广义函数论 L.施瓦兹著 姚家燕译 高等教育出版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李大潜 编，姚家燕 译

图书标签:

• 数学
• 泛函分析
• 广义函数
• 分布理论
• 偏微分方程
• 施瓦兹
• 高等教育出版社
• 姚家燕
• 理论数学
• 分析学

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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040284171

商品编码：27328150093

丛书名： 广义函数论法兰西数学精品译丛

开本：16开

出版时间：2010-03-01

 

基本信息

 

书名:广义函数论

：59.00元

作者:(法)施瓦兹 著，姚家燕 译

出版社：高等教育出版社

出版日期：2010-3-1

ISBN：9787040284171

字数：400000

页码：322

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：

 

 

目录

 

译者的话
引论
章 广义函数的定义与一般性质
内容提要
§1．函数概念的推广：测度的概念
记号
测度
支集
函数与测度
在开集上的限制
§2．测度概念的推广．广义函数
偶极子
空间(D)
单位分解
拓扑空间(DK)
广义函数
广义函数与测度
§3．局部化理．广义函数的支集
在某个开集内为零的广义函数
“分片粘贴”理
广义函数的支集
§4．负广义函数
§5．各种推广
向量值广义函数
无穷可微流形上的广义函数
第二章 广义函数的求导
内容提要
§1．导数的定义
正则函数的导数
广义函数的导数
§2．求导的例子．单变量的情形(n=1)
间断函数．Heaviside函数y(x)的各阶导数
分段正则函数的各阶导数
赝函数．Hadamard所定义的有限部分
单项式赝函数
§3．求导的例子．多变量的情形
曲面上的问断函数
距离的函数
亚纯函数
双曲距离
流形上的求导
§4．广义函数的函数．单变量的情形
广义函数的函数
测度的函数
§5．广义函数的函数．多变量的情形
不依赖x1的广义函数
函数的寻求
偏导数为函数的函数
§6．多个偏导数已知的广义函数
一阶偏导数均为连续函数的广义函数
……
第三章 广义函数的拓扑空间广义函数的结构
第四章 广义函数的张量积
第五章 广义函数的乘法
第六章 卷积
第七章 Fourier变换
第八章 Laplace变换
第九章 流形上的流
参考文献
法中专业术语对照
索引
记号索引
函数空间与广义函数空间索引

 

 

内容介绍

 

本书是关于广义函数的本专著。全书共分九章。书中系统总结、高度概括了作者L．施瓦兹当年得以获得“菲尔兹奖”的主要工作。讨论了广义函数的各种基本性质、运算与变换，特别是阐明了著名的Dirac函数其实是一个测度而不是一个函数。从而为Dirac测度在量子力学以及其他学科中的广泛应用打下了坚实的数学基础。
本书含了当时与广义函数论有关的许多重要的理论和始思想。在其法文版首次出版后半个多世纪的今天仍有理论值和参考值，尤其适合于数学系高年级本科生或研究生研读。

 

