高等院校素质教育通选课教材·数学模型八讲：模型 模式与文化 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

雷功炎 著

图书标签:

• 数学模型
• 素质教育
• 通选课
• 高等教育
• 教材
• 模式
• 文化
• 应用数学
• 交叉学科
• 创新思维

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301128077

版次：1

商品编码：10077269

包装：平装

开本：16开

出版时间：2007-12-01

用纸：胶版纸

页数：184

正文语种：中文

内容简介

　　本书系作者在近年来为北京大学本科生所开设的一门数学与自然科学类通选课的讲义基础上经补充、修改而成。全书共分八讲，分别讨论数学中的基本哲学问题，数学悖论的意义，对称概念与艺术和社会学的联系，叶序等生物学规律的数学表达，变分问题的简要历史和意义，作为一种数学模式的最小二乘法，概率统计方法的应用和意义等课题。本书力图从一个更为基本的观点阐明数学的本质与意义，数学与其他科学的关系；说明应如何认识、理解与把握数学。全书试图从一个与经典数学教材不同的角度讲授有关内容，强调对问题的整体理解，避免过分的形式化，当然也包含有为说明问题所必须的推导；强调把握思想而不是具体的方法和技巧。
　　本书可作为综合大学、师范院校数学与自然科学类通选课教材，也可供高等院校数学模型课程作为参考教材或辅助读物，或供高等院校其他专业师生或中学数学教师及各类工程科技人员阅读参考。

内页插图

目录

第一讲　数学模型、模式与文化
1　数学模型与数学模式
2　数学哲学基本问题及不同回答
2.1　数学哲学基本问题
2.2　数学哲学的两大流派——理性主义和经验主义
2.3　数学形态的历史演化
2.4　逻辑主义、直觉主义和形式主义——数学的真理性
2.5　如何看待数学证明？
2.6　数学发展的历史经验
3　数学与计算机科学
4　数学与艺术
参考文献

第二讲　浅谈悖论
1　悖论的三种情况
2　几个有趣的悖论
3　一个引发悖论的重要模式——自指
4　哥德尔不完全性定理的证明线索
5　图灵停机问题
6　任意大的集合基数
7　文学、美术、音乐和中国古代文献中的悖论
8　预言可能吗？
参考文献

第三讲　对称群、装饰图案、血缘关系
1　从平面几何说起
2　对称概念与群的数学定义
3　花边、壁纸、艾舍尔的画及其他
4　群与血缘关系
参考文献

第四讲　斐波那契序列及有关模型
1　斐波那契的兔子
2　花瓣的数目与叶子的排列
3　凤梨鳞片排列方式的几何描述
4　向日葵花盘上的螺线模式
5 叶序的数学物理解释，从物理考虑出发的计算机模拟
6　斐波那契序列的其他表达方式
7　斐波那契序列与游戏和魔术
附录　斐波那契序列的一个性质
参考文献

第五讲　有关生命现象的几个数学模型
1　元胞自动机的基本概念
2　康维的生命游戏
3　图灵扩散
4　关于性别比的数学讨论
参考文献

第六讲　速降线问题与变分法
1　一段有趣的历史和速降线问题
2　速降线问题的雅格布·伯努利解法
3　几何学中的海伦——速降线的奇妙性质
4　变分问题的数学讨论
4.1　速降线问题的变分提法
4.2　变分问题的其他实例
4.3　求解变分问题的途径一一欧拉方程
4.4　几点说明

5　物理学中的变分原理
6　经典变分问题的发展——控制论模型
6.1　控制论的数学模型
6.2　一个血糖含量的控制问题
附录　多变量函数积分给出的变分问题
参考文献

