数论-数学导引-(第2版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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WA科佩尔 著

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出版社： 哈尔滨工业大学出版社发行部

ISBN：9787560368092

商品编码：25554843431

出版时间：2018-01-01

基本信息

商品名称： 数论-数学导引-(第2版)	出版社： 哈尔滨工业大学出版社发行部	出版时间：2018-01-01
作者：W.A.科佩尔	译者：冯贝叶	开本： 16开
定价： 68.00	页数：658	印次： 1
ISBN号：9787560368092	商品类型：图书	版次： 1

深入解析现代计算的基石：线性代数与矩阵理论 本书聚焦于构建和应用扎实的线性代数基础，是连接纯粹数学理论与现代科学工程实践的桥梁。 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的线性代数教程，重点关注其在数据科学、机器学习、数值分析以及复杂系统建模中的核心作用。我们摒弃了仅仅停留在形式运算的教学方法，转而强调几何直觉、理论推导的严谨性以及实际应用中的有效性。 第一部分：向量空间与线性变换的几何直觉 本部分将线性代数的抽象概念植根于读者熟悉的欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）的几何直觉之上。 第一章：基础结构——向量、子空间与张成 本章从向量的定义出发，探讨向量加法和标量乘法的基本运算。随后，我们将引入线性组合、线性无关性的概念，并严格定义向量子空间——包括零空间、列空间和行空间。重点在于理解这些子空间如何从根本上描述一个矩阵所代表的变换的“输入空间”和“输出空间”的本质结构。我们将通过具体的几何例子（如平面、直线在三维空间中的投影）来阐述张成集与基的概念，确保读者能将代数表达式转化为直观的几何图像。维度的概念将作为连接这两者的关键纽带被精确定义。 第二章：线性变换的本质与矩阵表示 线性变换是线性代数的核心操作。本章将线性变换定义为保持向量加法和标量乘法的函数。我们将深入探讨线性变换的核（Null Space）与像（Range），并将其与第一章中的零空间和列空间联系起来。 至关重要的是，本章会详述如何根据一组选定的基，将抽象的线性变换转化为具体矩阵的表示。我们将仔细分析基变换（Change of Basis）的原理，解释为什么矩阵的表示形式依赖于所选择的坐标系，以及如何通过相似变换保持变换本身的固有性质不变。矩阵的秩-零化度定理将作为理解信息流和冗余性的核心工具被深入剖析。 第二部分：求解与分解——线性系统的核心方法 本部分侧重于如何高效、精确地求解线性方程组，并介绍分解技术，这是数值计算和优化算法的基石。 第三章：高斯消元法与矩阵的代数分解 高斯消元法（Gaussian Elimination）不仅仅是一种求解算法，更是揭示矩阵结构的重要工具。本章详细讲解行阶梯形和简化行阶梯形（RREF）的计算过程，并证明其唯一性。我们着重分析该算法如何系统性地揭示方程组的解的存在性与解集的结构（自由变量与基本变量）。 随后，我们将利用消元过程来系统地推导出LU分解（Lower-Upper Decomposition）。LU分解作为一种高效的矩阵存储和求解方案，其计算效率和稳定性将被详细讨论。对于涉及行交换的情况，我们将引入PA=LU的更一般形式。 第四章：内积空间与正交性 内积（或点积）为向量空间引入了几何概念，如长度和角度。本章将向量空间推广到更一般的内积空间，并定义了正交性。施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization）将被详细讲解，它不仅是理论上的关键步骤，也是许多数值方法（如QR分解）的基础。 正交补（Orthogonal Complement）的概念将被引入，并用于阐明投影定理——这是理解最小二乘法和数据拟合问题的关键。我们将展示，正交基使得许多计算（如坐标转换）变得异常简单。 第五章：矩阵分解的黄金标准——QR分解与最小二乘法 本章将正交性应用于实际问题。QR分解（将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R）是数值稳定性的代名词。