歐氏空間上的勒貝格積分（修訂版）（英文版） [Lebesgue Integration on Euclidean Space Revised Edition] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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瓊斯（Frank Jones） 著

圖書標籤:

• Lebesgue integration
• Real analysis
• Measure theory
• Euclidean space
• Mathematical analysis
• Functional analysis
• Advanced calculus
• Probability theory
• Harmonic analysis
• Mathematical foundations

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510005558

版次：1

商品編碼：10184606

包裝：平裝

外文名稱：Lebesgue Integration on Euclidean Space Revised Edition

開本：24開

齣版時間：2010-01-01

頁數：588

正文語種：英語

內容簡介

　　《歐氏空間上的勒貝格積分(修訂版)(英文版)》簡明、詳細地介紹勒貝格測度和Rn上的積分。《歐氏空間上的勒貝格積分(英文版)》的基本目的有四個，介紹勒貝格積分；從一開始引入n維空間；徹底介紹傅裏葉積分；深入講述實分析。貫穿全書的大量練習可以增強讀者對知識的理解。目次：Rn導論；Rn勒貝格測度；勒貝格積分的不變性；一些有趣的集閤；集閤代數和可測函數；積分；Rn勒貝格積分；Rn的Fubini定理；Gamma函數；Lp空間；抽象測度的乘積；捲積；Rn+上的傅裏葉變換；單變量傅裏葉積分；微分；R上函數的微分。
　　讀者對象：《歐氏空間上的勒貝格積分(修訂版)(英文版)》適用於數學專業的學生、老師和相關的科研人員。

內頁插圖

目錄

Preface
Bibliography
Acknowledgments
1 Introduction to Rn
A Sets
B Countable Sets
C Topology
D Compact Sets
E Continuity
F The Distance Function

2 Lebesgue Measure on Rn
A Construction
B Properties of Lebesgue Measure
C Appendix： Proof of P1 and P2

3 Invariance of Lebesgue Measure
A Some Linear Algebra
B Translation and Dilation
C Orthogonal Matrices
D The General Matrix

4 Some Interesting Sets
A A Nonmeasurable Set
B A Bevy of Cantor Sets
C The Lebesgue Function
D Appendix： The Modulus of Continuity of the Lebesgue Functions

5 Algebras of Sets and Measurable Functions
A Algebras and a-Algebras
B Borel Sets
C A Measurable Set which Is Not a Borel Set
D Measurable Functions
E Simple Functions

6 Integration
A Nonnegative Functions
B General Measurable Functions
C Almost Everywhere
D Integration Over Subsets of Rn
E Generalization： Measure Spaces
F Some Calculations
G Miscellany

7 Lebesgue Integral on Rn
A Riemann Integral
B Linear Change of Variables
C Approximation of Functions in L1
D Continuity of Translation in L1

8 Fubinis Theorem for Rn
9 The Gamma Function
A Definition and Simple Properties
B Generalization
C The Measure of Balls
D Further Properties of the Gamma Function
E Stirlings Formula
F The Gamma Function on R

10 LP Spaces ，
A Definition and Basic Inequalities
B Metric Spaces and Normed Spaces
C Completeness of Lp
D The Case p=∞
E Relations between Lp Spaces
F Approximation by C∞c (Rn)
G Miscellaneous Problems ;
H The Case 0[p[1

11 Products of Abstract Measures
A Products of 5-Algebras
B Monotone Classes
C Construction of the Product Measure
D The Fubini Theorem
E The Generalized Minkowski Inequality

12 Convolutions
A Formal Properties
B Basic Inequalities
C Approximate Identities

13 Fourier Transform on Rn
A Fourier Transform of Functions in L1 (Rn)
B The Inversion Theorem
C The Schwartz Class
D The Fourier-Plancherel Transform
E Hilbert Space
F Formal Application to Differential Equations
G Bessel Functions
H Special Results for n = i
I Hermite Polynomials

14 Fourier Series in One Variable
A Periodic Functions
B Trigonometric Series
C Fourier Coefficients
D Convergence of Fourier Series
E Summability of Fourier Series
F A Counterexample
G Parsevals Identity
H Poisson Summation Formula
I A Special Class of Sine Series

15 Differentiation
A The Vitali Covering Theorem
B The Hardy-Littlewood Maximal Function
C Lebesgues Differentiation Theorem
D The Lebesgue Set of a Function
E Points of Density
F Applications
G The Vitali Covering Theorem (Again)
H The Besicovitch Covering Theorem
I The Lebesgue Set of Order p
J Change of Variables
K Noninvertible Mappings

16 Differentiation for Functions on R
A Monotone Functions
B Jump Functions
C Another Theorem of Fubini
D Bounded Variation
E Absolute Continuity
F Further Discussion of Absolute Continuity
G Arc Length
H Nowhere Differentiable Functions
I Convex Functions
Index
Symbol Index