第七讲　从最小二乘法谈起
1　可由最小二乘法求解的问题实例
……
第八讲　驾驭偶然性
学生自拟论文题目选辑

精彩书摘

　　第一讲 数学模型、模式与文化
　　本书的首要目的是通过对若干数学模型和模式的介绍，探讨什么是数学，如何看待数学的起源和特点，如何认识数学的抽象性和逻辑严密性，如何认识数学的真理性和实践性，如何认识数学与其他人文及自然科学的关系，所涉及的模型和模式主要是作为讨论问题所必须的媒介及传达思想的载体。我们试图从一个更基本的角度，和读者一起探讨数学的本质，把握学习、研究和运用数学的关键，提高对数学的认识和素养。本书的第二个目的是在前述框架之下，尽可能介绍一些有用的数学知识，以满足部分对数学本身要求较多的读者之需要。但应说明，全书的内容都保持在基本数学知识的范围内。
　　这一讲是全书的绪论，试图讨论的主要内容是如何从整体上认识与理解数学，如何看待数学与其他学科的关系。笔者认为：要掌握数学，不仅要熟悉数学特定的内容、方法和语言，还要把握数学背后的哲学思想，养成正确的思维方式和恰当的心理状态；对数学的正确认识不仅仅是一种看法、一种知识，它直接影响我们如何学习与研究数学，追求什么样的数学。本讲的很多内容应属于数学哲学的讨论范畴，也就是说不属于数学本身，而是“关于数学”的各种说法。在一些人看来，这是一个费力不讨好的题目，英国著名数学家、剑桥分析学派的代表人物哈代（G.H.Hardy）就曾直言不讳地说过：“一个职业数学家如果发现自己在写关于数学的东西，一种忧伤之情将油然而生。数学家的职责是实干，证明新的定理，扩展数学知识，而不是津津乐道于自己或其他数学家已经做过的事情。政治家瞧不起时事评论家，画家瞧不起艺术批评家，生物学家、物理学家和数学家们通常也有类似的感情，没有比实干者对评论家的蔑视更深刻、更有理了。解释、批评、鉴赏是二等智力的活儿。”哈代宣称，他只是由于年逾花甲，不再拥有新鲜的智力和充沛的精力，无法从事充满挑战和创造活力的数学研究，才转而来写“关于数学”的文章。

