竞赛数学问题解答(第二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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朱华伟 著

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• 竞赛数学
• 第二版
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• 教育
• 中小学
• 数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030564320

版次：01

商品编码：12362269

包装：平装

丛书名： 奥数题库精选

开本：32开

出版时间：2018-05-01

页数：268

正文语种：中文

内容简介

本书给出了《从数学竞赛到竞赛数学（第二版）》第3章“竞赛数学的问题与方法”中全部习题（共368道题）的详解。并特别注重新颖巧妙的解法。本书对部分试题还作了点评，试题的点评不拘形式，或是问题的引申和推广，或是类题、似题的分析比较，或是多种解法的优化点评，或是试题的来源、背景。点评目的是使读者开阔眼界，加深对问题的理解，培养举一反三的能力。

逻辑的阶梯：探寻离散数学的奥秘与应用 本书简介 本书旨在为读者构建一座坚实的数学思维桥梁，专注于离散数学这一至关重要的领域。它并非一本关于特定竞赛数学题目的解题手册，而是一部深刻剖析离散数学核心概念、结构与证明方法的经典教材。我们的目标是培养读者严谨的逻辑推理能力、抽象思维能力以及将数学语言应用于实际问题建模的能力。 全书内容围绕离散数学的五大核心支柱展开：集合论与基础逻辑、关系与函数、组合数学、图论，以及代数结构初步。 第一部分：奠定基石——集合、逻辑与证明的艺术 本部分是构建离散数学大厦的基石。我们首先从朴素集合论入手，详细阐述集合的定义、运算（并、交、差、补集）及其性质，并引入维恩图作为直观辅助工具。接着，我们将深入探究命题逻辑，涵盖连接词（非、合取、析取、蕴含、双条件）、真值表、逻辑等价性，以及如何构建有效的范式（析取范式和合取范式）。 随后，我们将迈入一阶谓词逻辑的世界，引入量词（全称量词$forall$和存在量词$exists$），并详细讨论如何将自然语言陈述转化为精确的逻辑公式。 本部分最关键的部分在于数学证明的艺术。我们系统地介绍了多种证明方法，包括： 1. 直接证明法：基于已知定理和定义进行推导。 2. 反证法（Reductio ad absurdum）：通过假设结论不成立，导出矛盾，从而证明原结论。 3. 逆否命题证明法：证明$P ightarrow Q$等价于证明其逆否命题$ eg Q ightarrow eg P$。 4. 数学归纳法：严格区分基础步骤和归纳步骤，应用于证明关于自然数的可数无限命题。我们特别探讨了强归纳法（Strong Induction）和良序原理（Well-Ordering Principle）在证明中的应用。 通过本部分的学习，读者将掌握清晰、无懈可击的逻辑论证的结构和规范。 第二部分：结构与映射——关系、函数与代数基础 本部分聚焦于离散结构中的元素之间的联系。我们首先深入研究关系的性质：自反性、对称性、反对称性、传递性。在此基础上，我们详细阐述了等价关系（Equivalence Relations）及其生成的等价类（Equivalence Classes）的划分特性，这在数据分组和抽象化中至关重要。 随后，我们深入探讨偏序关系（Partial Orderings），引入偏序集（Poset）、格（Lattice）、上界/下界、最小元/最大元等概念，并使用哈斯图（Hasse Diagrams）来可视化这些结构。 函数的讨论则侧重于其分类：单射（One-to-One）、满射（Onto）和双射（Bijective）。我们详细分析了双射在集合基数计算中的作用，并探讨了复合函数和反函数的性质。 此外，我们对模运算（Modular Arithmetic）进行了深入介绍，特别是关于$mathbb{Z}_n$的加法和乘法结构，为后续的数论和密码学打下基础。 第三部分：计数的力量——组合数学的精确计算 组合数学是量化离散对象集合大小的科学。本部分是全书最为实用和计算密集的部分之一。 我们从基本计数原理开始：乘法原理和加法原理。接着，我们系统地讲解了排列（Permutations）和组合（Combinations），包括带重复和不带重复的情况，并引入二项式定理（Binomial Theorem）及其系数的性质。 核心内容包括： 1. 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）：经典的抽屉原理，及其推广形式，用于证明存在性。 2. 容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion, PIE）：解决复杂集合并集计数问题的强大工具，通过系统地加减重叠区域来获得精确计数。 3. 生成函数（Generating Functions）：将离散的数列问题转化为连续函数（幂级数）的处理，是求解递推关系的关键。我们详细推导了常见数列（如斐波那契数列）的生成函数，并应用其解决组合问题。 4. 递推关系式（Recurrence Relations）：讲解线性齐次与非齐次递推关系的求解方法，包括特征方程法和使用生成函数求解。 第四部分：连接与路径——图论的结构分析 图论是离散数学中应用最为广泛的分支之一，本书给予其详尽的论述。我们从图论的基础术语开始：图的定义（有向图/无向图、加权图/非加权图）、顶点的度数、子图、通路与回路。 本部分重点分析图的关键特性： 1. 连通性：讨论连通图、强连通图、割点和割边。 2. 欧拉路径与哈密顿回路：探讨是否存在遍历所有边恰好一次或遍历所有顶点恰好一次的路径或回路，及其充要条件（欧拉定理）。 3. 树（Trees）：作为无环连通图的特例，我们详细研究了树的性质，特别是生成树（Spanning Trees）的概念。 4. 图的着色：引入色多项式（Chromatic Polynomials）和图的色数，探讨四色定理的历史背景和意义。 5. 最短路径算法：介绍经典的迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s Algorithm）和弗洛伊德-沃夏尔算法（Floyd-Warshall Algorithm），用于在加权图中寻找最优路径。 第五部分：代数结构与抽象化 最后一部分将读者引入抽象代数的核心思想，虽然篇幅适中，但旨在展示离散结构更深层次的共性。我们引入代数系统的概念，重点考察群（Groups）。 我们将定义群的四个基本公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并分析常见的群实例，如整数加法群、模n乘法群。接着，我们探讨子群、陪集（Cosets）以及拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）在有限群中的应用。 通过对这些抽象结构的研究，读者能够认识到，看似不同的数学对象（如对称性、模运算、集合的排列）背后共享着统一的数学规律。 本书内容严谨、逻辑清晰，配有大量的例题和习题，旨在培养读者从具体问题中抽象出离散模型，并运用系统化的离散数学工具进行分析、求解和证明的能力。它为后续学习理论计算机科学、算法设计、数据结构、密码学和运筹学等领域，提供了不可或缺的坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值，绝不仅仅停留在“解决问题”的层面，它更像是一部提升数学思维境界的宝典。它潜移默化地塑造了一种解决问题的哲学——面对看似无解的难题时，首先要学会的是冷静地解构问题，将其分解成若干个可控的子问题。在阅读过程中，我深刻体会到作者在引导我们建立一套批判性思考的模式，而不是盲目套用公式。例如，当介绍某个经典定理的应用时，作者会特意指出该定理成立的前提条件，这对于培养严谨的数学思维至关重要，避免了未来在更深层次研究中犯下基础错误。这种对“根基”的强调，使得这本书的知识具有极强的生命力，它教给我的，是一种可以迁移到生活其他领域解决复杂问题的方法论，这才是其作为一本优秀数学著作最深远的意义所在。

