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《微分方程数值解法（第4版）》共分7个章节，主要对微分方程数值解法作了介绍，具体内容包括常微分方程初值问题的数值解法、椭圆型方程的有限差分法、抛物型方程的有限差分法、双曲型方程的有限差分法等。该书可供各大专院校作为教材使用，也可供从事相关工作的人员作为参考用书使用。内容简介
《微分方程数值解法（第4版）》是编者在《微分方程数值解法》（第三版）的基础上修订而成的。本次修订的宗旨是加强方法及其应用，考虑到不同院校的需要，仍然保留常微分方程数值解法这一章。为了更方便教学，采取先介绍有限差分法，后介绍GMerkin有限元法，去掉原来的第七章，将离散方程的有关解法与椭圆方程的差分法和有限元法合并，同时增设了一些数值例子，适当删减部分理论内容，突出应用，降低难度。《微分方程数值解法（第4版）》包括六章，第一章为常微分方程数值解法，第二章至第四章为椭圆、抛物和双曲偏微分方程的有限差分法，第五章、第六章为Galerkin有限元法。《微分方程数值解法（第4版）》是为信息与计算科学专业编写的教材，也可以作为数学与应用数学、力学及某些工程科学专业的教学用书，对于从事科学技术、工程与科学计算的专业人员也有参考价值。
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目录
第一章 常微分方程初值问题的数值解法1 引论
1.1 一阶常微分方程初值问题
1.2 Euler法
1.3 线性差分方程
1.4 Gronwall不等式
习题
2 线性多步法
2.1 数值积分法
2.2 待定系数法
2.3 预估-校正算法
2.4 多步法的计算问题
习题
3 相容性、稳定性和误差估计
3.1 局部截断误差和相容性
3.2 稳定性
3.3 收敛性和误差估计
习题
4 单步法和Runge-Kutta（龙格-库塔）法
4.1 Tsylor展开法
4.2 单步法的稳定性和收敛性
4.3 Runge-Kutta法
习题
5 绝对稳定性和绝对稳定域
5.1 绝对稳定性
5.2 绝对稳定域
5.3 应用例子
习题
6 一阶方程组和刚性问题
6.1 对一阶方程组的推广
6.2 刚性问题
6.3 A稳定性
6.4 数值例子
7 外推法
7.1 多项式外推
7.2 对初值问题的应用
7.3 用外推法估计误差
习题
第二章 椭圆型方程的有限差分法
1 差分逼近的基本概念
2 一维差分格式
2.1 直接差分化
2.2 有限体积法
2.3 待定系数法
2.4 边值条件的处理
习题
3 矩形网的差分格式
3.1 五点差分格式
3.2 边值条件的处理
3.3 极坐标形式的差分格式
习题
4 三角网的差分格式
习题
5 极值定理和敛速估计
5.1 差分方程
5.2 极值定理
5.3 五点格式的敛速估计
习题
6 迭代法
6.1 一般迭代法
6.2 SOR法（逐次超松弛法）
习题
7 交替方向迭代法
习题
8 预处理共轭梯度法
8.1 共轭梯度法
8.2 预处理共轭梯度法
习题
9 数值例子
第三章 抛物型方程的有限差分法
1 最简差分格式
习题
2 稳定性与收敛性
2.1 稳定性概念
2.2 判别稳定性的直接估计法（矩阵法）
2.3 收敛性与敛速估计
习题
3 Fourier方法
习题
4 判别差分格式稳定性的代数准则
习题
5 变系数抛物方程
习题
6 分数步长法
6.1 ADI法
6.2 预-校法
6.3 LOD法
习题
7 数值例子
7.1 一维抛物方程的初边值问题
7.2 二维抛物方程的初边值问题
7.3 含对流项的抛物方程
第四章 双曲型方程的有限差分法
1 波动方程的差分逼近
1.1 波动方程及其特征
1.2 显格式
1.3 稳定性分析
1.4 隐格式
1.5 数值例子
习题
2 一阶线性双曲方程组
2.1 双曲型方程组及其特征
2.2 Cauchy问题、依存域、影响域和决定域
2.3 初边值问题
习题
3 初值问题的差分逼近
3.1 迎风格式
3.2 积分守恒差分格式
3.3 粘性差分格式
3.4 其他差分格式
习题
4 初边值问题和对流占优扩散方程
4.1 初边值问题
4.2 对流占优扩散方程
4.3 数值例子
习题
第五章 边值问题的变分形式与Ritz-Galerkin法
1 二次函数的极值
习题