前言/序言

数学建模的广阔天地：理论、应用与思维的深度探索 图书简介 本书致力于构建一座坚实的桥梁，连接抽象的数学理论与纷繁复杂的现实世界。我们深入探讨了数学建模的精髓——如何将现实问题抽象、简化，并赋予其严谨的数学框架。本书的内容不限于某一特定学科的案例，而是力求展现数学建模作为一种通用思维范式的强大生命力与普适性。 第一部分：建模的基石——思想与方法论的重塑 数学建模并非简单的公式堆砌，它首先是一种思维方式。我们从建模的基本哲学出发，探讨如何审视问题、定义目标、选择合适的工具。 1. 问题的提炼与数学语言的转换： 现实世界的问题往往是模糊的、多维度的。本部分将详细阐述如何进行“问题界定”（Problem Definition）。我们聚焦于如何从日常叙述中剥离出核心变量、约束条件和优化目标。这包括对“理想化假设”的审慎探讨——过度的简化可能导致模型失真，而过于复杂则可能使其难以求解。我们将分析常见的假设类型，如线性假设、稳态假设、均质性假设等，以及何时应该对其进行动态调整。 2. 模型构建的范式：从描述到预测： 本书系统梳理了主流的数学建模范式。我们超越了基础的回归分析，深入探讨了基于机理（Mechanistic）的建模和基于数据（Data-driven）的建模之间的辩证关系。 机理模型（First Principles Modeling）： 强调物理、化学、生物学等领域的基本定律。我们将分析微分方程（ODE/PDE）在描述系统动态变化中的核心作用，如何运用守恒定律（能量、质量、动量）来构建自洽的模型结构。 数据驱动模型（Empirical Modeling）： 在机理不易获取或过于复杂的情况下，如何利用统计学和机器学习的思想来拟合数据、提取规律。我们会讨论时间序列分析中的平稳性检验、自回归移动平均（ARMA/ARIMA）模型的构建逻辑，以及如何评估模型的泛化能力。 3. 模型求解与分析的工具箱： 一个好的模型必须是“可解”的。本部分将介绍处理不同类型模型的数学工具。 解析解的追求与局限性： 对于简单线性系统或特定非线性系统，解析解的意义不仅在于得到答案，更在于理解变量间的内在关系。我们将讨论相平面分析、线性化技术在理解系统稳定性方面的应用。 数值方法的必要性： 现实问题大多要求数值解。我们将介绍有限差分法（Finite Difference Method）在求解偏微分方程中的基本思想，以及如何选择合适的迭代算法（如牛顿法、梯度下降法）来求解大规模的代数方程组和优化问题。 第二部分：跨越学科的经典模型深度剖析 本部分将精选一系列在不同领域具有里程碑意义的模型案例，旨在展示数学建模思想的广度和深度。 1. 经济与金融中的动态优化： 我们将研究资源配置和决策制定的数学框架。这包括线性规划在生产调度和物流分配中的应用，以及更复杂的非线性优化问题。我们着重探讨如何引入随机性来描述不确定性，例如期权定价中的布莱克-斯科尔斯模型背后的随机微分方程思想，以及如何利用动态规划的思想来解决多阶段决策问题。 2. 生态与流行病学中的种群与传播： 传染病的传播模型（如 SIR 模型）是系统科学的经典范例。本部分将详细推导这些常微分方程模型，分析其基本再生数（$R_0$）的含义，并探讨如何通过引入空间维度（偏微分方程）或年龄结构来提高模型的现实拟真度。此外，捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra）将作为非线性振荡系统的典型案例进行深入剖析。 3. 工程与运筹学中的网络流与图论： 网络模型是描述相互连接系统的核心工具。我们将介绍图论的基本概念，如何利用最短路径算法（如 Dijkstra 算法）、最大流-最小割定理来解决交通规划、通信网络和供应链管理中的关键问题。重点在于如何将实际约束（如容量限制、时间窗）映射到图论的边和节点上。 4. 复杂系统中的涌现现象： 本部分探索模型如何解释复杂性。我们将引入元胞自动机（Cellular Automata）作为一种离散、局部的规则如何产生宏观的、复杂的模式（如森林火灾的蔓延、交通流的堵塞）。这将引导读者理解“涌现”（Emergence）的概念，以及这种自下而上的建模方式的独特价值。 第三部分：模型的检验、修正与伦理考量 一个模型一旦建立，工作并未结束。本部分关注的是如何将理论模型置于实践的熔炉中进行检验和优化。 1. 模型验证与不确定性分析： 如何判断一个模型是“好”的？我们详细讨论模型拟合优度的统计指标（如 $R^2$ 的局限性），以及交叉验证（Cross-validation）在评估模型泛化能力中的作用。更重要的是，我们将介绍不确定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）的方法，如蒙特卡洛模拟，用以评估输入参数微小变动对预测结果的敏感性。 2. 模型校准与迭代改进： 基于实测数据的反馈，模型参数需要被“校准”（Calibration）。我们将探讨如何利用优化算法（如最小二乘法、最大似然估计）来反演确定模型参数。模型改进是一个迭代过程，我们讨论何时应该回归到更基础的假设，何时应该引入新的变量或新的结构来解释残差。 3. 数学建模的社会责任： 我们不能脱离社会背景来谈论模型。本书最后一部分将引导读者反思建模工作可能带来的伦理后果。例如，在社会政策制定或资源分配模型中，模型的偏见（Bias）可能被嵌入决策系统，加剧不平等。因此，理解模型假设的潜在社会影响，是每一位建模者必须承担的责任。 本书旨在培养读者一种批判性的、量化的解决问题的能力，使之能够自信地面对不同领域的复杂挑战，并将数学的严谨性融入日常的决策与创新过程之中。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够“化繁为简”的工具和方法论非常感兴趣，而数学模型恰恰是其中最精妙的一种。这本书的名字，尤其是“模式”和“文化”这两个词，让我感觉它不仅仅是在教我们如何构建数学模型，更是在引导我们如何去“看见”世界。我曾经读过一些关于数据可视化和信息设计的书籍，它们都强调了“模式”在信息传达中的重要性。我猜想，这本书可能会从更宏观的层面，探讨数学模型如何帮助我们识别和理解不同层面的模式。比如，在自然界中，从斐波那契数列到分形几何，数学模型是如何揭示生命的奥秘；在社会生活中，经济模型、博弈模型又如何解释人类的行为和社会现象。而“文化”的加入，更是让这本书充满了想象空间。会不会讨论不同文化背景下的人们，对“模式”的理解和运用方式有何不同？比如，东方文化和西方文化在数学思维上是否存在差异？或者，数学模型本身是否也受到文化的影响，呈现出不同的形态？我希望这本书能够提供一些新颖的视角，让我用数学的眼光去审视我们所处的文化环境，理解数学模型在其中扮演的角色。

