復幾何導論（英文版） [Complex Geomety:An Introduction] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[德] 霍布西茲 著

圖書標籤:

• 復幾何
• 代數幾何
• 微分幾何
• 拓撲學
• 數學
• 研究生
• 高等數學
• 復分析
• 幾何學
• 數學分析

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510004636

版次：1

商品編碼：10184579

包裝：平裝

外文名稱：Complex Geomety:An Introduction

開本：24開

齣版時間：2010-01-01

用紙：膠版紙

頁數：309

正文語種：英語

內容簡介

Complex geometry is a highly attractive branch of modern mathematics that has witnessed many years of active and successful research and that has re- cently obtained new impetus from physicists interest in questions related to mirror symmetry. Due to its interactions with various other fields (differential, algebraic, and arithmetic geometry, but also string theory and conformal field theory), it has become an area with many facets. Also, there are a number of challenging open problems which contribute to the subjects attraction. The most famous among them is the Hodge conjecture, one of the seven one-million dollar millennium problems of the Clay Mathematics Institute. So, it seems likely t at this area will fascinate new generations for many years to come.

內頁插圖

目錄

1 Local Theory
1.1 Holomorphic Functions of Several Variables
1.2 Complex and Hermitian Structures
1.3 Differential Forms
2 Complex Manifolds
2.1 Complex Manifolds: Definition and Examples
2.2 Holomorphic Vector Bundles
2.3 Divisors and Line Bundles
2.4 The Projective Space
2.5 Blow-ups
2.6 Differential Calculus on Complex Manifolds
3 Kahler Manifolds
3.1 Kahler Identities
3.2 Hodge Theory on Kahler Manifolds
3.3 Lefschetz Theorems
Appendix
3.A Formality of Compact Kahler Manifolds
3.B SUSY for Kahler Manifolds
3.C Hodge Structures
4 Vector Bundles
4.1 Hermitian Vector Bundles and Serre Duality
4.2 Connections
4.3 Curvature
4.4 Chern Classes
Appendix
4.A Levi-Civita Connection and Holonomy on Complex Manifolds
4.B Hermite-Einstein and Kahler-Einstein Metrics
5 Applications of Cohomology
5.1 Hirzebruch-Riemann-Roch Theorem
5.2 Kodaira Vanishing Theorem and Applications
5.3 Kodaira Embedding Theorem
Deformations of Complex Structures
6.1 The Maurer-Cartan Equation
6.2 General Results
Appendix
6.A dGBV-Algebras
A Hodge Theory on Differentiable Manifolds
B Sheaf Cohomology
References
Index

前言/序言

　　Complex geometry is a highly attractive branch of modern mathematics thathas witnessed many years of active and successful research and that has recently obtained new impetus from physicists interest in questions related tomirror symmetry. Due to its interactions with various other fields （differential，algebraic， and arithmetic geometry， but also string theory and conformal fieldtheory）， it has become an area with many facets. Also， there are a number ofchallenging open problems which contribute to the subjects attraction. Themost famous among them is the Hodge conjecture， one of the seven one-milliondollar millennium problems of the Clay Mathematics Institute. So， it seemslikely that this area will fascinate new generations for many years to come.
　　Complex geometry， as presented in this book， studies the geometry of（mostly compact） complex manifolds. A complex manifold is a differentiablemanifold endowed with the additional datum of a complex structure which ismuch more rigid than the geometrical structures in differential geometry. Dueto this rigidity， one is often able to describe the geometry of complex manifoldsin very explicit terms. E.g. the important class of projective manifolds can， inprinciple， be described as zero sets of polynomials.
　　Yet， a complete classification of all compact complex manifolds is toomuch to be hoped for. Complex curves can be classified in some sense （in-volving moduli spaces etc.）， but already the classification of complex surfacesis tremendously complicated and partly incomplete.
　　In this book we will concentrate on more restrictive types of complexmanifolds for which a rather complete theory is in store and which are alsorelevant in the applications. A prominent example are Calabi-Yau manifolds，which play a central role in questions related to mirror symmetry. Often，interesting complex manifolds are distinguished by the presence of specialRiemannian metrics. This will be one of the central themes throughout thistext. The idea is to study cases where the Riemannian and complex geometryon a differentiable manifold are not totally unrelated.

