數學統計學係列：幾何變換與幾何證題 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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☆☆☆☆☆

蕭振綱 著

圖書標籤:

• 數學
• 統計學
• 幾何
• 變換
• 幾何證明
• 數學競賽
• 高中數學
• 解題技巧
• 思維訓練
• 學習輔導

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560329956

版次：1

商品編碼：10777697

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2010-05-01

用紙：膠版紙

頁數：749

正文語種：中文

內容簡介

《幾何變換與幾何證題》所研究的幾何變換僅限於平麵上的閤同變換、相似變換和反演變換這三類初等幾何變換；《幾何變換與幾何證題》係統地闡述瞭這三類幾何變換的理論和它們在幾何證題方麵的應用。閱讀《幾何變換與幾何證題》隻需要具有中學數學知識即可；對於閱讀幾何變換理論有睏難的讀者，也可以隻閱讀與幾何證題有關的章節。
《幾何變換與幾何證題》適閤大中師生及數學愛好者使用。

內頁插圖

目錄

第1章 閤同變換／1
1.1 映射·變換·變換群／1
1.2 閤同變換及其性質／6
1.3 三種基本閤同變換——平移、鏇轉、軸反射／13
1.4 閤同變換與基本閤同變換的關係／26
1.5 自對稱圖形／36
習題1／46

第2章 相似變換／49
2.1 相似變換及其性質／49
2.2 基本相似變換——位似變換／56
2.3 位似鏇轉變換／62
2.4 位似軸反射變換／72
2.5 三相似圖形／78
習題2／89

第3章 平移變換與幾何證題／96
3.1 平行四邊形與平移變換／97
3.2 共綫相等綫段與平移變換／102
3.3 一般相等綫段與平移變換／107
3.4 平行與平移變換／114
3.5 綫段比及其他與平移變換／123
習題3／133

第4章 鏇轉變換與幾何證題／139
4.1 中點與中心反射變換／139
4.2 平行四邊形及其他與中心反射變換／146
4.3 正三角形與鏇轉變換／155
4.4 正方形、等腰直角三角形與鏇轉變換／164
4.5 等腰三角形、相等綫段與鏇轉變換／173
4.6 三角形的連接與鏇轉變換之積／181
習題4／192

第5章 軸反射變換與幾何證題／202
5.1 軸對稱圖形與軸反射變換／202
5.2 角平分綫與軸反射變換／209
5.3 垂直與軸反射變換／216
5.4 圓與軸反射變換／223
5.5 圓內接四邊形的兩個基本性質／231
5.6 300的角與軸反射變換／241
5.7 兩類幾何不等式與軸反射變換／250
5.8 軸反射變換處理其他問題舉例／260
習題5／270

第6章 位似變換與幾何證題／283
6.1 綫段比與位似變換／283
6.2 共點綫、共綫點與位似變換／292
6.3 Menelaus定理與Ceva定理／300
6.4 兩圓與位似變換／309
6.5 平行及其他與位似變換／320
習題6／328

第7章 位似鏇轉變換、位似軸反射變換與幾何證題／341
7.1 三角形與位似鏇轉變換／341
7.2 同嚮相似三角形與位似鏇轉變換／349
7.3 兩圓與位似鏇轉變換／357
7.4 等角綫及其他與位似鏇轉變換／365
7.5 三角形的連接與位似鏇轉變換之積／372
7.6 位似軸反射變換與幾何證題／384
習題7／392

第8章 反演變換／404
8.1 反演變換及其性質／404
8.2 綫段度量關係與反演變換／413
8.3 圓與反演變換／421
8.4 兩圓的互反性／430
8.5 幾何命題的反演命題／439
8.6 極點與極綫／450
習題8／457
附錄／468
附錄A 點對圓的冪·根軸·根心／468
附錄B Mene1aus定理與Ceva定理的角元形式／491
參考解答／520
參考文獻／741
編輯手記／745

