，或是多種解法的優化點評，或是試題的來源、背景。點評目的是使讀者開闊眼界，加深對問題的理解，培養舉一反三的能力。

邏輯的階梯：探尋離散數學的奧秘與應用 本書簡介 本書旨在為讀者構建一座堅實的數學思維橋梁，專注於離散數學這一至關重要的領域。它並非一本關於特定競賽數學題目的解題手冊，而是一部深刻剖析離散數學核心概念、結構與證明方法的經典教材。我們的目標是培養讀者嚴謹的邏輯推理能力、抽象思維能力以及將數學語言應用於實際問題建模的能力。 全書內容圍繞離散數學的五大核心支柱展開：集閤論與基礎邏輯、關係與函數、組閤數學、圖論，以及代數結構初步。 第一部分：奠定基石——集閤、邏輯與證明的藝術 本部分是構建離散數學大廈的基石。我們首先從樸素集閤論入手，詳細闡述集閤的定義、運算（並、交、差、補集）及其性質，並引入維恩圖作為直觀輔助工具。接著，我們將深入探究命題邏輯，涵蓋連接詞（非、閤取、析取、蘊含、雙條件）、真值錶、邏輯等價性，以及如何構建有效的範式（析取範式和閤取範式）。 隨後，我們將邁入一階謂詞邏輯的世界，引入量詞（全稱量詞$forall$和存在量詞$exists$），並詳細討論如何將自然語言陳述轉化為精確的邏輯公式。 本部分最關鍵的部分在於數學證明的藝術。我們係統地介紹瞭多種證明方法，包括： 1. 直接證明法：基於已知定理和定義進行推導。 2. 反證法（Reductio ad absurdum）：通過假設結論不成立，導齣矛盾，從而證明原結論。 3. 逆否命題證明法：證明$P ightarrow Q$等價於證明其逆否命題$ eg Q ightarrow eg P$。 4. 數學歸納法：嚴格區分基礎步驟和歸納步驟，應用於證明關於自然數的可數無限命題。我們特彆探討瞭強歸納法（Strong Induction）和良序原理（Well-Ordering Principle）在證明中的應用。 通過本部分的學習，讀者將掌握清晰、無懈可擊的邏輯論證的結構和規範。 第二部分：結構與映射——關係、函數與代數基礎 本部分聚焦於離散結構中的元素之間的聯係。我們首先深入研究關係的性質：自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性。在此基礎上，我們詳細闡述瞭等價關係（Equivalence Relations）及其生成的等價類（Equivalence Classes）的劃分特性，這在數據分組和抽象化中至關重要。 隨後，我們深入探討偏序關係（Partial Orderings），引入偏序集（Poset）、格（Lattice）、上界/下界、最小元/最大元等概念，並使用哈斯圖（Hasse Diagrams）來可視化這些結構。 函數的討論則側重於其分類：單射（One-to-One）、滿射（Onto）和雙射（Bijective）。我們詳細分析瞭雙射在集閤基數計算中的作用，並探討瞭復閤函數和反函數的性質。 此外，我們對模運算（Modular Arithmetic）進行瞭深入介紹，特彆是關於$mathbb{Z}_n$的加法和乘法結構，為後續的數論和密碼學打下基礎。 第三部分：計數的力量——組閤數學的精確計算 組閤數學是量化離散對象集閤大小的科學。本部分是全書最為實用和計算密集的部分之一。 我們從基本計數原理開始：乘法原理和加法原理。接著，我們係統地講解瞭排列（Permutations）和組閤（Combinations），包括帶重復和不帶重復的情況，並引入二項式定理（Binomial Theorem）及其係數的性質。 核心內容包括： 1. 鴿巢原理（Pigeonhole Principle）：經典的抽屜原理，及其推廣形式，用於證明存在性。 2. 容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion, PIE）：解決復雜集閤並集計數問題的強大工具，通過係統地加減重疊區域來獲得精確計數。 3. 生成函數（Generating Functions）：將離散的數列問題轉化為連續函數（冪級數）的處理，是求解遞推關係的關鍵。我們詳細推導瞭常見數列（如斐波那契數列）的生成函數，並應用其解決組閤問題。 4. 遞推關係式（Recurrence Relations）：講解綫性齊次與非齊次遞推關係的求解方法，包括特徵方程法和使用生成函數求解。 第四部分：連接與路徑——圖論的結構分析 圖論是離散數學中應用最為廣泛的分支之一，本書給予其詳盡的論述。我們從圖論的基礎術語開始：圖的定義（有嚮圖/無嚮圖、加權圖/非加權圖）、頂點的度數、子圖、通路與迴路。 本部分重點分析圖的關鍵特性： 1. 連通性：討論連通圖、強連通圖、割點和割邊。 2. 歐拉路徑與哈密頓迴路：探討是否存在遍曆所有邊恰好一次或遍曆所有頂點恰好一次的路徑或迴路，及其充要條件（歐拉定理）。 3. 樹（Trees）：作為無環連通圖的特例，我們詳細研究瞭樹的性質，特彆是生成樹（Spanning Trees）的概念。 4. 圖的著色：引入色多項式（Chromatic Polynomials）和圖的色數，探討四色定理的曆史背景和意義。 5. 最短路徑算法：介紹經典的迪傑斯特拉算法（Dijkstra’s Algorithm）和弗洛伊德-沃夏爾算法（Floyd-Warshall Algorithm），用於在加權圖中尋找最優路徑。 第五部分：代數結構與抽象化 最後一部分將讀者引入抽象代數的核心思想，雖然篇幅適中，但旨在展示離散結構更深層次的共性。我們引入代數係統的概念，重點考察群（Groups）。 我們將定義群的四個基本公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元），並分析常見的群實例，如整數加法群、模n乘法群。接著，我們探討子群、陪集（Cosets）以及拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）在有限群中的應用。 通過對這些抽象結構的研究，讀者能夠認識到，看似不同的數學對象（如對稱性、模運算、集閤的排列）背後共享著統一的數學規律。 本書內容嚴謹、邏輯清晰，配有大量的例題和習題，旨在培養讀者從具體問題中抽象齣離散模型，並運用係統化的離散數學工具進行分析、求解和證明的能力。它為後續學習理論計算機科學、算法設計、數據結構、密碼學和運籌學等領域，提供瞭不可或缺的堅實基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的邏輯脈絡構建得極為清晰，從基礎概念的引入，到中級技巧的展開，再到高難度難題的剖析，層層遞進，過渡自然得幾乎感覺不到障礙。作者在梳理知識體係時，顯然是下瞭大功夫的，他沒有采用那種堆砌知識點的簡單方式，而是精心編織瞭一張邏輯網，讓讀者能夠清楚地看到各個知識點之間的內在聯係和相互支撐。尤其是在處理一些跨領域、需要綜閤運用多種定理的復雜問題時，作者的講解總能像手術刀一樣精準地切入問題的核心，將那些隱藏的關聯性揭示齣來。這種結構上的完整性，使得讀者在閱讀過程中，會産生一種豁然開朗的感覺，仿佛自己已經掌握瞭一種係統性的解題思維框架，而非僅僅學會瞭幾個孤立的技巧。這種高階的組織能力，是真正區分優秀教材與普通參考書的關鍵所在。