我们将利用Gram-Schmidt过程以及更稳定的Householder反射等方法来构造QR分解。 紧密结合第四章的投影定理，本章将详尽阐述最小二乘法（Least Squares）。我们将证明，求解超定线性系统（数据点多于变量数）的最佳近似解是通过求解法线方程组（Normal Equations）得到的，并且展示QR分解如何提供一个更稳定、更精确的求解路径。这部分内容对于理解回归分析至关重要。 第三部分：特征分析与动力系统 本部分深入探讨矩阵的内在属性——特征值和特征向量，这是分析动态系统稳定性和矩阵函数的关键。 第六章：特征值、特征向量与相似性 特征值和特征向量代表了线性变换作用下“方向不变”的向量。本章将定义特征方程，并展示如何计算特征值和对应的特征向量。我们将讨论代数重数与几何重数之间的关系，并探讨缺陷矩阵（Defective Matrices）的情况。 相似性变换将被深入分析，它允许我们将复杂的矩阵转化为更容易处理的对角形式（如果可能）。本章将强调，特征值和特征向量是矩阵的固有属性，与所选的基无关。 第七章：对角化与矩阵函数 当一个矩阵可以被对角化时，计算矩阵的幂（$A^k$）或矩阵的指数函数（$e^A$）变得非常容易。本章将给出对角化的充分必要条件，并详细演示如何利用特征分解来高效地计算矩阵幂，这在离散时间动态系统的演化分析中有着直接应用。 我们将进一步讨论凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamilton Theorem），它不仅是理论上的里程碑，也提供了一种计算矩阵多项式的方法。矩阵函数的概念将为理解微分方程的解法铺平道路。 第八章：对称矩阵的特权与主轴定理 对称矩阵在物理和工程中无处不在。本章专门探讨对称矩阵的优越性质，包括其特征值必为实数，且保证可以被正交对角化（即存在一个正交矩阵P可以对角化A）。谱定理（Spectral Theorem）将被严格证明，它是许多优化问题和数据压缩方法（如PCA）的理论基础。 本章还将介绍二次型（Quadratic Forms），并通过主成分分析（PCA）的视角，展示如何利用特征分解来寻找数据的最佳表示方向，从而实现降维。 第四部分：广义视角——多维空间与应用前沿 本部分将视角扩展到更抽象的领域，为高阶学习做准备。 第九章：多元函数与梯度下降的几何基础 本章将线性代数的视角回归到多变量微积分。我们将阐述偏导数、梯度向量以及Hessian矩阵的几何意义。Hessian矩阵作为函数在某一点的局部线性近似的矩阵表示，其正定性、半正定性与函数的局部极值点（鞍点、最小值、最大值）的判断直接相关。这为深入理解优化算法的收敛性提供了代数工具。 第十章：张量与高阶结构（选读/扩展） 对于希望进入高级数据分析领域的读者，本章简要介绍了张量的概念，它是向量和矩阵的推广。我们将探讨张量积（Kronecker Product）和张量的秩的概念，并简要介绍奇异值分解（SVD）的宏大框架。SVD作为矩阵分解的终极形式，它在处理信息论、图像处理和推荐系统中的强大能力，将作为线性代数在现代计算中应用广度的有力证明。 本书的特色在于： 1. 理论与实践的紧密结合： 每介绍一个核心概念（如投影、正交性），都会立即展示其在最小二乘、数据拟合或系统稳定性分析中的应用。 2. 严格的证明与直观的解释： 确保读者不仅知道“如何做”，更要理解“为什么”。 3. 数值稳定性考量： 在讨论求解方法时，始终关注计算的稳定性和效率，为后续的数值分析课程打下基础。 通过对这些核心主题的系统学习，读者将能够熟练掌握现代科学和工程计算所必需的数学语言和思维方式。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格，老实说，初看之下略显“硬核”，它不像某些通俗读物那样处处追求亲切和引导，而是直奔主题，用非常严谨和精确的数学语言进行阐述。对于那些已经具备一定高等数学基础的读者来说，这种直接的叙述方式反而是一种高效的学习途径，因为它避免了不必要的“拐弯抹角”，直击核心逻辑。作者在引入新概念时，往往会先给出其形式化的定义，随后再辅以一些基础的例子来帮助理解其内涵，这种“先形式化后具象化”的路径，极大地锻炼了读者的抽象思维能力。不过，对于刚刚接触这个领域的“小白”而言，可能需要更多的耐心去反复咀嚼那些看似枯燥的定义。我个人的体会是，在初次阅读某些章节时，最好准备好笔记本，将那些复杂的定理和证明步骤拆解开来，一步一步地去验证其逻辑链条的完整性。这种“慢阅读”策略，虽然费时，但能确保对底层原理的真正掌握，而不是浮光掠影地看过一遍。

