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伊萊亞斯M斯坦恩 著 著

圖書標籤:

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• 綫性代數
• 高等數學
• 數學教材
• 伊萊亞斯·M·斯坦
• 數學

店鋪： 義博圖書專營店

齣版社： 機械工業齣版社

ISBN：9787111552970

商品編碼：13157841612

復分析+實分析 普林斯頓分析譯叢書 微積分和綫性代數知識大全書籍

區域包郵 著

YL7167  9787111552970 9787111552963

復分析

EliasM.Stein、RamiShakarchi所著的《復分析》由在國際上享有盛譽普林斯大林頓大學教授Stein等撰寫而成，是一部為數學及相關專業大學二年級和三年級學生編寫的教材，理論與實踐並重。為瞭便於非數學專業的學生學習，全書內容簡明、易懂,讀者隻需掌握微積分和綫性代數知識。本書已被哈佛大學和加利福尼亞理工學院選為教材。

第１ 章 復分析預備知識  １

１ 復數和復平麵   １

１. １ 基本性質   １

１. ２ 收斂性   ３

１. ３ 復平麵中的集閤   ４

２ 定義在復平麵上的函數   ５

２. １ 連續函數   ５

２. ２ 全純函數   ６

２. ３ 冪級數   １０

３ 沿麯綫的積分   １３

４ 練習   １７

第２ 章 柯西定理及其應用   ２３

１ Ｇｏｕｒｓａｔ 定理   ２４

２ 局部原函數的存在和圓盤內的柯西定理   ２６

３ 一些積分估值   ２９

４ 柯西積分公式   ３２

５ 應用   ３７

５. １ Ｍｏｒｅｒａ 定理   ３７

５. ２ 全純函數列   ３７

５. ３ 按照積分定義全純函數   ３９

５. ４ Ｓｃｈｗａｒｚ 反射原理   ４０

５. ５ Ｒｕｎｇｅ 近似定理  ４２

６ 練習   ４４

７ 問題   ４７

第３ 章 亞純函數和對數   ５０

１ 零點和極點   ５１

２ 留數公式   ５４

２. １ 例子   ５５

３ 奇異性與亞純函數   ５８

４ 輻角原理與應用   ６２

５ 同倫和單連通區域   ６５

６ 復對數   ６８

７ 傅裏葉級數和調和函數   ７０

８ 練習   ７２

９ 問題   ７５

第４ 章 傅裏葉變換   ７８

１ Ｆ 類  ７９

２ 作用在 Ｆ 類上的傅裏葉變換   ８０

３ Ｐａｌｅｙ.Ｗｉｅｎｅｒ 定理   ８５

４ 練習   ９０

５ 問題   ９４

第５ 章 整函數  ９６

１ Ｊｅｎｓｅｎ 公式  ９７

２ 有限階函數   ９９

３ 無窮乘積   １０１

３. １ 一般性   １０１

３. ２ 例子 正弦函數的乘積公式   １０２

４ Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ 無窮乘積   １０４

５ Ｈａｄａｍａｒｄ 因子分解定理  １０６

６ 練習   １１０

７ 問題   １１３

第６ 章 Ｇａｍｍａ 函數和 Ｚｅｔａ 函數   １１５

１ Ｇａｍｍａ 函數  １１５

１. １ 解析延拓   １１６

１. ２ Γ 函數的性質   １１８

２ Ｚｅｔａ 函數   １２２

２. １ 泛函方程和解析延拓   １２２

３ 練習   １２７

４ 問題   １３１..........

實分析

該書是調和分析大師stein的力作，長期被普林斯頓、哈佛等眾多名校作為教材使用。總體分為測度、積分以及希爾伯特空間三部分。通過傅立葉級數的完備化、連續函數的極限、麯綫的長度、微分與積分等問題說明經典微積分的局限性；進而指齣解決以上問題的關鍵在於某種測度的存在性問題。而勒貝格測度就是這樣的測度。以此為基礎建立實分析理論。用統一、聯係的觀點看待現代分析，把現代分析的不同分支領域視為高度相互聯係而非分離的學科。通過這些聯係可以使讀者在整體上對現代分析這一學科有更好的理解。對基本概念和基本方法的來龍去脈、後續應用、主要思想的闡述非常詳盡、透徹。特彆強調瞭抽象概念的引入是為瞭解決直觀、鮮明的重要問題而非一味追求概念的推廣、深化。書中主要篇幅在於對基本概念和基本方法的說明。而幾乎沒有復雜的推導計算。這與一些定義-定理-證明的“標準”教科書寫法截然不同。該書的適用麵很廣。雖然該書包含瞭許多現代的內容，但是起點卻不高。隻要掌握初等微積分、綫性代數的基本內容即可學習此書。因此適用於數學、物理、工程金融的本科、碩士學生。對相關專業的研究人員也有重要的參考價值。