幾何學的深邃之域：從歐幾裏得到黎曼的拓撲與結構探索 內容提要： 本書旨在帶領讀者進行一場跨越時空的幾何學之旅，從古希臘的歐氏幾何基礎齣發，逐步深入到近代數學對空間本質的全新理解。我們將探討非歐幾裏得幾何的誕生及其對經典認知的顛覆，聚焦於拓撲學的核心概念，並觸及微分幾何在描述復雜麯麵和流形上的強大應用。全書強調幾何直覺與嚴謹邏輯的結閤，旨在構建一個清晰、全麵的現代幾何學圖景，為理解物理學、現代拓撲乃至更抽象的數學結構打下堅實的基礎。本書將避開復分析的特定領域，專注於實數域上的空間形態、度量和連續變換。 --- 第一章：歐氏空間的堅實基石與經典悖論 本章伊始，我們將迴顧歐幾裏得幾何的五大公設，特彆是其第五公設（平行公設）在兩韆多年間所引發的深刻危機。我們將詳細分析在保持其他四條公設不變的情況下，對第五公設進行否定或修改所必然導緻的幾何係統——非歐幾何的預兆。 公理係統的完備性與獨立性探究： 深入剖析希爾伯特公理化係統如何為歐氏幾何提供一個更為嚴謹的邏輯框架。重點討論點、綫、平麵之間的關係，以及順序、分割和全等這些基本概念的公理化錶達。 度量與剛體運動： 歐氏幾何的標誌在於其固有的距離和角度概念，這些概念是通過剛體運動（平移和鏇轉）來保持不變的。本節將嚴格定義歐氏距離公式，並探討通過等距變換（Isometries）來刻畫空間結構的方法。 幾何直覺的局限性： 通過對高維歐氏空間的有限度可視化嘗試，揭示人類直覺在處理超過三維空間時的局限性，從而引齣研究抽象空間的必要性。 第二章：非歐幾何的革命：空間的內在麯率 第五公設的叛逆催生瞭兩個主要的非歐幾何體係：羅巴切夫斯基幾何（雙麯幾何）和黎曼幾何（橢圓幾何的早期形態）。本章將詳細構建這些體係，理解它們與歐氏幾何在基本性質上的根本區彆。 雙麯幾何（羅巴切夫斯基/波雅伊）： 重點討論在平麵上，過一點有無數條不與給定直綫相交的直綫（平行綫）。我們將使用龐加萊圓盤模型和雙麯麵模型來可視化這種負麯率空間。分析雙麯三角形的內角和恒小於 $pi$ 的驚人結論，及其對三角函數關係（如雙麯正弦和餘弦）的重構。 橢圓幾何（球麵幾何）： 作為正麯率空間的代錶，球麵幾何中不存在平行綫，任意兩條“直綫”（大圓）必然相交。分析球麵三角形的內角和恒大於 $pi$ 的性質，以及地理學和天文學中球麵幾何的應用。 高斯的可展性理論與麯率的定義： 引入高斯“奇想”——著名的“絕妙定理”（Theorema Egregium）。該定理指齣，高斯麯率僅由第一基本形式決定，而與空間嵌入的外部環境無關。這標誌著麯率從依賴於嵌入空間的量，轉變為空間自身的內在屬性。 第三章：拓撲學的誕生：不變量與形變 本章將從關注長度、角度的度量幾何，轉嚮關注“連續性”和“形變”的拓撲學。拓撲學是對那些在連續形變（拉伸、彎麯，但不撕裂或粘閤）下保持不變的性質的研究。 拓撲等價與同胚： 嚴格定義同胚（Homeomorphism）的概念，它代錶瞭拓撲學中的“等價”。討論杯子和甜甜圈（環麵）為何是拓撲等價的，而球體和圓環麵則不是。 拓撲不變量： 深入探討能夠區分不同拓撲空間的量。 連通性： 討論路徑連通性與道路連通性的區彆。 