评分☆☆☆☆☆

这是一本非常有启发性的读物，它成功地将数学这个看似遥远的学科，与我们的生活和文化紧密地联系在了一起。我原本以为数学模型是仅限于专业研究领域的工具，但这本书让我大开眼界。它通过“八讲”的深入浅出的讲解，清晰地展示了数学模型在理解和分析各种现象时的强大作用。我尤其欣赏书中对于“模式”的探讨，它不仅包括了显而易见的数学模式，还延伸到了社会、经济、甚至艺术领域中隐藏的结构和规律。而“文化”这个维度，更是让这本书的内涵更加丰富。我能够想象，书中可能会通过丰富的案例，展示不同文化背景下，人们对数学模型是如何理解和应用的，以及数学模型本身是如何受到文化影响而演变的。这本书不仅仅是教授一种解决问题的方法，更是在培养一种观察世界、思考问题的思维方式。它让我意识到，数学模型并非是冰冷的计算，而是连接现实世界与抽象思维的桥梁，是理解万事万物背后逻辑的钥匙。我非常期待通过这本书，能够提升我分析问题、解决问题的能力，并对数学在人类文明中的作用有更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，我首先被它的装帧吸引了。纸质优良，触感温润，排版也十分舒服，字体大小适中，行间距合理，阅读起来一点都不费眼。封面设计更是巧妙，没有那种浮夸的图画，而是用一种抽象的几何图形组合，既体现了数学的严谨，又带有一丝艺术的美感。打开书页，我被扉页上的一句话深深吸引，它引用了一位著名数学家的名言，大意是数学是关于模式的科学。这句话立刻点燃了我对内容的期待。我一直对隐藏在事物背后的规律和结构感到着迷，而数学模型恰恰是揭示这些规律的强大工具。这本书的“八讲”结构，也让我觉得很有条理，可以循序渐进地学习。我尤其好奇“模型 模式与文化”这个组合，它是不是意味着这本书会从不同于以往的视角来解读数学模型？我期望它能展示数学模型在人文社科领域的应用，比如如何用模型分析经济现象、社会趋势，甚至是理解艺术作品中的构图规律。我希望这本书能为我打开一扇新的大门，让我看到数学在日常生活和更广泛的知识领域中的无限可能。

评分☆☆☆☆☆

这本书我早就想入手了，名字听起来就很有深度。“高等院校素质教育通选课教材”这个定位，说明它不是那种晦涩难懂的专业书籍，而是面向更广泛学生群体的，旨在提升整体素质的。而“数学模型八讲：模型 模式与文化”这个副标题更是点睛之笔，将数学模型这一看似枯燥的概念，与“模式”和“文化”这样更具人文色彩的词语联系起来，顿时激发了我的好奇心。我一直觉得，数学不仅仅是冰冷的数字和公式，它背后蕴含着一种思考方式，一种看待世界、分析问题的逻辑。尤其是“模式”这个词，它让我想到了生活中各种各样的规律，从自然现象到社会现象，甚至是我们自身的行为习惯，背后似乎都有着某种模式可循。而“文化”，更是将数学模型推向了一个更高的层面，它可能在探讨数学模型如何影响了人类文明的发展，或者说，不同的文化背景下，人们对模式的理解和运用又有何不同。我非常期待这本书能带领我领略数学模型在更广阔天地里的应用，不仅仅是解决具体的科学问题，更能引发对哲学、社会学甚至艺术的思考。它会不会用生动的案例来讲解抽象的数学概念？会不会将复杂的数学思想用通俗易懂的语言呈现出来？这些都是我非常期待的。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我之前对数学模型的认识仅限于一些基础的物理学和工程学应用，比如力学模型、统计模型之类的。所以当我在书店看到这本书的标题时，确实产生了一种“数学模型还可以这样玩？”的惊叹。它所提出的“模型 模式与文化”这个角度，在我看来非常有前瞻性，也非常有吸引力。“素质教育通选课教材”的定位，也让我觉得这本书的难度应该比较适中，适合我这样的非数学专业学生。我一直觉得，素质教育就是要培养我们全面发展的能力，而理解和运用数学模型，无疑是一种非常重要的逻辑思维和分析能力。我特别想知道，这本书会如何将“文化”这个概念融入到数学模型的讲解中。是会探讨不同文化对数学模型发展的贡献？还是会展示数学模型如何被不同文化所借鉴和运用？抑或是，数学模型本身就蕴含着某种普适的文化基因？我猜想，书中或许会穿插一些历史故事，介绍数学模型的发展历程，以及它在不同文明中的演变。我期待这本书能让我跳出“数学是给科学家看的”的思维定势，发现数学模型在我们认识世界、构建认知体系过程中的深刻意义。