引言 

1傅裏葉級數：完備化 

2連續函數的極限 

3麯綫的長度 

4微分與積分 

5測度問題 

第1章測度論 

1預備知識 

2外測度 

3可測集與勒貝格測度 

4可測函數 

4 1定義與基本性質 

4 2用簡單函數或階梯函數逼近

4 3李特爾伍德三大原理 

5+    Brunn-Minkowski不等式 

6習題 

7問題 

第2章積分理論 

1勒貝格積分：基本性質與收斂定理

2可積函數空間F 

3  Fubini定理 

3 1定理的敘述與證明 

3 2  Fubi¨ni定理的應用 

4+  傅裏葉反演公式 

5習題 

6問題 

第3章微分與積分 

1積分的微分 

1 1  哈代一李特爾伍德極大函數 

1 2勒貝格微分定理 

2好的核與恒同逼近 

第4章希爾伯特空間簡介

第5章希爾伯特空間：幾個例子

第6章抽象測度和積分理論

1 3延拓定理 

2測度空間上的積分 

3例子 

3 1乘積測度和一般的Fubi¨ni定理 

3 2極坐標的積分公式 

33R上的博雷爾測度和勒貝格一靳蒂爾切斯積分

4測度的絕對連續性 

4 1帶號測度 

4 2絕對連續性 

5+遍曆定理 

5 1平均遍曆定理 

5 2極大遍曆定理 

5 3逐點遍曆定理 

5 4遍曆保測變換 

6+附錄：譜定理 

6 1定理的敘述 

6 2正算子 

6 3定理的證明 

6 4譜 

7習題 

8問題 

第7章豪斯多夫測度和分形 

1豪斯多夫測度 

2豪斯多夫維數 

2 1例子 

2 2自相似 

3空間填充麯綫 

3 1  四次區間和二進正方形 

3 2二進對應 

3 3佩亞諾映射的構造 

4'  Besicovitch集和正則性 

4 1拉東變換 

4 2當d≥3時集閤的正則性 

4 3 Besicovitch集有維數2 

4 4 Besicovitch集的構造 

5習題 

6問題 

注記和參考 

符號索引 

參考文獻 

現代數學的基石：解析函數與實數世界 本書旨在為讀者提供對現代數學中兩個核心分支——復分析和實分析——的深入理解。這兩個領域不僅構成瞭微積分和綫性代數等基礎學科的嚴謹數學基礎，更是物理學、工程學、計算機科學以及經濟學等眾多學科不可或缺的工具。本書將帶領讀者從基礎概念齣發，逐步探索這兩個領域的核心理論、重要定理及其廣泛應用，培養嚴謹的數學思維和解決復雜問題的能力。 第一部分：復分析——揭示復數世界的奧秘 復分析研究的是定義在復數域上的函數。復數，即形如 $a + bi$（其中 $a$ 和 $b$ 為實數，$i$ 為虛數單位，滿足 $i^2 = -1$）的數，不僅在代數上極大地豐富瞭數的概念，更在幾何和分析上展現齣獨特的魅力。 我們將從復數的幾何錶示入手，理解復數平麵上點的加法、減法、乘法和除法操作，以及模長、輻角和共軛等基本概念。隨後，我們將引入復變函數的概念，並著重研究復變函數的解析性（Holomorphicity）。解析函數是復分析的核心，它們的性質遠比實變函數豐富和優越。我們將詳細介紹柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations），這是判斷一個復變函數是否為解析函數的充要條件。 學習完解析函數的概念，我們將深入探討柯西積分定理（Cauchy Integral Theorem）和柯西積分公式（Cauchy Integral Formula）。這兩個定理是復分析的靈魂，它們揭示瞭解析函數在閉閤麯綫上的積分特性，並能用來計算函數值、導數值，甚至函數的泰勒展開。我們將通過大量的例子來理解這兩個定理的強大威力，它們能夠極大地簡化對函數性質的研究。 接著，我們將學習孤立奇點（Isolated Singularities）的概念，包括可去奇點、極點和本質奇點。針對這些奇點，我們將介紹留數定理（Residue Theorem）。留數定理是計算復積分的有力工具，更是解決許多實積分問題和工程問題（如信號處理、控製理論）的關鍵。我們將學習如何計算留數，並將其應用於計算各種類型的定積分，特彆是那些使用實數積分方法難以解決的積分。 本書還會介紹解析延拓（Analytic Continuation）的概念，它允許我們將一個函數從其初始定義域擴展到更大的域，同時保持其解析性。這一概念在數學的許多分支中都扮演著重要角色。我們還將觸及共形映射（Conformal Mapping），這是一種保持角度的變換，在流體力學、熱傳導和電場分布等問題中有著廣泛的應用。 第二部分：實分析——探尋實數世界的精細結構 實分析是對實數係統及其函數的性質進行嚴謹研究的學科。它建立在微積分的基礎上，但將其提升到瞭一個全新的抽象和嚴謹的層次。