數論-數學導引-(第2版) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

WA科佩爾 著

圖書標籤:

• 數論
• 數學導引
• 高等數學
• 數學教材
• 數學分析
• 初等數論
• 數學經典
• 數學學習
• 數學參考書
• 數學科普

店鋪： 中關村圖書大廈旗艦店

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社發行部

ISBN：9787560368092

商品編碼：25554843431

齣版時間：2018-01-01

基本信息

商品名稱： 數論-數學導引-(第2版)	齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社發行部	齣版時間：2018-01-01
作者：W.A.科佩爾	譯者：馮貝葉	開本： 16開
定價： 68.00	頁數：658	印次： 1
ISBN號：9787560368092	商品類型：圖書	版次： 1

深入解析現代計算的基石：綫性代數與矩陣理論 本書聚焦於構建和應用紮實的綫性代數基礎，是連接純粹數學理論與現代科學工程實踐的橋梁。 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入且富有洞察力的綫性代數教程，重點關注其在數據科學、機器學習、數值分析以及復雜係統建模中的核心作用。我們摒棄瞭僅僅停留在形式運算的教學方法，轉而強調幾何直覺、理論推導的嚴謹性以及實際應用中的有效性。 第一部分：嚮量空間與綫性變換的幾何直覺 本部分將綫性代數的抽象概念植根於讀者熟悉的歐幾裏得空間（$mathbb{R}^n$）的幾何直覺之上。 第一章：基礎結構——嚮量、子空間與張成 本章從嚮量的定義齣發，探討嚮量加法和標量乘法的基本運算。隨後，我們將引入綫性組閤、綫性無關性的概念，並嚴格定義嚮量子空間——包括零空間、列空間和行空間。重點在於理解這些子空間如何從根本上描述一個矩陣所代錶的變換的“輸入空間”和“輸齣空間”的本質結構。我們將通過具體的幾何例子（如平麵、直綫在三維空間中的投影）來闡述張成集與基的概念，確保讀者能將代數錶達式轉化為直觀的幾何圖像。維度的概念將作為連接這兩者的關鍵紐帶被精確定義。 第二章：綫性變換的本質與矩陣錶示 綫性變換是綫性代數的核心操作。本章將綫性變換定義為保持嚮量加法和標量乘法的函數。我們將深入探討綫性變換的核（Null Space）與像（Range），並將其與第一章中的零空間和列空間聯係起來。 至關重要的是，本章會詳述如何根據一組選定的基，將抽象的綫性變換轉化為具體矩陣的錶示。我們將仔細分析基變換（Change of Basis）的原理，解釋為什麼矩陣的錶示形式依賴於所選擇的坐標係，以及如何通過相似變換保持變換本身的固有性質不變。矩陣的秩-零化度定理將作為理解信息流和冗餘性的核心工具被深入剖析。 第二部分：求解與分解——綫性係統的核心方法 本部分側重於如何高效、精確地求解綫性方程組，並介紹分解技術，這是數值計算和優化算法的基石。 第三章：高斯消元法與矩陣的代數分解 高斯消元法（Gaussian Elimination）不僅僅是一種求解算法，更是揭示矩陣結構的重要工具。本章詳細講解行階梯形和簡化行階梯形（RREF）的計算過程，並證明其唯一性。我們著重分析該算法如何係統性地揭示方程組的解的存在性與解集的結構（自由變量與基本變量）。 隨後，我們將利用消元過程來係統地推導齣LU分解（Lower-Upper Decomposition）。LU分解作為一種高效的矩陣存儲和求解方案，其計算效率和穩定性將被詳細討論。對於涉及行交換的情況，我們將引入PA=LU的更一般形式。 第四章：內積空間與正交性 內積（或點積）為嚮量空間引入瞭幾何概念，如長度和角度。本章將嚮量空間推廣到更一般的內積空間，並定義瞭正交性。施密特正交化過程（Gram-Schmidt Orthogonalization）將被詳細講解，它不僅是理論上的關鍵步驟，也是許多數值方法（如QR分解）的基礎。 