评分☆☆☆☆☆

从一个长期学习者的角度来看，这本书最大的价值在于其“引导性”。它不仅仅是知识的搬运工，更像是一位引路人，它清晰地展示了数学家们是如何思考问题的。在处理一些历史遗留的难题时，作者并非简单地给出“最优解”，而是会回顾前人的探索过程，展示那些被淘汰的、看似合理的但最终被证伪的思路，这对于培养批判性思维至关重要。这种对“思维过程”的呈现，比单纯的“结果展示”更有价值。通过跟随作者的引导，我逐渐学会了如何在面对一个陌生的数论问题时，首先界定问题的边界，然后选择最合适的工具箱里的理论武器，并尝试构建一个可行的证明框架。这本书有效地提升了我独立思考和解决问题的能力，它教会的不仅仅是“是什么”，更是“为什么是这样”以及“如何达到这个结论”的方法论，这对任何想在理论研究上有所建树的人来说，都是一笔宝贵的财富。

评分☆☆☆☆☆

这本书在内容深度的覆盖面上展现出了惊人的广度，它似乎不止步于停留在基础概念的罗列，而是试图为读者构建一个更为宏大和统一的知识体系框架。在我翻阅的章节中，我惊喜地发现它将看似分散的理论点巧妙地串联了起来，揭示了它们之间内在的联系与共通之处。例如，某个章节对某个特定数论问题的探讨，它不仅详细介绍了最经典、最直观的解法，还穿插了现代代数工具的应用，展示了如何用更高级的理论视角来重新审视和简化问题。这种多层次的讲解方式，极大地拓宽了我的视野，让我意识到这个学科远比我最初想象的要丰富多彩。这种内容组织上的精心设计，使得这本书不单单是一本教材，更像是一本进阶参考书，即使是已经学完基础课程的人，也能从中挖掘出新的理解和解题思路，是那种值得放在案头时常翻阅的工具书类型。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计非常吸引人，封面选用了深邃的蓝色调，搭配着简洁而富有设计感的字体，一眼看上去就给人一种沉稳而专业的学究气质。拿到手里，纸张的质感也相当不错，触感细腻，印刷清晰，即便是复杂的公式和图表也展现得一览无余，这对长时间阅读数学书籍来说无疑是一种享受。装帧的结实程度也让人放心，厚实的封面和牢固的书脊设计，预示着它能够经受住反复翻阅和携带的考验，不用担心频繁使用后会散架。内页的排版布局也极为讲究，大段的文字叙述与穿插其中的数学推导保持着良好的视觉平衡，没有出现拥挤或留白过多的情况，使得阅读的节奏感非常流畅。尤其是一些关键概念的定义和定理的阐述部分，通常会用不同的字体样式或色块进行突出显示，这一点对初学者来说非常友好，能够迅速抓住重点，避免在复杂的数学符号海洋中迷失方向。整体而言，这本书在物理形态上的用心程度，已经为接下来的深入学习奠定了良好的心理预期。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验上，最让我感到振奋的是书中丰富的习题设置。通常一本学术著作的习题部分，要么是简单重复课本内容的重复练习，要么是晦涩难懂、缺乏梯度的“大魔王”级难题。然而，这本书的习题设计显然经过了深思熟虑，它很好地实现了从易到难的平滑过渡。开篇的习题主要用于巩固刚刚学过的定义和基本性质，确保读者对基本功有扎实的把握；而随着章节深入，习题的难度和复杂度也同步提升，开始要求读者综合运用多个知识点，甚至需要进行一些创造性的组合和变形才能得出答案。更棒的是，在一些关键的、具有启发性的习题后面，作者还附带了较为详细的提示，甚至是思路引导，这在一定程度上弥补了没有老师实时指导的遗憾，有效地避免了读者在遇到瓶颈时产生彻底放弃的挫败感。这些习题是检验和内化知识的试金石，是真正将“阅读”转化为“掌握”的关键环节。