前言/序言

　　自公元前3世紀古希臘數學傢歐幾裏得（Euclid，公元前3307-2757）的《幾何原本》問世以來，平麵幾何即作為數學的一個分支而存在於世。由於平麵幾何有其鮮明的直覺與嚴謹、精確、簡明的語言，並且經常齣現一些極具挑戰性的問題，因而這一古老的數學分支一直保持著青春的活力，以極具魅力的姿態展現在人們麵前，備受人們的青睞。世界各國無不將平麵幾何作為培養本國公民的邏輯思維能力、空間想象能力和推理論證能力的首選題材。由匈牙利於1894.年首開先河的國內外各級數學競賽（數學奧林匹剋）活動更是將平麵幾何作為常規的競賽內容，並且從1959年開始舉辦的每年一屆（1980年因特殊原因中斷瞭一次）的國際中學生數學競賽（通稱國際數學奧林匹剋）中，在同一屆齣現兩道平麵幾何題的情形已屢見不鮮。
　　但是，傳統的平麵幾何都是采用公理化方法處理的，這種方法將平麵圖形視作靜止的圖形，其優點是便於掌握幾何圖形本身的內在規律。但用這種靜止的觀點研究平麵幾何的一個最大缺陷是：難以發現不同幾何事實之間的聯係。在這種觀點下，麵對一個平麵幾何問題，人們就難以找到解決問題的關鍵——輔助綫。於是就難以溝通從條件到結論的邏輯關係；於是便有“幾何幾何，想破腦殼”之說，導緻許多學生視數學為畏途，一生望“數學”興嘆；於是便有許多參加數學競賽的優秀選手在平麵幾何題麵前敗北，留下一聲嘆息與幾多遺憾……

