高等院校素質教育通選課教材·數學模型八講：模型 模式與文化 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

雷功炎 著

圖書標籤:

• 數學模型
• 素質教育
• 通選課
• 高等教育
• 教材
• 模式
• 文化
• 應用數學
• 交叉學科
• 創新思維

齣版社： 北京大學齣版社

ISBN：9787301128077

版次：1

商品編碼：10077269

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2007-12-01

用紙：膠版紙

頁數：184

正文語種：中文

內容簡介

　　本書係作者在近年來為北京大學本科生所開設的一門數學與自然科學類通選課的講義基礎上經補充、修改而成。全書共分八講，分彆討論數學中的基本哲學問題，數學悖論的意義，對稱概念與藝術和社會學的聯係，葉序等生物學規律的數學錶達，變分問題的簡要曆史和意義，作為一種數學模式的最小二乘法，概率統計方法的應用和意義等課題。本書力圖從一個更為基本的觀點闡明數學的本質與意義，數學與其他科學的關係；說明應如何認識、理解與把握數學。全書試圖從一個與經典數學教材不同的角度講授有關內容，強調對問題的整體理解，避免過分的形式化，當然也包含有為說明問題所必須的推導；強調把握思想而不是具體的方法和技巧。
　　本書可作為綜閤大學、師範院校數學與自然科學類通選課教材，也可供高等院校數學模型課程作為參考教材或輔助讀物，或供高等院校其他專業師生或中學數學教師及各類工程科技人員閱讀參考。

內頁插圖

目錄

第一講　數學模型、模式與文化
1　數學模型與數學模式
2　數學哲學基本問題及不同迴答
2.1　數學哲學基本問題
2.2　數學哲學的兩大流派——理性主義和經驗主義
2.3　數學形態的曆史演化
2.4　邏輯主義、直覺主義和形式主義——數學的真理性
2.5　如何看待數學證明？
2.6　數學發展的曆史經驗
3　數學與計算機科學
4　數學與藝術
參考文獻

第二講　淺談悖論
1　悖論的三種情況
2　幾個有趣的悖論
3　一個引發悖論的重要模式——自指
4　哥德爾不完全性定理的證明綫索
5　圖靈停機問題
6　任意大的集閤基數
7　文學、美術、音樂和中國古代文獻中的悖論
8　預言可能嗎？
參考文獻

第三講　對稱群、裝飾圖案、血緣關係
1　從平麵幾何說起
2　對稱概念與群的數學定義
3　花邊、壁紙、艾捨爾的畫及其他
4　群與血緣關係
參考文獻

第四講　斐波那契序列及有關模型
1　斐波那契的兔子
2　花瓣的數目與葉子的排列
3　鳳梨鱗片排列方式的幾何描述
4　嚮日葵花盤上的螺綫模式
5 葉序的數學物理解釋，從物理考慮齣發的計算機模擬
6　斐波那契序列的其他錶達方式
7　斐波那契序列與遊戲和魔術
附錄　斐波那契序列的一個性質
參考文獻

第五講　有關生命現象的幾個數學模型
1　元胞自動機的基本概念
2　康維的生命遊戲
3　圖靈擴散
4　關於性彆比的數學討論
參考文獻

第六講　速降綫問題與變分法
1　一段有趣的曆史和速降綫問題
2　速降綫問題的雅格布·伯努利解法
3　幾何學中的海倫——速降綫的奇妙性質
4　變分問題的數學討論
4.1　速降綫問題的變分提法
4.2　變分問題的其他實例
4.3　求解變分問題的途徑一一歐拉方程
4.4　幾點說明

5　物理學中的變分原理
6　經典變分問題的發展——控製論模型
6.1　控製論的數學模型
6.2　一個血糖含量的控製問題
附錄　多變量函數積分給齣的變分問題
參考文獻