實分析是理解現代數學分析方法的核心，也是進行更高級數學學習的基礎。 我們將從集閤論（Set Theory）的基礎知識齣發，迴顧實數集閤的完備性（Completeness Axiom），這是理解實數序列和函數極限的關鍵。隨後，我們將深入探討序列（Sequences）和級數（Series）的收斂性。我們會學習各種收斂判彆法，如比值判彆法、根值判彆法、比較判彆法等，並重點研究冪級數（Power Series）的收斂半徑和收斂域，以及它們的泰勒級數和麥剋勞林級數展開，這些都是近似計算函數值和求解微分方程的重要手段。 連續性（Continuity）是實分析中的另一個核心概念。我們將從 $epsilon-delta$ 定義齣發，嚴格理解函數的連續性，並研究連續函數的性質，如介值定理（Intermediate Value Theorem）和最值定理（Extreme Value Theorem）。 微分（Differentiation）部分，我們將迴顧導數的定義，並在此基礎上深入研究高階導數、微分中值定理（Mean Value Theorem）及其各種形式，如羅爾定理（Rolle's Theorem）和拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）。我們將學習如何利用微分來分析函數的單調性、凹凸性、極值點，以及繪製函數圖像。 積分（Integration）部分，我們將從黎曼積分（Riemann Integration）的定義齣發，理解定積分的幾何意義和計算方法。在此基礎上，我們將引入勒貝格積分（Lebesgue Integration）的概念。勒貝格積分是實分析中的一個重大發展，它能夠處理比黎曼積分更廣泛的函數類，並且具有更優越的收斂性質。我們將討論勒貝格測度（Lebesgue Measure）和勒貝格積分的基本思想，理解它在概率論、泛函分析等領域中的重要性。 我們還將探討函數序列和函數項級數的一緻收斂（Uniform Convergence）。一緻收斂比逐點收斂（Pointwise Convergence）具有更強的性質，它允許我們在求極限和積分時交換運算順序，從而大大簡化瞭對函數序列和級數性質的研究。 第三部分：聯結與應用 復分析和實分析並非孤立的學科，它們之間存在著深刻的聯係，並且共同為其他科學領域提供瞭強大的數學工具。本書將通過一係列章節，將這兩個領域的知識融會貫通，並展示它們在實際問題中的應用。 例如，許多看似復雜的實積分，可以通過引入復變函數並利用復分析中的留數定理來巧妙求解。反之，實分析中的一些概念和工具，如測度論，也為理解和發展更高級的復分析理論提供瞭基礎。 本書的附錄部分還將提供對微積分和綫性代數中一些關鍵概念的復習和補充。雖然本書的重點在於復分析和實分析，但對這些基礎知識的紮實掌握是理解和深入學習本書內容的必要前提。我們將簡要迴顧極限、連續性、導數、積分、嚮量、矩陣、綫性方程組等核心概念，確保讀者能夠順利過渡到更高級的數學分析。 學習目標： 通過學習本書，讀者將能夠： 紮實掌握復數運算、復變函數及其解析性。 深入理解柯西積分定理、柯西積分公式和留數定理，並能熟練運用它們解決問題。 理解復分析在求解實積分、信號處理等領域的應用。 準確理解實數序列、級數、函數極限和連續性的嚴謹定義。 熟練運用微分和積分的各種工具分析函數性質。 初步接觸勒貝格積分和一緻收斂等現代實分析概念。 建立嚴謹的數學證明能力和分析解決問題的能力。 為進一步學習高等數學、理論物理、工程科學等領域打下堅實的基礎。 本書適閤數學專業本科生、研究生，以及對現代數學分析有濃厚興趣的工程技術人員、研究學者和高級愛好者。我們力求以清晰的邏輯、嚴謹的論證和豐富的例證，帶領讀者一同領略現代數學的深邃與魅力。

評分☆☆☆☆☆

這本書真的讓我眼前一亮，雖然我之前對數學分析類書籍總有一種“望而生畏”的感覺，但這本《包郵 復分析+實分析 普林斯頓分析譯叢書 微積分和綫性代數知識大全書籍伊萊亞斯M斯坦》卻給我帶來瞭前所未有的學習動力。開篇就深入淺齣地介紹瞭復變函數的基本概念，那些看似抽象的柯西積分定理、留數定理，在作者的筆下變得生動形象，配閤著豐富的例題和圖示，我仿佛能看到數學的內在邏輯在眼前展開。實分析的部分同樣精彩，從測度論的基礎講起，一步步構建起 Lebesgue 積分的理論框架，這對於我理解概率論和泛函分析都打下瞭堅實的基礎。書中對許多經典問題的探討，比如傅裏葉級數的一緻收斂性，都寫得非常透徹，讓我豁然開朗。而且，作者伊萊亞斯 M. 斯坦的敘述風格十分嚴謹又不失趣味，讓人在閱讀過程中絲毫不會感到枯燥。我尤其喜歡其中關於解析延拓的章節，它巧妙地將局部性質推廣到全局，展現瞭數學的強大力量。這本書絕對是我數學學習道路上的一筆寶貴財富，強烈推薦給所有想要深入理解數學分析的同學們。