前言/序言

　　"Though of real knowledge there be little， yet of books there are plenty" -Herman Melville， Moby Dick， Chapter XXXI.
　　The treatment of integration developed by the French mathematician Henri Lebesgue （1875-1944） almost a century ago has proved to be indispensable in many areas of mathematics. Lebesgues theory is of such extreme importance because on the one hand it has rendered previous theories of integration virtually obsolete， and on the other hand it has not been replaced with a significantly different， better theory. Most subsequent important investigations of integration theory have extended or illuminated Lebesgues work.
　　In fact， as is so often the case in a new field of mathematics， many of the best consequences were given by the originator. For example，Lebesgues dominated convergence theorem， Lebesgues increasing convergence theorem， the theory of the Lebesgue function of the Cantor ternary set， and Lebesgues theory of differentiation of indefinite integrals.
　　Naturally， many splendid textbooks have been produced in this area.I shall list some of these below. They axe quite varied in their approach to the subject. My aims in the present book are as follows.
　　1. To present a slow introduction to Lebesgue integration Most books nowadays take the opposite tack. I have no argument with their approach， except that I feel that many students who see only a very rapid approach tend to lack strong intuition about measure and integration. That is why I have made Chapter 2， "Lebesgue measure on Rn，"so lengthy and have restricted it to Euclidean space， and why I have （somewhat inconveniently） placed Chapter 3， "Invaxiance of Lebesgue measure，" before Pubinis theorem. In my approach I have omitted much important material， for the sake of concreteness. As the title of the book signifies， I restrict attention almost entirely to Euclidean space.
　　2. To deal with n-dimensional spaces from the outset. I believe this is preferable to one standard approach to the theory which first thoroughly treats integration on the real line and then generalizes. There are several reasons for this belief. One is quite simply that significant figures are frequently easier to sketch in IRe than in R1！ Another is that some things in IR1 are so special that the generalization to Rn is not clear; for example， the structure of the most general open set in R1 is essentially trivial —— it must be a disjoint union of open intervals （see Problem 2.6）. A third is that coping with the n-dimensional case from the outset causes the learner to realize that it is not significantly more difficult than the one-dimensional case as far as many aspects of integration are concerned.
　　3. To provide a thorough treatment of Fourier analysis. One of the triumphs of Lebesgue integration is the fact that it provides definitive answers to many questions of Fourier analysis. I feel that without a thorough study of this topic the student is simply not well educated in integration theory. Chapter 13 is a very long one on the Fourier transform in several variables， and Chapter 14 also a very long one on Fourier series in one variable.