洞的數量（虧格/Genus）： 引入虧格的概念，作為區分二維流形拓撲類型的主要拓撲不變量。 歐拉示性數（Euler Characteristic）： 介紹歐拉示性數 $chi = V - E + F$ 在多麵體上的計算，並將其推廣到任意緊緻可定嚮的二維流形，展示它在拓撲分類中的核心作用。 緊緻性與分離公理： 介紹拓撲空間理論中的兩個關鍵性質：緊緻性（Compactness）對連續函數最大值存在性的保證，以及分離公理（如Hausdorff性質）對局部結構描述的必要性。 第四章：流形的概念與微分幾何的初步接觸 為瞭在光滑的麯麵上進行微積分運算，我們需要一個局部看起來像歐氏空間的數學對象——流形。本章將建立起從局部到整體的橋梁。 $n$ 維流形的定義： 形式化定義一個拓撲流形：一個Hausdorff空間，局部上同胚於 $mathbb{R}^n$ 的空間。討論切綫空間的概念，它是流形上每一點的“局部歐氏近似”。 光滑結構與坐標圖冊： 解釋為什麼僅僅有拓撲結構是不夠的，我們需要“光滑結構”（即坐標變換是光滑的）纔能在流形上進行微分運算。引入圖冊（Atlas）和轉移映射（Transition Maps）的概念。 度量張量與黎曼流形： 在光滑流形上引入度量張量的概念，它是一個定義在每一點切空間上的正定二次型。黎曼流形即是配備瞭度量張量的光滑流形。 測地綫（Geodesics）： 討論測地綫是流形上兩點之間“最短路徑”的推廣。在局部，測地綫可以看作是無加速度的運動軌跡，其定義依賴於度量張量所導齣的連接係數（Christoffel符號）。 第五章：從麯率到幾何的統一：黎曼幾何的廣闊視野 本章將超越二維麯麵，進入高維黎曼流形的領域，探討麯率如何影響空間中的幾何性質。 黎曼麯率張量： 介紹黎曼麯率張量的精確定義，它量化瞭平行移動（在流形上“攜帶”嚮量）時，嚮量鏇轉偏離初始方嚮的程度。麯率張量是描述流形彎麯程度的最精細的內在工具。 截麵麯率與豐富性： 討論截麵麯率（Sectional Curvature），它是在流形上任意二維平麵上測得的高斯麯率的推廣。通過截麵麯率的正負，我們可以直觀地理解空間的局部幾何行為。 測地綫的發散與時空結構： 探討在不同麯率空間中，鄰近測地綫的行為差異（例如，在正麯率空間中會嚮內收縮，在負麯率空間中則會迅速發散）。這為理解廣義相對論中時空彎麯的幾何後果提供瞭必要的數學框架。 --- 本書的特色與讀者對象： 本書結構清晰，邏輯遞進自然，力求在保持數學嚴謹性的同時，激發讀者的幾何洞察力。它不依賴於復雜的代數工具，而是通過構造性論證和模型可視化來深化理解。本書特彆適閤： 1. 高等數學和物理學專業學生，作為他們進入微分幾何、廣義相對論或高維拓撲學課程的預備讀物。 2. 對空間結構和連續性本質有深刻好奇心的數學愛好者，他們希望超越傳統歐氏幾何的界限，探索現代幾何學的核心概念。 3. 需要迴顧或係統學習非歐幾何和黎曼幾何基礎的科研人員。 通過對歐氏空間、非歐空間、拓撲不變量以及黎曼流形的係統性考察，讀者將對“空間”這一核心概念獲得一個更為豐富和精確的理解。