第七講　從最小二乘法談起
1　可由最小二乘法求解的問題實例
……
第八講　駕馭偶然性
學生自擬論文題目選輯

精彩書摘

　　第一講 數學模型、模式與文化
　　本書的首要目的是通過對若乾數學模型和模式的介紹，探討什麼是數學，如何看待數學的起源和特點，如何認識數學的抽象性和邏輯嚴密性，如何認識數學的真理性和實踐性，如何認識數學與其他人文及自然科學的關係，所涉及的模型和模式主要是作為討論問題所必須的媒介及傳達思想的載體。我們試圖從一個更基本的角度，和讀者一起探討數學的本質，把握學習、研究和運用數學的關鍵，提高對數學的認識和素養。本書的第二個目的是在前述框架之下，盡可能介紹一些有用的數學知識，以滿足部分對數學本身要求較多的讀者之需要。但應說明，全書的內容都保持在基本數學知識的範圍內。
　　這一講是全書的緒論，試圖討論的主要內容是如何從整體上認識與理解數學，如何看待數學與其他學科的關係。筆者認為：要掌握數學，不僅要熟悉數學特定的內容、方法和語言，還要把握數學背後的哲學思想，養成正確的思維方式和恰當的心理狀態；對數學的正確認識不僅僅是一種看法、一種知識，它直接影響我們如何學習與研究數學，追求什麼樣的數學。本講的很多內容應屬於數學哲學的討論範疇，也就是說不屬於數學本身，而是“關於數學”的各種說法。在一些人看來，這是一個費力不討好的題目，英國著名數學傢、劍橋分析學派的代錶人物哈代（G.H.Hardy）就曾直言不諱地說過：“一個職業數學傢如果發現自己在寫關於數學的東西，一種憂傷之情將油然而生。數學傢的職責是實乾，證明新的定理，擴展數學知識，而不是津津樂道於自己或其他數學傢已經做過的事情。政治傢瞧不起時事評論傢，畫傢瞧不起藝術批評傢，生物學傢、物理學傢和數學傢們通常也有類似的感情，沒有比實乾者對評論傢的衊視更深刻、更有理瞭。解釋、批評、鑒賞是二等智力的活兒。”哈代宣稱，他隻是由於年逾花甲，不再擁有新鮮的智力和充沛的精力，無法從事充滿挑戰和創造活力的數學研究，纔轉而來寫“關於數學”的文章。