測度論與泛函分析基礎 專著簡介 本書係統地闡述瞭現代數學分析的兩大核心支柱：測度論（Measure Theory）與泛函分析（Functional Analysis）的基石概念、基本定理及其在解決經典分析問題中的應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在為讀者構建一個從拓撲基礎到高級抽象結構的堅實橋梁，尤其適閤數學、物理及相關工程領域的高年級本科生、研究生以及希望深化理論基礎的研究人員。 全書共分為四個主要部分，內容層層遞進，深入淺齣。 --- 第一部分：拓撲預備與集閤論基礎（Foundations of Topology and Set Theory） 本部分首先迴顧和深化瞭讀者對點集拓撲的理解，為後續的測度論奠定必要的空間結構基礎。我們從一般拓撲空間的概念齣發，詳細討論瞭開集、閉集、緊緻性（Compactness）、連通性（Connectedness）以及完備性（Completeness）等核心性質。 內容提要： 1. 拓撲空間的構造： 引入度量空間（Metric Spaces）作為具體的模型，探討開球、閉球的性質，並推廣到更一般的拓撲空間定義。重點分析瞭Hausdorff空間和完備度量空間（如Baire空間）的特性。 2. 函數空間拓撲： 討論函數空間的常見拓撲結構，包括逐點收斂、一緻收斂以及各種泛函分析中將扮演關鍵角色的拓撲概念（如緊開收斂）。 3. 可數緊緻性與Borel集： 緊緻性在分析中的重要性不言而喻。本章將深入探討可數緊緻性與序列緊緻性之間的關係，並詳述Borel $sigma$-代數（Borel $sigma$-algebra）的構造，這是定義測度的起點。我們精確地界定瞭在任何拓撲空間上，由開集生成的最小 $sigma$-代數及其重要性質。 --- 第二部分：測度論的構建（Construction of Measure Theory） 本部分是全書的核心基礎，專注於測度論的嚴格構建，從外部測度（Outer Measure）過渡到 $sigma$-有限測度（$sigma$-Finite Measures），並詳細介紹瞭勒貝格測度的構造過程。 內容提要： 1. Carathéodory擴張定理： 這是測度論的基石。我們將從一個給定的外部測度齣發，係統地構建可測集族（Measurable Sets）和對應的測度函數。詳細分析瞭 $sigma$-可加性（$sigma$-Additivity）和有限可加性之間的本質區彆。 2. $sigma$-有限測度的性質： 討論瞭 $sigma$-有限測度的定義及其在測度論中的特殊地位。我們將分析有限測度空間（Finite Measure Spaces）和 $sigma$-有限測度空間下的基本結構定理。 3. 乘積測度與Fubini定理的先導： 在建立單變量積分之前，本章引入瞭乘積空間的直觀概念，並為後續的Fubini和Tonelli定理的嚴格證明打下基礎。雖然本部分不深入多維積分，但會清晰展示如何通過Kolmogorov擴張原理構造乘積測度，這對於理解更高維度積分至關重要。 4. 有界函數與積分的定義： 詳細定義瞭簡單函數（Simple Functions）和非負可測函數。通過遞增逼近原理，嚴格定義瞭勒貝格積分（Lebesgue Integral）的概念，並探討瞭積分的單調性與連續性性質。 --- 第三部分：積分的深入研究與收斂性（Advanced Integration and Convergence Theorems） 本部分將積分的理論提升到更高的層次，重點研究各種收斂定理，它們是微積分中極限和積分順序交換的嚴格數學基礎。 內容提要： 1. 三大收斂定理的證明與應用： 本章對測度論中最著名的三個定理——單調收斂定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）、法圖勒引理（Fatou's Lemma）和占優收斂定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）——進行瞭詳盡的證明和對比。特彆強調瞭DCT在處理積分與微分關係時的強大威力。 2. $L^p$ 空間（Lebesgue Spaces）： 嚴格定義 $L^p$ 空間，並分析其作為賦範嚮量空間的基本屬性。 Hölder不等式與Minkowski不等式： 對 $L^p$ 空間上的乘積進行估計，證明瞭這些關鍵不等式的等價形式及其在分析中的應用。 完備性： 證明 $L^p$ 空間（對於 $p ge 1$）是完備的巴拿赫空間，這是泛函分析的基礎。 3. 積分的絕對連續性與Radon-Nikodym定理的鋪墊： 探討積分與測度的關係，引入絕對連續測度（Absolutely Continuous Measures）的概念，為後續的微分與積分關係（Radon-Nikodym導數）做好鋪墊。 --- 第四部分：泛函分析的引言（Introduction to Functional Analysis） 本部分將測度論的成果應用於抽象的函數空間，開啓瞭泛函分析的大門。重點關注綫性算子、拓撲嚮量空間以及對偶空間的概念。 內容提要： 1. 拓撲嚮量空間（Topological Vector Spaces）： 將嚮量空間的綫性結構與拓撲結構結閤起來。討論局部凸性（Local Convexity）和常見的拓撲結構（如 $|cdot|_p$ 範數下的結構）。 2. 巴拿赫空間與希爾伯特空間（Banach and Hilbert Spaces）： 集中討論完備的賦範嚮量空間。 希爾伯特空間： 引入內積概念，探討閉凸集上的投影定理，這是變分法和優化理論的基石。 Riesz錶示定理的初步介紹： 闡述瞭希爾伯特空間中綫性泛函的錶示形式，這是連接幾何結構與代數結構的關鍵橋梁。 3. 有界綫性算子（Bounded Linear Operators）： 定義算子的範數，並研究算子空間的拓撲結構。 4. Hahn-Banach定理的敘述與幾何意義： 闡述分離超平麵定理（Separation Hyperplane Theorem）的函數空間版本——Hahn-Banach擴張定理，並討論其在構造分離泛函方麵的關鍵作用，這是理解對偶空間結構的重要一步。 本書的結構旨在讓讀者在掌握瞭嚴格的測度論工具後，能夠自然地步入泛函分析的抽象世界，為處理偏微分方程、調和分析和概率論中的高級問題做好充分準備。全書的論證力求細緻入微，確保讀者能夠獨立地理解每一個理論推導的每一步。

評分☆☆☆☆☆

我閱讀這本書的初衷是想係統性地鞏固我在實分析和測度論方麵的知識體係，並特彆關注其在高等微積分和泛函分析中的應用前景。這本書的敘述風格非常嚴謹、邏輯鏈條環環相扣，它不像某些教材那樣過於口語化或試圖用過於簡化的比喻來“討好”初學者，而是直接深入到數學的本質，要求讀者具備一定的預備知識和專注度。作者在處理勒貝格測度和積分理論的構建時，每一步的推導都基於前一個已建立的框架，過渡自然且無可指摘。特彆是對於那些處理極限與積分交換順序的核心定理（如法圖/勒貝格控製收斂定理等），書中給齣的證明詳盡而透徹，不僅展示瞭“如何證明”，更闡釋瞭“為何如此”。對於希望達到能夠獨立進行數學研究水平的讀者而言，這種毫不妥協的嚴謹性是極其寶貴的財富。它迫使你不能走捷徑，必須真正理解每一個假設和每一步邏輯躍遷背後的深刻含義。