泛函分析与应用：现代数学的基石 本书深入探讨了泛函分析这一现代数学分支的核心理论及其在多个科学领域的广泛应用。泛函分析，作为线性代数、拓扑学与测度论的精妙结合，为处理无限维向量空间中的问题提供了坚实的理论框架。它不仅是纯数学研究的重要工具，更是物理学、工程学、经济学等诸多应用学科不可或缺的基础。 第一部分：拓扑线性空间与基础结构 本部分旨在建立泛函分析的必要拓扑和代数基础。我们从向量空间的概念出发，逐步引入拓扑结构，构建出拓扑线性空间。重点关注局部凸性（Local Convexity）的重要性，因为凸性在变分法和优化理论中扮演着核心角色。 赋范空间与Banach空间： 引入范数（Norm）的概念，定义了完备的赋范线性空间——Banach空间。这是我们后续研究中最基本、最重要的一类空间。我们将详细分析序列收敛性、Cauchy序列的完备性，并深入探讨等距同构的概念，以理解不同Banach空间之间的结构关系。 内积空间与Hilbert空间： 紧接着，我们引入内积（Inner Product），推广了欧几里得几何的概念到无限维空间。完备的内积空间即为Hilbert空间。Hilbert空间因其优美的几何性质——存在正交基、投影定理等——成为量子力学和傅里叶分析的天然舞台。我们将详细论证Riesz表示定理，该定理揭示了Hilbert空间与其共轭空间之间深刻的内在联系。 拓扑线性算子的性质： 在引入空间结构后，我们转向研究连接这些空间的映射，即线性算子。重点分析连续性、有界性以及闭性（Closedness）。这些性质决定了算子在处理极限和逼近问题时的可行性。 第二部分：核心定理与结构理论 本部分聚焦于泛函分析的几大里程碑式的核心定理，它们是理解无限维空间线性映射行为的关键。 Banach空间中的基本定理群： 1. 开映射定理（Open Mapping Theorem）： 论述了连续的满射算子如何保持“开集”的性质。它在证明其他许多定理中起着基础性的作用。 2. 闭图像定理（Closed Graph Theorem）： 探讨了线性算子连续性与其图像（Graph）闭合性之间的关系。这提供了一种在某些情况下判断算子连续性的便捷方法，尤其当直接验证算子的范数有界性比较困难时。 3. 均匀有界原理（Uniform Boundedness Principle，或称Banach-Steinhaus定理）： 阐述了在点态有界的情况下，如何推导出算子族的一致有界性。这是处理函数序列收敛性和积分逼近问题的强大工具。 对偶空间（Dual Spaces）： 对偶空间是泛函分析中至关重要的一环。我们将详细分析Banach空间$X$的连续对偶空间$X^$的结构。对于Banach空间，对偶空间本身也是一个Banach空间。我们将区分以下几种情况： 有限维空间的对偶空间与自身同构。 $L^p$空间（$p>1$）的对偶空间与$L^q$空间的关系（通过Hölder不等式导出）。 Hilbert空间的对偶空间与自身的等距同构性（再次强调Riesz表示定理）。 Hahn-Banach定理： 这是泛函分析中最强大、最基础的扩张定理之一。它保证了在线性泛函在某个凸子集上的有界（或线性）扩张，可以推广到整个线性空间，并且可以保持相关的界限。该定理是构造特定泛函、证明分离定理以及建立对偶空间性质的理论基石。 第三部分：算子理论与谱分析 本部分将研究作用于Banach空间和Hilbert空间的线性算子的分类、性质及其解剖结构——谱理论。 有界线性算子的代数结构： 将有界线性算子构成的集合视为一个代数结构，研究其乘法、加法和伴随算子（Adjoint Operator）。对于Hilbert空间，伴随算子具有特别重要的意义，它允许我们将实数域中的共轭复数概念推广到算子层面。 谱理论的初步介绍： 谱（Spectrum）是算子理论的核心。对于一个算子$T$，其谱$sigma(T)$定义了使得$T-lambda I$不可逆的所有复数$lambda$的集合。 有界算子的谱： 详细分析有界算子的谱半径公式及其性质。 紧算子（Compact Operators）： 紧算子是无限维空间中“有限性”的近似体现。我们分析紧算子的基本性质，并引入紧算子的谱理论。对于紧算子，其谱除了零点外，只能包含可数个特征值，且这些特征值趋于零，这使得谱分析在某些应用（如常微分方程的边值问题）中变得可解。 一般线性算子（不一定有界）： 虽然有界算子在许多应用中足够，但微分算子通常是不连续的，因此需要研究闭算子和稠密定义域。我们将讨论稠密性在定义算子域和伴随算子时的重要性。 第四部分：应用与深入主题 本部分将理论知识应用于具体的数学和物理领域，并触及更高级的主题。 变分法与微分方程的泛函分析视角： Sobolev空间： 介绍 Sobolev 空间作为函数空间上的一个重要例子，它允许我们在函数未必处处可微的情况下定义弱导数（Generalized Derivatives）。这是解决偏微分方程（PDEs）边值问题的关键工具。 勒贝格积分与$L^p$空间： 深入探讨测度论的成果如何转化为强大的函数空间——$L^p$空间，这些空间是应用泛函分析的核心支撑。 拓扑度论的联系： 简要介绍如何利用泛函分析中的概念（如不动点定理）来构建拓扑度理论，这在非线性问题的存在性证明中至关重要。 其他不动点定理： 除了Banach压缩映射定理外，还将介绍Schauder不动点定理（作用于紧算子的不动点定理，用于非线性方程的解的存在性证明）和Brouwer不动点定理在有限维空间中的应用背景。 傅里叶变换与Plancherel定理： 在Hilbert空间（特别是 $L^2$空间）的背景下，重新审视傅里叶变换，并利用Plancherel定理阐明了变换的酉性，从而在能量保持的意义上理解了频率域和时域之间的等价关系。 通过对这些理论的系统学习，读者将掌握处理无限维空间中线性与非线性问题的强大分析工具，并为进一步深入研究算子代数、非线性泛函分析以及数学物理打下坚实的基础。本书的组织结构旨在从最基本的拓扑结构出发，逐步构建起复杂的算子理论，确保读者对每一步逻辑推导都有清晰的认识。