前言/序言

數學建模的廣闊天地：理論、應用與思維的深度探索 圖書簡介 本書緻力於構建一座堅實的橋梁，連接抽象的數學理論與紛繁復雜的現實世界。我們深入探討瞭數學建模的精髓——如何將現實問題抽象、簡化，並賦予其嚴謹的數學框架。本書的內容不限於某一特定學科的案例，而是力求展現數學建模作為一種通用思維範式的強大生命力與普適性。 第一部分：建模的基石——思想與方法論的重塑 數學建模並非簡單的公式堆砌，它首先是一種思維方式。我們從建模的基本哲學齣發，探討如何審視問題、定義目標、選擇閤適的工具。 1. 問題的提煉與數學語言的轉換： 現實世界的問題往往是模糊的、多維度的。本部分將詳細闡述如何進行“問題界定”（Problem Definition）。我們聚焦於如何從日常敘述中剝離齣核心變量、約束條件和優化目標。這包括對“理想化假設”的審慎探討——過度的簡化可能導緻模型失真，而過於復雜則可能使其難以求解。我們將分析常見的假設類型，如綫性假設、穩態假設、均質性假設等，以及何時應該對其進行動態調整。 2. 模型構建的範式：從描述到預測： 本書係統梳理瞭主流的數學建模範式。我們超越瞭基礎的迴歸分析，深入探討瞭基於機理（Mechanistic）的建模和基於數據（Data-driven）的建模之間的辯證關係。 機理模型（First Principles Modeling）： 強調物理、化學、生物學等領域的基本定律。我們將分析微分方程（ODE/PDE）在描述係統動態變化中的核心作用，如何運用守恒定律（能量、質量、動量）來構建自洽的模型結構。 數據驅動模型（Empirical Modeling）： 在機理不易獲取或過於復雜的情況下，如何利用統計學和機器學習的思想來擬閤數據、提取規律。我們會討論時間序列分析中的平穩性檢驗、自迴歸移動平均（ARMA/ARIMA）模型的構建邏輯，以及如何評估模型的泛化能力。 3. 模型求解與分析的工具箱： 一個好的模型必須是“可解”的。本部分將介紹處理不同類型模型的數學工具。 解析解的追求與局限性： 對於簡單綫性係統或特定非綫性係統，解析解的意義不僅在於得到答案，更在於理解變量間的內在關係。我們將討論相平麵分析、綫性化技術在理解係統穩定性方麵的應用。 數值方法的必要性： 現實問題大多要求數值解。我們將介紹有限差分法（Finite Difference Method）在求解偏微分方程中的基本思想，以及如何選擇閤適的迭代算法（如牛頓法、梯度下降法）來求解大規模的代數方程組和優化問題。 第二部分：跨越學科的經典模型深度剖析 本部分將精選一係列在不同領域具有裏程碑意義的模型案例，旨在展示數學建模思想的廣度和深度。 1. 經濟與金融中的動態優化： 我們將研究資源配置和決策製定的數學框架。這包括綫性規劃在生産調度和物流分配中的應用，以及更復雜的非綫性優化問題。我們著重探討如何引入隨機性來描述不確定性，例如期權定價中的布萊剋-斯科爾斯模型背後的隨機微分方程思想，以及如何利用動態規劃的思想來解決多階段決策問題。 2. 生態與流行病學中的種群與傳播： 傳染病的傳播模型（如 SIR 模型）是係統科學的經典範例。本部分將詳細推導這些常微分方程模型，分析其基本再生數（$R_0$）的含義，並探討如何通過引入空間維度（偏微分方程）或年齡結構來提高模型的現實擬真度。此外，捕食者-獵物模型（Lotka-Volterra）將作為非綫性振蕩係統的典型案例進行深入剖析。 3. 工程與運籌學中的網絡流與圖論： 網絡模型是描述相互連接係統的核心工具。我們將介紹圖論的基本概念，如何利用最短路徑算法（如 Dijkstra 算法）、最大流-最小割定理來解決交通規劃、通信網絡和供應鏈管理中的關鍵問題。重點在於如何將實際約束（如容量限製、時間窗）映射到圖論的邊和節點上。 4. 復雜係統中的湧現現象： 本部分探索模型如何解釋復雜性。我們將引入元胞自動機（Cellular Automata）作為一種離散、局部的規則如何産生宏觀的、復雜的模式（如森林火災的蔓延、交通流的堵塞）。這將引導讀者理解“湧現”（Emergence）的概念，以及這種自下而上的建模方式的獨特價值。 第三部分：模型的檢驗、修正與倫理考量 一個模型一旦建立，工作並未結束。本部分關注的是如何將理論模型置於實踐的熔爐中進行檢驗和優化。 1. 模型驗證與不確定性分析： 如何判斷一個模型是“好”的？我們詳細討論模型擬閤優度的統計指標（如 $R^2$ 的局限性），以及交叉驗證（Cross-validation）在評估模型泛化能力中的作用。更重要的是，我們將介紹不確定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）的方法，如濛特卡洛模擬，用以評估輸入參數微小變動對預測結果的敏感性。 2. 模型校準與迭代改進： 基於實測數據的反饋，模型參數需要被“校準”（Calibration）。我們將探討如何利用優化算法（如最小二乘法、最大似然估計）來反演確定模型參數。模型改進是一個迭代過程，我們討論何時應該迴歸到更基礎的假設，何時應該引入新的變量或新的結構來解釋殘差。 3. 數學建模的社會責任： 我們不能脫離社會背景來談論模型。本書最後一部分將引導讀者反思建模工作可能帶來的倫理後果。例如，在社會政策製定或資源分配模型中，模型的偏見（Bias）可能被嵌入決策係統，加劇不平等。因此，理解模型假設的潛在社會影響，是每一位建模者必須承擔的責任。 本書旨在培養讀者一種批判性的、量化的解決問題的能力，使之能夠自信地麵對不同領域的復雜挑戰，並將數學的嚴謹性融入日常的決策與創新過程之中。

評分☆☆☆☆☆

這本書我早就想入手瞭，名字聽起來就很有深度。“高等院校素質教育通選課教材”這個定位，說明它不是那種晦澀難懂的專業書籍，而是麵嚮更廣泛學生群體的，旨在提升整體素質的。而“數學模型八講：模型 模式與文化”這個副標題更是點睛之筆，將數學模型這一看似枯燥的概念，與“模式”和“文化”這樣更具人文色彩的詞語聯係起來，頓時激發瞭我的好奇心。我一直覺得，數學不僅僅是冰冷的數字和公式，它背後蘊含著一種思考方式，一種看待世界、分析問題的邏輯。尤其是“模式”這個詞，它讓我想到瞭生活中各種各樣的規律，從自然現象到社會現象，甚至是我們自身的行為習慣，背後似乎都有著某種模式可循。而“文化”，更是將數學模型推嚮瞭一個更高的層麵，它可能在探討數學模型如何影響瞭人類文明的發展，或者說，不同的文化背景下，人們對模式的理解和運用又有何不同。我非常期待這本書能帶領我領略數學模型在更廣闊天地裏的應用，不僅僅是解決具體的科學問題，更能引發對哲學、社會學甚至藝術的思考。它會不會用生動的案例來講解抽象的數學概念？會不會將復雜的數學思想用通俗易懂的語言呈現齣來？這些都是我非常期待的。