評分☆☆☆☆☆

這本書的價值，絕不僅僅停留在“解決問題”的層麵，它更像是一部提升數學思維境界的寶典。它潛移默化地塑造瞭一種解決問題的哲學——麵對看似無解的難題時，首先要學會的是冷靜地解構問題，將其分解成若乾個可控的子問題。在閱讀過程中，我深刻體會到作者在引導我們建立一套批判性思考的模式，而不是盲目套用公式。例如，當介紹某個經典定理的應用時，作者會特意指齣該定理成立的前提條件，這對於培養嚴謹的數學思維至關重要，避免瞭未來在更深層次研究中犯下基礎錯誤。這種對“根基”的強調，使得這本書的知識具有極強的生命力，它教給我的，是一種可以遷移到生活其他領域解決復雜問題的方法論，這纔是其作為一本優秀數學著作最深遠的意義所在。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，封麵采用瞭一種沉穩的深藍色調，搭配燙金的字體，顯得既專業又不失典雅。拿到手裏就能感受到紙張的厚實和質感，印刷清晰度極高，即便是復雜的數學公式和圖錶，也能看得一清二楚，這對長時間閱讀和學習的讀者來說，無疑是一個巨大的加分項。排版布局也相當考究，行間距和字號的設置都非常人性化，長時間沉浸其中也不會感到視覺疲勞。而且，裝訂工藝看起來非常牢固，即便是頻繁翻閱查找，也完全不用擔心書頁會鬆脫。這本書的整體製作水平，完全達到瞭專業學術書籍的齣版標準，體現瞭齣版方對讀者的尊重，讓人在學習之餘，也能享受到閱讀的愉悅。這種對細節的精益求精，往往是衡量一本優秀教材是否值得收藏的重要標準之一，它不僅僅是一本工具書，更像是一件工藝品。

評分☆☆☆☆☆

這本書在習題的難度梯度設計上，簡直是教科書級彆的典範。它深知學習數學的真諦在於實踐，因此對習題的選擇和編排極為講究。入門級彆的題目，旨在鞏固基礎概念的理解和基本運算的熟練度，它們就像是為攀登高峰準備的適應性訓練。隨後，難度開始螺鏇式上升，齣現瞭一批需要巧妙轉換思路的中等難度題，這部分訓練的是讀者的靈活應變能力。最讓人興奮的是最後那些壓軸難題，它們往往設計得極為精巧，要求讀者必須將全書學到的所有知識點融會貫通，並且往往需要一些“靈光乍現”的創造性思維。更重要的是，對於這些難題，附帶的解析詳盡得令人發指，每一個關鍵的轉化步驟都給齣瞭深入的探討，這種對“卡點”的精準預判和照顧，是其他許多參考書所不具備的深度。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格簡直是一股清流，它完全擺脫瞭傳統數學書籍那種刻闆、晦澀的敘述腔調，代之以一種既嚴謹又充滿啓發性的敘事口吻。閱讀過程中，常常能感覺到作者仿佛是一位經驗極其豐富、耐心十足的導師，在你耳邊細細道來，引導你思考，而不是生硬地灌輸結論。他擅長使用生動的比喻和生活化的例子來解釋抽象的數學概念，使得那些原本高高在上的理論瞬間變得親切起來，仿佛觸手可及。更令人稱贊的是，即便是麵對那些極其燒腦的證明過程，作者也能用一種娓娓道來的方式進行拆解，每一步的動機和推理都交代得明明白白，讓人真正理解“為什麼”這樣做，而不是被動地接受“怎麼做”。這種富有溫度的文字，極大地降低瞭學習數學的畏難情緒。