评分☆☆☆☆☆

阅读过程中，我深刻体会到这本书所蕴含的时代烙印和它对后世的影响力。虽然它诞生于一个特定的年代，其提出的某些工具或视角可能已被后续发展出的更现代的框架所部分替代或补充，但它所奠定的基础和提出的核心思想——即如何系统化地处理“不光滑”的函数——仍然是不可动摇的基石。我感觉自己仿佛在与一位数学史上的巨人对话，理解其是如何从零开始，艰难地为整个泛函分析和偏微分方程领域开辟出一条全新的、可操作的路径。这种对历史脉络的追溯，远比单纯掌握一个公式来得更有价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值不仅仅在于其理论的完备性，更在于它所展现的一种面对未知领域的科学勇气和探索精神。它要求读者必须具备高度的抽象思维能力，并且毫不畏惧于接受那些挑战直觉的反常识结论。在许多段落，作者深入挖掘了极限操作和代数结构的边界在哪里发生断裂，这迫使读者不得不重新审视自己对“函数”这个最基本概念的认知。对于正在进行相关研究，或者渴望从基础层面巩固自己理论根基的学者来说，这本书无疑是一本需要反复研读、时常翻阅的案头必备工具书，它所激发的思考深度，是碎片化学习材料无法比拟的。

评分☆☆☆☆☆

初次翻阅这本著作，最直观的感受是其逻辑结构的缜密性。作者似乎没有一处冗余的论述，每一个章节、每一个定理的引入都仿佛是经过精密的计算，水到渠成地导向下一个需要解决的问题。它不像某些入门教材那样试图用大量直观的比喻来软化概念的难度，而是直接以一种近乎手术刀般精确的方式剖析“广义函数”这一核心对象的本质。对于已经有一定数学基础的读者而言，这种直陈其理的写作风格无疑是高效且令人兴奋的，它极大地节省了理解基础框架所需的时间，可以直接奔赴理论的高深之处，探索那些在经典分析学中尚未触及的边界。

评分☆☆☆☆☆

译文的质量是决定一本外文经典能否在国内扎根的关键。姚家燕先生的翻译工作可以说是功德无量。我发现很多晦涩的德语或俄语（假定是这些语种的译本）中的微妙语境，都被精准地捕捉并用规范、严谨的中文数学语言表达了出来。例如，在处理诸如“测度”、“拓扑结构”这类与物理直觉相去甚远的词汇时，译者没有采用生硬的直译，而是选择了最符合国内数学界通用规范的表达方式，这极大地降低了非母语读者在跨越语言障碍时产生理解偏差的风险。这种对专业术语精准度的坚守，确保了知识的纯净性得以完整地传承。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和纸张质量都非常出色，拿在手里沉甸甸的，充满了经典著作的厚重感。内页排版清晰易读，即使是面对复杂的数学公式和抽象的概念，也能让人在视觉上感到一种舒畅，这对于长时间阅读理论书籍来说至关重要。出版社在印刷和装订上的用心，无疑是对原作者严谨治学态度的最好致敬。我尤其欣赏扉页上对译者姚家燕先生的介绍，让人对这部跨越语言和时代的知识传递充满了敬意。这种对细节的关注，让整个阅读体验从一开始就提升到了一个很高的层次，仿佛已经准备好进入一个严谨而深邃的数学世界，期待着与这位大师的思维进行一次深刻的对话。