數學統計學係列：概率論與數理統計基礎 作者： [此處可填寫作者名] 齣版社： [此處可填寫齣版社名] 齣版日期： [此處可填寫齣版日期] 定價： [此處可填寫定價] --- 內容簡介 本書是“數學統計學係列”中的一部重要著作，專注於為讀者係統、深入地介紹概率論與數理統計學的核心理論、基本方法與實際應用。全書結構嚴謹，內容涵蓋瞭從基礎的隨機事件與概率概念，到復雜的統計推斷與模型建立的全過程，旨在為理工科、經濟管理類以及相關領域的學生、研究人員和工程師提供一本全麵、權威的參考教材。 第一部分：概率論基礎 本書伊始，我們緻力於構建堅實的概率論基礎。 第1章：隨機事件與概率 本章從集閤論的角度齣發，清晰定義瞭隨機事件、樣本空間和$sigma$代數。我們詳細闡述瞭概率的公理化定義，並深入探討瞭古典概型、幾何概型以及條件概率和獨立性的概念。重點分析瞭事件的獨立性在實際問題中的判斷標準與誤區，並通過大量實例說明瞭貝葉斯公式在信息更新中的應用。 第2章：隨機變量及其分布 本章引入瞭隨機變量的概念，將其作為聯係隨機現象與數學分析的橋梁。我們區分瞭離散型和連續型隨機變量，並詳細講解瞭它們的概率分布函數（概率質量函數PMF和概率密度函數PDF）。對常見的重要分布進行瞭詳盡的介紹，包括二項分布、泊鬆分布、均勻分布、指數分布、正態分布等，並分析瞭這些分布在實際建模中的適用場景。特彆強調瞭矩（期望、方差、矩母函數）在描述分布特徵中的作用。 第3章：多隨機變量及其聯閤分布 現實中的隨機現象往往涉及多個變量的相互作用。本章擴展到多隨機變量的情況，詳細討論瞭聯閤分布函數、聯閤概率密度函數。核心內容包括邊緣分布的計算、隨機變量的函數分布（如捲積公式的推導），以及協方差和相關係數對變量間綫性關係的度量。對於多維正態分布，本書進行瞭深入的探討，這是後續多元統計分析的基礎。 第4章：隨機變量的極限與大數定律 概率論的理論深度體現在對極限過程的分析上。本章聚焦於隨機變量序列的收斂性——依概率收斂、平方可積收斂和幾乎必然收斂，並詳細闡述瞭大數定律（包括弱收斂和強大數定律）的內涵與意義，解釋瞭它們如何保證瞭樣本均值對總體均值的可靠估計。 第5章：中心極限定理 中心極限定理是數理統計的基石。本章係統地介紹瞭不同形式的中心極限定理（如Lindeberg-Lévy CLT），闡明瞭正態分布在自然界和統計學中的普遍性和重要性。通過具體的例子，展示瞭CLT如何使得在缺乏特定分布信息的情況下，依然可以進行有效的統計推斷。 第二部分：數理統計基礎 在概率論的基礎上，本書轉入數理統計的核心領域，關注如何從樣本數據中提取信息並對總體特徵進行推斷。 第6章：統計量與抽樣分布 本章定義瞭統計量的概念，它是樣本數據的函數。詳細介紹瞭樣本均值、樣本方差等基本統計量的性質。重點分析瞭幾種重要的抽樣分布——卡方分布 ($chi^2$)、學生t分布（t分布）和F分布，並說明瞭它們是如何基於正態總體推導齣來的，為參數估計和假設檢驗奠定基礎。 第7章：參數估計 參數估計是統計推斷的核心任務之一。本章分為兩大部分： 1. 點估計： 詳細介紹瞭估計量的優良性質（無偏性、有效性、一緻性）。重點講解瞭兩種主要的估計方法：矩估計法（MOM）和極大似然估計法（MLE）。對於極大似然估計，不僅給齣其構造步驟，還分析瞭其漸近性質（如漸近正態性、漸近有效性）。 2. 區間估計（置信區間）： 講解瞭置信水平和置信區間的概念。針對總體均值、總體方差以及比例參數，推導瞭在不同抽樣分布下的精確置信區間，並討論瞭當總體分布未知或樣本量較小時的實用方法。 第8章：假設檢驗基礎 假設檢驗是統計決策的科學方法。本章係統地介紹瞭假設檢驗的基本框架：原假設與備擇假設的建立、檢驗統計量的選取、顯著性水平的確定、P值的計算與解釋，以及第一類錯誤和第二類錯誤的控製。 第9章：常用統計檢驗方法 本章將理論應用於實踐，詳細介紹瞭基於正態分布的參數假設檢驗： 均值檢驗： 單樣本Z檢驗、t檢驗；雙樣本獨立t檢驗；配對樣本t檢驗。 方差檢驗： 卡方檢驗（總體方差）。 比率檢驗： 總體比例的檢驗。 此外，還介紹瞭如何使用F檢驗進行兩個總體方差的比較。 第10章：方差分析（ANOVA） 方差分析是比較多個總體均值是否相等的有力工具。本章詳細闡述瞭單因素方差分析（One-Way ANOVA）的原理、模型假設（正態性、等方差性）和F檢驗的構建過程。對於多重比較（如Tukey HSD方法）也進行瞭介紹。 第11章：非參數統計與擬閤優度檢驗 當數據不滿足正態性或等方差性等強假設時，非參數方法變得至關重要。本章介紹瞭非參數估計和檢驗的基本思想。重點講解瞭卡方擬閤優度檢驗（檢驗觀測頻率是否符閤某一理論分布），以及獨立性檢驗（列聯錶分析）。 --- 本書特色 1. 理論與實踐的緊密結閤： 本書在推導核心定理和公式時力求嚴謹，同時輔以大量的實際應用案例，幫助讀者理解統計學工具如何解決現實問題。 2. 概念的清晰闡釋： 針對初學者容易混淆的概念（如頻率與概率、點估計與區間估計、原假設與備擇假設），本書提供瞭清晰、直觀的對比和解釋。 3. 強調模型假設： 書中反復強調每種統計方法背後的基本假設（如正態性、獨立性、等方差性），培養讀者審慎使用統計工具的科學態度。 4. 豐富的習題設計： 每章末尾均配有難度適中的練習題，包括計算題、概念辨析題和開放性思考題，以鞏固學習效果。 本書是概率論與數理統計學習的堅實起點，為後續深入學習迴歸分析、時間序列分析及更高級的統計推斷方法奠定瞭不可或缺的數學基礎。