評分☆☆☆☆☆

這本書的印刷質量真的沒話說，紙張和排版都很舒服，拿到手就感覺是一本“有分量”的書。內容方麵，我之前一直覺得復分析和實分析是兩個相對獨立的領域，但這本書巧妙地將它們融閤在一起，從微積分和綫性代數的基礎知識齣發，逐步引嚮更深入的數學分析。作者伊萊亞斯 M. 斯坦的講解方式非常細膩，他會充分考慮到讀者的接受能力，每一個復雜的概念都會用最淺顯易懂的方式來解釋。我特彆欣賞書中關於傅裏葉分析的章節，它將復數和積分的概念完美結閤，展現瞭數學的強大統一性。而且，書中還包含瞭很多有趣的習題，這些習題不僅能幫助我鞏固知識，還能激發我的思考。這本書就像一座寶庫，每一次翻閱都能發現新的驚喜。對於那些希望係統學習數學分析，並且對數學充滿熱情的朋友，我強烈推薦這本書。

評分☆☆☆☆☆

我一直對數學有著濃厚的興趣，尤其是那些能夠展現數學之美的分支。這次偶然間看到瞭《包郵 復分析+實分析 普林斯頓分析譯叢書 微積分和綫性代數知識大全書籍伊萊亞斯M斯坦》這本書，簡直就像發現瞭新大陸！作者伊萊亞斯 M. 斯坦的文字功底非常深厚，他能夠將一些非常抽象的概念，描繪得如此生動形象，讓我仿佛置身於數學的世界之中。復分析的部分，關於解析函數的性質，以及復積分的計算，都寫得非常精彩。我尤其喜歡書中關於映射和幾何的討論，它讓我在學習理論的同時，也能夠領略到數學的幾何美感。實分析的部分，從測度論到積分，再到函數空間，每一個環節都銜接得天衣無縫。這本書的邏輯性極強，讀起來就像是在讀一本精彩的故事書，引人入勝。對於任何熱愛數學，渴望探索數學奧秘的朋友，這本書絕對是你不容錯過的選擇。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，簡直就是為我這類數學“小白”量身定製的！以前學微積分和綫性代數的時候，總感覺知識點零散，缺乏係統性，到瞭復分析和實分析更是抓瞎。但《包郵 復分析+實分析 普林斯頓分析譯叢書 微積分和綫性代數知識大全書籍伊萊亞斯M斯坦》這本書，就像一位經驗豐富的嚮導，帶領我一步步穿越數學的叢林。它不僅僅是知識的堆砌，更重要的是，它教會瞭我如何去思考，如何去證明。書中對每個定理的推導都詳細到瞭極緻，每一個細節都經過瞭周密的考量，讓人不由自主地被這種嚴謹的邏輯所摺服。我尤其喜歡其中關於調和函數和調和分析的介紹，它將幾何直觀與代數計算巧妙結閤，讓我對函數的性質有瞭更深刻的理解。而且，書中還穿插瞭許多曆史上著名數學傢解決問題的思路，這讓我感覺不隻是在學習知識，更是在與數學的偉大靈魂對話。對於那些對數學充滿好奇，但又不知如何下手的朋友，這本書絕對是你的不二之選。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我之前對“普林斯頓分析譯叢”係列一直抱有很高的期待，而《包郵 復分析+實分析 普林斯頓分析譯叢書 微積分和綫性代數知識大全書籍伊萊亞斯M斯坦》這本書更是沒有辜負我的期望。作者伊萊亞斯 M. 斯坦的功力可見一斑，他將復變函數和實變函數這兩個龐大的學科體係，梳理得井井有條。復分析部分，從黎曼球麵到復積分，再到共形映射，每一個概念的引入都邏輯嚴密，層層遞進。我尤其喜歡他對解析函數的討論，以及由此引申齣的各種應用，比如在物理學和工程學中的體現。實分析部分，從集閤論的基礎齣發，逐步深入到測度、可測函數和積分，整個過程清晰而流暢。書中關於函數空間和積分變換的介紹，更是讓我看到瞭數學分析在更廣泛領域的應用前景。這本書的深度和廣度都令人驚嘆，對於任何想要在數學領域有所建樹的研究者來說，都是一本不可或缺的參考書。