正交補（Orthogonal Complement）的概念將被引入，並用於闡明投影定理——這是理解最小二乘法和數據擬閤問題的關鍵。我們將展示，正交基使得許多計算（如坐標轉換）變得異常簡單。 第五章：矩陣分解的黃金標準——QR分解與最小二乘法 本章將正交性應用於實際問題。QR分解（將矩陣分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R）是數值穩定性的代名詞。我們將利用Gram-Schmidt過程以及更穩定的Householder反射等方法來構造QR分解。 緊密結閤第四章的投影定理，本章將詳盡闡述最小二乘法（Least Squares）。我們將證明，求解超定綫性係統（數據點多於變量數）的最佳近似解是通過求解法綫方程組（Normal Equations）得到的，並且展示QR分解如何提供一個更穩定、更精確的求解路徑。這部分內容對於理解迴歸分析至關重要。 第三部分：特徵分析與動力係統 本部分深入探討矩陣的內在屬性——特徵值和特徵嚮量，這是分析動態係統穩定性和矩陣函數的關鍵。 第六章：特徵值、特徵嚮量與相似性 特徵值和特徵嚮量代錶瞭綫性變換作用下“方嚮不變”的嚮量。本章將定義特徵方程，並展示如何計算特徵值和對應的特徵嚮量。我們將討論代數重數與幾何重數之間的關係，並探討缺陷矩陣（Defective Matrices）的情況。 相似性變換將被深入分析，它允許我們將復雜的矩陣轉化為更容易處理的對角形式（如果可能）。本章將強調，特徵值和特徵嚮量是矩陣的固有屬性，與所選的基無關。 第七章：對角化與矩陣函數 當一個矩陣可以被對角化時，計算矩陣的冪（$A^k$）或矩陣的指數函數（$e^A$）變得非常容易。本章將給齣對角化的充分必要條件，並詳細演示如何利用特徵分解來高效地計算矩陣冪，這在離散時間動態係統的演化分析中有著直接應用。 我們將進一步討論凱萊-哈密頓定理（Cayley-Hamilton Theorem），它不僅是理論上的裏程碑，也提供瞭一種計算矩陣多項式的方法。矩陣函數的概念將為理解微分方程的解法鋪平道路。 第八章：對稱矩陣的特權與主軸定理 對稱矩陣在物理和工程中無處不在。本章專門探討對稱矩陣的優越性質，包括其特徵值必為實數，且保證可以被正交對角化（即存在一個正交矩陣P可以對角化A）。譜定理（Spectral Theorem）將被嚴格證明，它是許多優化問題和數據壓縮方法（如PCA）的理論基礎。 本章還將介紹二次型（Quadratic Forms），並通過主成分分析（PCA）的視角，展示如何利用特徵分解來尋找數據的最佳錶示方嚮，從而實現降維。 第四部分：廣義視角——多維空間與應用前沿 本部分將視角擴展到更抽象的領域，為高階學習做準備。 第九章：多元函數與梯度下降的幾何基礎 本章將綫性代數的視角迴歸到多變量微積分。我們將闡述偏導數、梯度嚮量以及Hessian矩陣的幾何意義。Hessian矩陣作為函數在某一點的局部綫性近似的矩陣錶示，其正定性、半正定性與函數的局部極值點（鞍點、最小值、最大值）的判斷直接相關。這為深入理解優化算法的收斂性提供瞭代數工具。 第十章：張量與高階結構（選讀/擴展） 對於希望進入高級數據分析領域的讀者，本章簡要介紹瞭張量的概念，它是嚮量和矩陣的推廣。我們將探討張量積（Kronecker Product）和張量的秩的概念，並簡要介紹奇異值分解（SVD）的宏大框架。SVD作為矩陣分解的終極形式，它在處理信息論、圖像處理和推薦係統中的強大能力，將作為綫性代數在現代計算中應用廣度的有力證明。 本書的特色在於： 1. 理論與實踐的緊密結閤： 每介紹一個核心概念（如投影、正交性），都會立即展示其在最小二乘、數據擬閤或係統穩定性分析中的應用。 2. 嚴格的證明與直觀的解釋： 確保讀者不僅知道“如何做”，更要理解“為什麼”。 3. 數值穩定性考量： 在討論求解方法時，始終關注計算的穩定性和效率，為後續的數值分析課程打下基礎。 通過對這些核心主題的係統學習，讀者將能夠熟練掌握現代科學和工程計算所必需的數學語言和思維方式。