2 Sobolev空间初步
2.1 弦的平衡
2.2 一维区间上的sobolev空间Hm（I）
2.3 平面域上的Sobolev空间Hm（G）
习题
3 两点边值问题
3.1 极小位能原理
3.2 虚功原理
习题
4 二阶椭圆边值问题
4.1 极小位能原理
4.2 自然边值条件
4.3 虚功原理
习题
5 Ritz-Galerkin方法
习题
6 谱方法
6.1 三角?数逼近
6.2 Fourier谱方法
6.3 拟谱方法（配置法）
第六章 Galerkin有限元法
1 两点边值问题的有限元法
1.1 从Ritz法出发
1.2 从Galerkin法出发
1.3 收敛性和误差估计
习题
2 一维高次元
2.1 一次元（线性元）
2.2 二次元
2.3 三次元
习题
3 解二维问题的矩形元
3.1 Lagrange型公式
3.2 Hermite型公式
习题
4 三角形元
4.1 面积坐标及有关公式
4.2 Lagrange型公式
4.3 Hermite型公式
习题
5 曲边元和等参变换
6 二阶椭圆方程的有限元法
6.1 有限元方程的形成
6.2 矩阵元素的计算
6.3 边值条件的处理
6.4 举例：Poisson方程的有限元法
6.5 数值例子
习题
7 多重网格法
7.1 差分形式的二重网格法
7.2 有限元形式的二重网格法
7.3 多重网格迭代和套迭代技术
8 初边值问题的有限元法
8.1 热传导方程
8.2 波动方程
名词索引
参考文献
用户评价
我是一名博士后，研究方向是气候建模。气候系统本身就是一个极其复杂的耦合系统，其演化过程需要用大量的偏微分方程来描述，涉及大气、海洋、陆地表面的物理过程。《微分方程数值解法（第4版）》这本书，为我处理这些复杂的模型提供了坚实的基础。我尤其欣赏书中对有限元法在处理复杂几何区域上的优势的阐述。气候模型通常需要处理不规则的地球表面几何形状，而有限元法能够非常灵活地适应这些复杂形状，从而提高模型的准确性。我过去在进行气候区域模型模拟时，就曾因为模型区域的边界处理不当，导致模拟结果出现偏差。这本书详细解释了有限元法的基本原理，包括单元划分、形函数插值以及刚度矩阵的构建等，这让我对模型离散化过程有了更深入的理解。书中提供的算例也涵盖了一些气候相关的应用，比如二维传热模型、流体动力学方程的数值求解等，这让我能够快速地将书中的理论知识应用于我自己的气候模型研究。我特别对书中关于多尺度问题和并行计算的讨论感兴趣，气候模型通常需要处理非常大的计算域和多尺度的物理过程，而高效的数值方法和并行计算是实现这些模型计算的关键。我正在尝试将书中介绍的更高级的有限元方法，如自适应网格细化技术，与高效的并行计算策略相结合，应用于我们正在开发的新一代气候模型，希望能实现更高分辨率和更长期的气候模拟，从而更好地理解气候变化及其对地球的影响。
评分我是一名金融工程专业的学生，我们经常需要对金融市场进行建模和风险评估。很多金融模型，比如期权定价模型、利率模型等，都涉及到偏微分方程的求解。《微分方程数值解法（第4版）》这本书，为我提供了理解这些模型背后数学原理的有力工具。我尤其欣赏书中对有限差分法在处理偏微分方程方面的详细介绍，这对于求解Black-Scholes方程等经典金融模型至关重要。我过去在进行期权定价的数值模拟时，就曾因为对有限差分法的理解不够深入，导致计算结果出现不准确的情况。这本书详细解释了不同有限差分格式（如前向差分、后向差分、Crank-Nicolson方法）的优缺点，以及如何选择最适合金融应用的格式。书中提供的算例也包含了许多金融领域的实际问题，比如美式期权的定价、VaR（风险价值）的计算等，这让我能够快速地将书中的理论知识应用于我自己的金融建模研究。我特别对书中关于蒙特卡罗模拟方法的介绍感兴趣，这是一种非常强大的数值方法，能够用于处理高维度的金融问题，比如多资产期权定价。我正在尝试将书中介绍的蒙特卡罗模拟方法与有限差分法相结合，应用于我们正在研究的复杂金融衍生品定价问题，希望能获得更精确的定价结果，从而更好地进行风险管理和投资决策。