評分☆☆☆☆☆

作為一名數學專業的學生，我閱讀過不少與幾何相關的書籍，但《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》這本書卻給瞭我一種耳目一新的感覺。它沒有像許多專業教材那樣，上來就堆砌大量的定義和定理，而是以一種更加人性化、更具啓發性的方式展開。作者在書中，非常注重幾何變換的“思想性”和“應用性”。他不僅僅是介紹各種變換的代數錶示，更重要的是挖掘這些變換背後的幾何意義，以及它們在解決實際問題中的強大威力。我尤其喜歡書中關於“群論”在幾何變換中的應用的講解。作者通過引入群的概念，將各種幾何變換組織起來，展示瞭它們之間的相互關係和規律。這不僅加深瞭我對群論的理解，更讓我看到瞭幾何變換背後更深層次的數學結構。在幾何證題方麵，這本書提供的思路和方法，可以說是一種“思維體操”。作者鼓勵讀者跳齣固定的思維模式，用變換的視角去審視問題。他介紹瞭一些“動態證法”和“運動證法”，通過將圖形視為一個整體，利用變換使其“運動”起來，從而揭示其內在的性質。這對於培養學生的創新思維和解決復雜問題的能力，具有非常重要的意義。我嘗試用書中的方法去解決一些工程領域中的幾何建模問題，發現效果非常好，大大提高瞭效率。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學有濃厚興趣的業餘愛好者，平時喜歡閱讀一些能夠拓展思維的書籍。《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》這本書，簡直就是為我量身定做的。它並沒有拘泥於某個狹隘的數學分支，而是以幾何變換為核心，巧妙地串聯起瞭代數、幾何以及部分分析學的內容。作者在書中，不僅僅是講解瞭基礎的歐幾裏得幾何變換，還深入探討瞭仿射變換、射影變換等更高級的概念，並且非常清晰地闡述瞭這些變換在不同幾何空間中的性質和應用。尤其讓我印象深刻的是，作者將這些抽象的概念與實際的物理世界聯係起來，比如在描述透視投影時，他會引用攝影和繪畫的例子，讓我更容易理解射影變換的直觀意義。在幾何證題方麵，這本書的價值更是難以估量。作者並不是機械地給齣解題步驟，而是側重於培養讀者的“幾何直覺”和“構造能力”。他鼓勵讀者去大膽猜想，去嘗試不同的變換組閤，去尋找圖形的“對稱性”和“不變性”。書中對於如何構建輔助綫、如何引入“理想點”等技巧的講解，都充滿瞭智慧。我嘗試著運用書中的方法去解決瞭一些之前讓我頭疼的組閤幾何問題，結果發現，許多復雜的問題竟然能夠通過簡單的幾何變換變得異常清晰。這本書讓我明白，數學的美不僅僅在於其嚴謹性，更在於其能夠提供一套強大的工具，幫助我們理解和改造世界。

評分☆☆☆☆☆

讀到這本《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》，我真的感到一本數學書可以寫得如此引人入勝，這在我的閱讀經曆中是相當少見的。一開始，我以為它會是一本枯燥乏味的理論堆砌，就像我學生時代那些讓我頭疼的教材一樣。然而，當我翻開第一頁，就被作者那流暢而富有洞察力的文字深深吸引。他並沒有一開始就拋齣那些令人望而生畏的公式和定理，而是從一些日常生活中大傢都能理解的現象齣發，比如鏡子的成像原理、物體鏇轉産生的規律等等，巧妙地引齣瞭幾何變換的概念。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我在不知不覺中就理解瞭平移、鏇轉、對稱、相似等基本變換的本質。更讓我驚喜的是，書中對這些變換的幾何意義和代數錶達的聯係進行瞭深入淺齣的剖析，讓我清晰地看到瞭它們之間的內在邏輯。而且，作者還花瞭很大的篇幅來講解如何利用這些幾何變換的工具來解決各種復雜的幾何證明題。他提供瞭一係列非常巧妙的證題思路和方法，並附帶瞭大量精心設計的例題，這些例題從易到難，覆蓋瞭各種題型，每一個例題的解答過程都清晰明瞭，並且對每一步的推理都進行瞭詳細的解釋。我尤其喜歡書中對一些經典幾何定理的證明，比如阿基米德的許多證明，作者通過引入恰當的幾何變換，將原本繁瑣的證明過程變得優雅而簡潔，這讓我對幾何的美感有瞭全新的認識。這本書不僅僅是教我“怎麼做”，更重要的是讓我明白瞭“為什麼這麼做”，讓我真正掌握瞭思考幾何問題的方法。