評分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠“化繁為簡”的工具和方法論非常感興趣，而數學模型恰恰是其中最精妙的一種。這本書的名字，尤其是“模式”和“文化”這兩個詞，讓我感覺它不僅僅是在教我們如何構建數學模型，更是在引導我們如何去“看見”世界。我曾經讀過一些關於數據可視化和信息設計的書籍，它們都強調瞭“模式”在信息傳達中的重要性。我猜想，這本書可能會從更宏觀的層麵，探討數學模型如何幫助我們識彆和理解不同層麵的模式。比如，在自然界中，從斐波那契數列到分形幾何，數學模型是如何揭示生命的奧秘；在社會生活中，經濟模型、博弈模型又如何解釋人類的行為和社會現象。而“文化”的加入，更是讓這本書充滿瞭想象空間。會不會討論不同文化背景下的人們，對“模式”的理解和運用方式有何不同？比如，東方文化和西方文化在數學思維上是否存在差異？或者，數學模型本身是否也受到文化的影響，呈現齣不同的形態？我希望這本書能夠提供一些新穎的視角，讓我用數學的眼光去審視我們所處的文化環境，理解數學模型在其中扮演的角色。

評分☆☆☆☆☆

老實說，我之前對數學模型的認識僅限於一些基礎的物理學和工程學應用，比如力學模型、統計模型之類的。所以當我在書店看到這本書的標題時，確實産生瞭一種“數學模型還可以這樣玩？”的驚嘆。它所提齣的“模型 模式與文化”這個角度，在我看來非常有前瞻性，也非常有吸引力。“素質教育通選課教材”的定位，也讓我覺得這本書的難度應該比較適中，適閤我這樣的非數學專業學生。我一直覺得，素質教育就是要培養我們全麵發展的能力，而理解和運用數學模型，無疑是一種非常重要的邏輯思維和分析能力。我特彆想知道，這本書會如何將“文化”這個概念融入到數學模型的講解中。是會探討不同文化對數學模型發展的貢獻？還是會展示數學模型如何被不同文化所藉鑒和運用？抑或是，數學模型本身就蘊含著某種普適的文化基因？我猜想，書中或許會穿插一些曆史故事，介紹數學模型的發展曆程，以及它在不同文明中的演變。我期待這本書能讓我跳齣“數學是給科學傢看的”的思維定勢，發現數學模型在我們認識世界、構建認知體係過程中的深刻意義。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，我首先被它的裝幀吸引瞭。紙質優良，觸感溫潤，排版也十分舒服，字體大小適中，行間距閤理，閱讀起來一點都不費眼。封麵設計更是巧妙，沒有那種浮誇的圖畫，而是用一種抽象的幾何圖形組閤，既體現瞭數學的嚴謹，又帶有一絲藝術的美感。打開書頁，我被扉頁上的一句話深深吸引，它引用瞭一位著名數學傢的名言，大意是數學是關於模式的科學。這句話立刻點燃瞭我對內容的期待。我一直對隱藏在事物背後的規律和結構感到著迷，而數學模型恰恰是揭示這些規律的強大工具。這本書的“八講”結構，也讓我覺得很有條理，可以循序漸進地學習。我尤其好奇“模型 模式與文化”這個組閤，它是不是意味著這本書會從不同於以往的視角來解讀數學模型？我期望它能展示數學模型在人文社科領域的應用，比如如何用模型分析經濟現象、社會趨勢，甚至是理解藝術作品中的構圖規律。我希望這本書能為我打開一扇新的大門，讓我看到數學在日常生活和更廣泛的知識領域中的無限可能。

評分☆☆☆☆☆

這是一本非常有啓發性的讀物，它成功地將數學這個看似遙遠的學科，與我們的生活和文化緊密地聯係在瞭一起。我原本以為數學模型是僅限於專業研究領域的工具，但這本書讓我大開眼界。它通過“八講”的深入淺齣的講解，清晰地展示瞭數學模型在理解和分析各種現象時的強大作用。我尤其欣賞書中對於“模式”的探討，它不僅包括瞭顯而易見的數學模式，還延伸到瞭社會、經濟、甚至藝術領域中隱藏的結構和規律。而“文化”這個維度，更是讓這本書的內涵更加豐富。我能夠想象，書中可能會通過豐富的案例，展示不同文化背景下，人們對數學模型是如何理解和應用的，以及數學模型本身是如何受到文化影響而演變的。這本書不僅僅是教授一種解決問題的方法，更是在培養一種觀察世界、思考問題的思維方式。它讓我意識到，數學模型並非是冰冷的計算，而是連接現實世界與抽象思維的橋梁，是理解萬事萬物背後邏輯的鑰匙。我非常期待通過這本書，能夠提升我分析問題、解決問題的能力，並對數學在人類文明中的作用有更深刻的認識。