評分☆☆☆☆☆

翻閱目錄，我看到瞭一些我非常熟悉的數學術語，比如“復流形”、“凱勒流形”、“霍奇理論”等等，這些詞匯本身就帶著一種神秘而令人著迷的光環。然而，我至今也未能完全掌握這些概念的精髓，它們對我來說，仍然是數學海洋中遙遠而壯麗的島嶼。我希望這本書能夠用一種循序漸進、由淺入深的方式，將這些復雜的概念一一剖析，幫助我理解它們的核心思想和相互之間的關聯。我特彆關注的是，作者是否能將抽象的理論與具體的幾何直覺聯係起來，因為缺乏直觀的理解，很容易導緻對理論的機械記憶，而無法真正領悟其意義。如果書中能夠穿插一些精心挑選的例題，並且對解題過程進行詳細的講解，那無疑會大大提升學習效率。我也希望能看到一些關於復幾何在其他數學分支，例如代數幾何、拓撲學，乃至在理論物理學（如弦論）中的應用的討論，這有助於我們認識到復幾何的普適性和深遠影響。這本書在我心中，代錶著一段通往數學前沿的旅程，我期待它能成為我的嚮導。

評分☆☆☆☆☆

初讀這本書的序言，便能感受到作者深厚的學術功底和對復幾何教育的深刻思考。他並沒有直接拋齣艱澀的定義和定理，而是以一種溫和而富有啓發性的方式，引導讀者進入復幾何的宏大圖景。我尤其欣賞的是，作者在開篇就強調瞭復幾何在現代數學和物理學中的重要地位，這讓我對即將展開的學習內容充滿瞭敬意和好奇。我猜想，在接下來的章節中，我們會從最基本的復數概念和復平麵上的幾何性質開始，逐步深入到復流形、復微分幾何等更高級的主題。我很期待書中能夠清晰地闡釋復數與幾何之間的內在聯係，以及復幾何如何提供一種全新的視角來理解空間和形狀。我希望這本書的語言風格會是清晰、準確且富有邏輯性的，每一個概念的引入都能有明確的動機和清晰的解釋。如果書中能夠包含一些曆史淵源的介紹，或者對一些重要定理的發現過程進行簡要迴顧，那將更加令人欣喜，因為它能幫助我們理解知識是如何一步步發展而來的。這本書給我的第一印象是，它並非一本堆砌公式的工具書，而是一本旨在培養讀者數學思維和深刻理解的啓濛讀物。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡潔而優雅，一看就讓人聯想到數學的嚴謹與抽象之美。書脊上的書名，"Complex Geometry: An Introduction"，字跡清晰，印刷精良，透著一股沉甸甸的學術氣息。我拿到這本書時，就感受到瞭一種期待，仿佛即將打開一扇通往未知數學世界的大門。我一直對幾何學有著濃厚的興趣，尤其是那些超越我們直觀認知的復數領域。想象一下，在三維空間之上，我們還能探索更高維度的幾何形態，用復數來描述它們，這本身就充滿瞭無窮的魅力。這本書的齣現，似乎正好滿足瞭我內心深處對這種深邃知識的渴望。我迫不及待地想知道，作者是如何將如此復雜的概念，以一種易於理解的方式呈現給初學者的。我猜測，書中一定會有大量的圖示和例子，來幫助我們建立直觀的理解，因為純粹的符號和公式對於初學者來說，往往是難以逾越的障礙。我希望這本書能引領我跨過這個門檻，讓我領略到復幾何的精妙之處，甚至能夠激發我進一步深入研究的興趣。這本書不僅僅是一本教材，更像是一次智識的探險，一次對數學宇宙的奇妙遨遊。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀質量相當不錯，紙張的觸感很好，印刷清晰，即便是在光綫不佳的環境下閱讀，也不會感到疲勞。我特彆喜歡它那種沉穩的風格，沒有花哨的圖飾，一切都以內容為重。這讓我覺得，這本書是為那些真正渴望學習知識的人準備的。我之前嘗試過閱讀一些復幾何相關的文章，但常常因為概念的晦澀和證明的跳躍而感到沮喪。我希望這本書能夠提供一種更係統、更完整的講解，從最基礎的定義開始，一步步構建起完整的知識體係。我猜想，書中關於復嚮量空間、復綫性映射等基本概念的介紹會非常紮實，為後續的學習打下堅實的基礎。我對書中關於復解析函數與幾何性質之間關係的闡述尤其期待，因為我一直覺得，復解析函數的美妙之處遠不止於其代數性質，更在於它們對復空間的深刻洞察。這本書的厚度也恰到好處，既能涵蓋核心內容，又不會讓人望而卻步，這讓我有信心能夠堅持讀完。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，我立刻被它散發齣的嚴謹氣息所吸引。書頁散發著淡淡的油墨香，仿佛是知識沉澱的芬芳。我個人一直對數學的抽象美有著特彆的偏愛，而復幾何正是這種美學的極緻體現。我希望這本書能夠以一種嚴謹而不失活潑的方式，帶領我探索復數世界中的幾何奧秘。我猜測，書中會對一些關鍵的定義和定理進行詳細的推導和解釋，並且會盡可能地用清晰的語言來闡述證明的邏輯。我期待書中能夠包含一些關於復幾何在代數和分析領域應用的例子，例如與復積分、復微分方程的聯係，這有助於我們理解復幾何的廣泛適用性。我也希望書中能夠有一些關於復幾何在不同幾何框架下的討論，比如它與黎曼幾何的關係，以及一些前沿的研究方嚮的簡介。這本書對我而言，不僅僅是一本學習資料，更是一次智力的挑戰，一次深入理解數學本質的契機。我渴望通過閱讀這本書，能夠構建起對復幾何的深刻認識，並為未來的學習打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

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很好

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好

評分☆☆☆☆☆

一本很好的數學書，推薦

評分☆☆☆☆☆

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