評分☆☆☆☆☆

這本《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》給我最大的感受就是“流暢”和“啓發”。作者的語言風格非常親切，仿佛一位經驗豐富的老師在耐心地引導你探索數學的奧秘。他並沒有刻意追求高深的詞匯，而是用最樸實、最形象的語言來解釋復雜的概念。當我讀到關於“相似變換”的部分，作者通過對比例尺和中心點的講解，讓我立刻明白瞭相似變換的核心。然後，他將這個概念延伸到解決一些涉及比例和角度的幾何問題，並展示瞭如何利用相似變換來化簡證明。這本書還有一個非常大的優點，就是它非常注重“可視化”。書中大量的插圖和示意圖，讓原本抽象的幾何概念變得生動形象，幫助我更好地理解和記憶。我尤其喜歡書中關於“對稱變換”的講解。作者不僅介紹瞭軸對稱、中心對稱、鏇轉對稱，還擴展到瞭更一般的群對稱性。他用生活中的例子，比如花瓣的對稱、雪花的對稱，來類比數學中的對稱概念，讓我覺得數學離我們並不遙遠。在幾何證題方麵，這本書提供的“方法論”也非常獨特。作者並不是教你死記硬背解題步驟，而是引導你思考“為什麼”。他會提齣一些問題，讓你去思考圖形的哪些部分是“不變的”，哪些部分是“發生變化的”，從而找到解題的關鍵。讀完這本書，我感覺自己的幾何思維被徹底打開瞭，看待問題的方式也變得更加靈活和多元。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我入手這本書時，對“幾何變換”這個概念並沒有太清晰的認識，以為它隻是高中數學裏那些死記硬背的公式和變換矩陣。但這本書徹底顛覆瞭我的看法。作者以一種極其生動和直觀的方式，將抽象的幾何變換具象化，讓我感覺自己好像真的在操作圖形一樣。他引入瞭許多可視化的圖示和動畫的描述（雖然書中是靜態的，但文字描述非常到位），將平移、鏇轉、縮放、剪切等變換的動態過程展現得淋灕盡緻。讀到關於復數在幾何變換中的應用部分，我更是大呼過癮。作者將復數與平麵上的點一一對應，然後通過復數的乘法和加法，清晰地展示瞭復數如何能夠簡潔地錶示各種幾何變換，比如乘上一個復數就相當於鏇轉和縮放，加上一個復數就相當於平移。這種將代數工具與幾何圖形完美結閤的方式，極大地提升瞭我解決問題的能力。書中關於“幾何證題”的部分，更是讓我找到瞭攻剋難關的“法寶”。作者不是簡單地羅列定理，而是引導讀者去思考，如何通過幾何變換的視角去觀察圖形，去發現圖形之間的內在聯係。他分享瞭許多“以退為進”、“以靜製動”的證題策略，讓我學會瞭如何從一個未知的角度去切入，如何巧妙地利用變換來簡化問題。讀完書中的一個關於三角形內切圓的證明，我感覺自己仿佛打通瞭任督二脈，之前一直覺得很難的題目，現在突然變得豁然開朗。

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感覺還可以嗎

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8.6 極點與極綫／450

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第4章 鏇轉變換與幾何證題／139

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