评分☆☆☆☆☆

这本书在习题的难度梯度设计上，简直是教科书级别的典范。它深知学习数学的真谛在于实践，因此对习题的选择和编排极为讲究。入门级别的题目，旨在巩固基础概念的理解和基本运算的熟练度，它们就像是为攀登高峰准备的适应性训练。随后，难度开始螺旋式上升，出现了一批需要巧妙转换思路的中等难度题，这部分训练的是读者的灵活应变能力。最让人兴奋的是最后那些压轴难题，它们往往设计得极为精巧，要求读者必须将全书学到的所有知识点融会贯通，并且往往需要一些“灵光乍现”的创造性思维。更重要的是，对于这些难题，附带的解析详尽得令人发指，每一个关键的转化步骤都给出了深入的探讨，这种对“卡点”的精准预判和照顾，是其他许多参考书所不具备的深度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面采用了一种沉稳的深蓝色调，搭配烫金的字体，显得既专业又不失典雅。拿到手里就能感受到纸张的厚实和质感，印刷清晰度极高，即便是复杂的数学公式和图表，也能看得一清二楚，这对长时间阅读和学习的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。排版布局也相当考究，行间距和字号的设置都非常人性化，长时间沉浸其中也不会感到视觉疲劳。而且，装订工艺看起来非常牢固，即便是频繁翻阅查找，也完全不用担心书页会松脱。这本书的整体制作水平，完全达到了专业学术书籍的出版标准，体现了出版方对读者的尊重，让人在学习之余，也能享受到阅读的愉悦。这种对细节的精益求精，往往是衡量一本优秀教材是否值得收藏的重要标准之一，它不仅仅是一本工具书，更像是一件工艺品。

评分☆☆☆☆☆

这本书的逻辑脉络构建得极为清晰，从基础概念的引入，到中级技巧的展开，再到高难度难题的剖析，层层递进，过渡自然得几乎感觉不到障碍。作者在梳理知识体系时，显然是下了大功夫的，他没有采用那种堆砌知识点的简单方式，而是精心编织了一张逻辑网，让读者能够清楚地看到各个知识点之间的内在联系和相互支撑。尤其是在处理一些跨领域、需要综合运用多种定理的复杂问题时，作者的讲解总能像手术刀一样精准地切入问题的核心，将那些隐藏的关联性揭示出来。这种结构上的完整性，使得读者在阅读过程中，会产生一种豁然开朗的感觉，仿佛自己已经掌握了一种系统性的解题思维框架，而非仅仅学会了几个孤立的技巧。这种高阶的组织能力，是真正区分优秀教材与普通参考书的关键所在。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格简直是一股清流，它完全摆脱了传统数学书籍那种刻板、晦涩的叙述腔调，代之以一种既严谨又充满启发性的叙事口吻。阅读过程中，常常能感觉到作者仿佛是一位经验极其丰富、耐心十足的导师，在你耳边细细道来，引导你思考，而不是生硬地灌输结论。他擅长使用生动的比喻和生活化的例子来解释抽象的数学概念，使得那些原本高高在上的理论瞬间变得亲切起来，仿佛触手可及。更令人称赞的是，即便是面对那些极其烧脑的证明过程，作者也能用一种娓娓道来的方式进行拆解，每一步的动机和推理都交代得明明白白，让人真正理解“为什么”这样做，而不是被动地接受“怎么做”。这种富有温度的文字，极大地降低了学习数学的畏难情绪。