評分☆☆☆☆☆

這本書最讓我贊賞的一點是它所蘊含的深刻洞察力，它不僅僅停留在勒貝格積分技術的層麵，而是將測度論和積分理論置於更宏大的數學結構中進行審視。作者在論述過程中，經常會穿插一些曆史背景的簡要介紹，或者指齣某個理論的局限性及其如何啓發瞭後續更強大的理論（比如從黎曼到勒貝格，再到更一般的抽象積分理論）。這種“帶著曆史感”的敘述方式，使得讀者不僅學會瞭工具的使用，更能理解這些工具是如何在數學思想的演進中誕生的。它讓你看到，數學概念並非憑空齣現，而是解決實際難題的必然産物。通過對歐氏空間這一具體背景的深入探討，作者成功地架設瞭一座橋梁，連接瞭直觀的幾何感受與抽象的分析世界，為讀者未來涉足更廣闊的泛函分析或偏微分方程領域打下瞭堅實而靈活的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的國際化視野和其作為“修訂版”的價值，體現在它對現代數學術語和慣例的接納上。作為一個麵嚮全球讀者的英文原版教材，它使用的語言精準、規範，完全符閤國際主流數學期刊的錶達標準。這對於那些計劃未來在國際舞颱上進行學術交流或深造的讀者來說，是一個巨大的加分項。修訂版通常意味著它吸納瞭自初版以來學界對某些概念理解的深化或更優化的錶達方式，在這本書中，我能感受到作者對細節的打磨，比如對某些函數空間定義的細微調整，或是對某些經典例子論述方式的優化，都體現瞭作者緊跟時代步伐的專業態度。閱讀這樣的英文原著，本身就是一種對專業英語的訓練，它讓你習慣於用最精確的數學語言去思考問題，而不是依賴於二手翻譯可能帶來的歧義，這種沉浸式的學習體驗是無可替代的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計和紙張質量給我留下瞭非常深刻的印象。封麵采用瞭一種沉穩的深藍色調，配閤燙金的書名，散發齣一種專業而又不失典雅的氣質。拿在手裏，能感受到紙張的厚實與光滑，這對於一本數學專著來說至關重要，因為它意味著在反復翻閱和演算的過程中，書頁不易磨損或泛黃。內頁的排版也極其考究，黑白分明的字體和清晰的數學符號排列，讓閱讀體驗得到瞭極大的提升。很多時候，公式的閱讀體驗的好壞，很大程度上取決於排版是否舒適，而這本書在這方麵做得非常齣色，即便是麵對那些錯綜復雜的積分定義和定理證明，也能保持視覺上的清晰度，減少瞭閱讀疲勞感。我尤其欣賞它在圖錶和示意圖上的處理，雖然是純數學書，但某些概念的引入圖示清晰明瞭，即使是抽象的概念，也能通過直觀的幾何理解作為輔助，這對於深入理解那些依賴於空間想象力的理論基礎非常有幫助。整體而言，它不僅僅是一本知識的載體，更像是一件精心打磨的藝術品，讓人在翻閱時便心生敬畏，願意花更多時間沉浸其中。

評分☆☆☆☆☆

從教學法的角度來看，這本書更像是為研究生或高年級本科生量身定做的進階讀物，而非入門教科書。它的難度麯綫設置得比較陡峭，開篇便直奔主題，對基礎概念的鋪墊相對較少，更多的是假設讀者已經熟悉瞭黎曼積分和基礎拓撲概念。然而，正是這種略帶挑戰性的設計，反而激發瞭我主動探索的欲望。書中提供的習題設計得極為巧妙，它們並非簡單的計算題，而是很多具有啓發性的命題，旨在鞏固讀者對理論的理解，並引導他們思考積分理論在更高維度空間中的推廣可能性。我發現，認真思考並嘗試解決這些習題的過程，比單純閱讀章節內容更能鞏固知識點。每當解決一個復雜的習題後，那種豁然開朗的感覺，正是高級數學學習中最令人著迷的部分，而這本書恰恰提供瞭充足的“成就點”來維持學習的熱情。

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不上什麼興趣瞭，結果後期學習情況就會非常糟糕. 

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的內容就像“樹上垂下來的果子，需要跳一跳纔能

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、3

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適當運用一些教學理論和技巧，盡量減少該課程特

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