評分☆☆☆☆☆

閱讀體驗上，最讓我感到振奮的是書中豐富的習題設置。通常一本學術著作的習題部分，要麼是簡單重復課本內容的重復練習，要麼是晦澀難懂、缺乏梯度的“大魔王”級難題。然而，這本書的習題設計顯然經過瞭深思熟慮，它很好地實現瞭從易到難的平滑過渡。開篇的習題主要用於鞏固剛剛學過的定義和基本性質，確保讀者對基本功有紮實的把握；而隨著章節深入，習題的難度和復雜度也同步提升，開始要求讀者綜閤運用多個知識點，甚至需要進行一些創造性的組閤和變形纔能得齣答案。更棒的是，在一些關鍵的、具有啓發性的習題後麵，作者還附帶瞭較為詳細的提示，甚至是思路引導，這在一定程度上彌補瞭沒有老師實時指導的遺憾，有效地避免瞭讀者在遇到瓶頸時産生徹底放棄的挫敗感。這些習題是檢驗和內化知識的試金石，是真正將“閱讀”轉化為“掌握”的關鍵環節。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計非常吸引人，封麵選用瞭深邃的藍色調，搭配著簡潔而富有設計感的字體，一眼看上去就給人一種沉穩而專業的學究氣質。拿到手裏，紙張的質感也相當不錯，觸感細膩，印刷清晰，即便是復雜的公式和圖錶也展現得一覽無餘，這對長時間閱讀數學書籍來說無疑是一種享受。裝幀的結實程度也讓人放心，厚實的封麵和牢固的書脊設計，預示著它能夠經受住反復翻閱和攜帶的考驗，不用擔心頻繁使用後會散架。內頁的排版布局也極為講究，大段的文字敘述與穿插其中的數學推導保持著良好的視覺平衡，沒有齣現擁擠或留白過多的情況，使得閱讀的節奏感非常流暢。尤其是一些關鍵概念的定義和定理的闡述部分，通常會用不同的字體樣式或色塊進行突齣顯示，這一點對初學者來說非常友好，能夠迅速抓住重點，避免在復雜的數學符號海洋中迷失方嚮。整體而言，這本書在物理形態上的用心程度，已經為接下來的深入學習奠定瞭良好的心理預期。

評分☆☆☆☆☆

從一個長期學習者的角度來看，這本書最大的價值在於其“引導性”。它不僅僅是知識的搬運工，更像是一位引路人，它清晰地展示瞭數學傢們是如何思考問題的。在處理一些曆史遺留的難題時，作者並非簡單地給齣“最優解”，而是會迴顧前人的探索過程，展示那些被淘汰的、看似閤理的但最終被證僞的思路，這對於培養批判性思維至關重要。這種對“思維過程”的呈現，比單純的“結果展示”更有價值。通過跟隨作者的引導，我逐漸學會瞭如何在麵對一個陌生的數論問題時，首先界定問題的邊界，然後選擇最閤適的工具箱裏的理論武器，並嘗試構建一個可行的證明框架。這本書有效地提升瞭我獨立思考和解決問題的能力，它教會的不僅僅是“是什麼”，更是“為什麼是這樣”以及“如何達到這個結論”的方法論，這對任何想在理論研究上有所建樹的人來說，都是一筆寶貴的財富。

評分☆☆☆☆☆

這本書在內容深度的覆蓋麵上展現齣瞭驚人的廣度，它似乎不止步於停留在基礎概念的羅列，而是試圖為讀者構建一個更為宏大和統一的知識體係框架。在我翻閱的章節中，我驚喜地發現它將看似分散的理論點巧妙地串聯瞭起來，揭示瞭它們之間內在的聯係與共通之處。例如，某個章節對某個特定數論問題的探討，它不僅詳細介紹瞭最經典、最直觀的解法，還穿插瞭現代代數工具的應用，展示瞭如何用更高級的理論視角來重新審視和簡化問題。這種多層次的講解方式，極大地拓寬瞭我的視野，讓我意識到這個學科遠比我最初想象的要豐富多彩。這種內容組織上的精心設計，使得這本書不單單是一本教材，更像是一本進階參考書，即使是已經學完基礎課程的人，也能從中挖掘齣新的理解和解題思路，是那種值得放在案頭時常翻閱的工具書類型。

評分☆☆☆☆☆

這本書的行文風格，老實說，初看之下略顯“硬核”，它不像某些通俗讀物那樣處處追求親切和引導，而是直奔主題，用非常嚴謹和精確的數學語言進行闡述。對於那些已經具備一定高等數學基礎的讀者來說，這種直接的敘述方式反而是一種高效的學習途徑，因為它避免瞭不必要的“拐彎抹角”，直擊核心邏輯。作者在引入新概念時，往往會先給齣其形式化的定義，隨後再輔以一些基礎的例子來幫助理解其內涵，這種“先形式化後具象化”的路徑，極大地鍛煉瞭讀者的抽象思維能力。不過，對於剛剛接觸這個領域的“小白”而言，可能需要更多的耐心去反復咀嚼那些看似枯燥的定義。我個人的體會是，在初次閱讀某些章節時，最好準備好筆記本，將那些復雜的定理和證明步驟拆解開來，一步一步地去驗證其邏輯鏈條的完整性。這種“慢閱讀”策略，雖然費時，但能確保對底層原理的真正掌握，而不是浮光掠影地看過一遍。