评分一直以来，我对工程领域中的各种模拟和优化问题都充满了好奇，而我深知，这些问题的背后往往离不开微分方程的求解。《微分方程数值解法（第4版）》这本书，就像是一本为我量身定制的“工程计算圣经”。我特别喜欢书中对各种方法的几何解释，比如用斜率来逼近曲线的直观理解，这让我这个工程背景不是特别强的读者，也能迅速把握核心概念。书中对不同方法的误差分析非常详尽，让我能够理解为什么某些方法在某些情况下表现更好，以及如何通过调整参数来优化计算精度。我过去在进行有限元分析时，常常会因为对数值离散的理解不够深入，导致最终的模拟结果出现较大的误差。这本书对有限差分法、有限元法等离散化方法的介绍，让我对这些核心技术有了更清晰的认识，也帮助我理解了它们在工程应用中的优势和局限性。书中提供的丰富算例，覆盖了结构力学、热传导、流体力学等多个工程领域，这极大地拓展了我解决实际工程问题的思路。我特别欣赏书中关于边界条件处理的讨论，在工程实际中，如何准确地施加边界条件，往往是影响数值结果准确性的关键因素。这本书在这方面的详细指导，为我解决实际工程问题提供了宝贵的参考。我目前正在尝试将书中介绍的一些方法，应用于我们公司的新产品开发中的结构强度仿真，希望能通过更精确的数值模拟，提升产品的设计效率和可靠性。
评分作为一名数学专业的学生，我一直对如何“计算”出微分方程的解感到好奇。《微分方程数值解法（第4版）》这本书，以一种非常引人入胜的方式解答了我的疑惑。我一直觉得，数学的魅力不仅仅在于抽象的符号和推理，更在于它能够被用来描述和解决现实世界的问题。这本书就完美地展示了这一点。它没有回避数值解法背后严谨的数学理论，但同时又巧妙地将其与直观的几何解释和实际应用相结合。我最喜欢的部分是对误差的讨论，包括截断误差和舍入误差，以及如何通过控制这些误差来获得所需精度的解。这让我意识到，数值解法并非“近似”，而是一个精确控制误差的过程。书中对各种方法的比较分析，例如不同阶次龙格-库塔方法的效率和精度权衡，让我对数值分析有了更深刻的理解。我曾经在完成一些课程作业时，因为对数值方法的理解不够透彻，导致结果不准确，白白浪费了很多时间。这本书的出现，让我能够更自信地面对这些挑战。我特别喜欢书中对自适应步长控制方法的介绍，这是一种非常巧妙的设计，能够根据问题的局部特性动态调整计算步长，从而在保证精度的同时，最大限度地减少计算量。这对于解决一些需要高精度求解的问题，例如涉及奇异点或者变化剧烈的方程，非常有帮助。这本书让我看到了数学在计算科学领域的强大应用能力，也为我未来的学术研究方向提供了新的启示。
评分我是一名业余的物理爱好者，常常阅读一些科普读物，对一些宏大的物理理论感到着迷。但很多时候，这些理论都伴随着复杂的微分方程，让我望而却步。《微分方程数值解法（第4版）》这本书，虽然名字听起来有些学术，但它却以一种非常易于理解的方式，为我打开了一扇通往物理世界“计算”之门。我尤其喜欢书中用图示化的方式来解释各种数值方法的原理，比如用一个个小步长来逼近曲线的例子，让我这个非数学专业出身的人也能很快领会其精髓。它让我明白，即使解析解不存在，我们依然可以通过巧妙的数值方法来“模拟”出方程的行为，从而理解背后所蕴含的物理规律。书中介绍的各种方法，比如向前欧拉法、向后欧拉法，以及它们之间的优劣，都让我对数值计算有了更清晰的认识。我特别欣赏书中关于稳定性分析的部分，虽然我可能无法深入理解所有数学证明，但至少我知道了在进行模拟时，需要注意哪些可能导致结果失真的陷阱。这本书让我能够用一种全新的视角来审视那些我曾经觉得遥不可及的物理问题，比如行星的轨道运动、热量的传导等等。我甚至开始尝试用这本书中的方法，在一些简单的编程语言中实现一些基础的物理模拟，虽然结果可能不够精确，但这个过程本身就充满了乐趣和成就感。这本书极大地激发了我对科学计算的兴趣，让我觉得科学探索并非只有理论，更包含着强大的计算能力。
评分作为一名在生物信息学领域工作的研究员，我经常需要处理大量的基因组数据和蛋白质序列。在这些数据的背后，往往隐藏着复杂的动力学模型和反馈机制，这些模型通常需要用微分方程来描述。《微分方程数值解法（第4版）》这本书，为我提供了强有力的工具来解决这些挑战。我尤其欣赏书中对多种方法的对比分析，例如显式和隐式方法的权衡，这对于我选择最适合我生物模型的方法至关重要。在处理一些具有 stiff 特征的微分方程时，我过去常常遇到数值不稳定的问题，导致仿真结果无法信赖。这本书详细介绍了处理 stiff 方程的数值方法，以及如何选择合适的步长和求解器，这大大提高了我的数据分析效率和结果的可信度。书中提供的算例也很有启发性，很多都与生物学相关，比如种群动力学模型、药物代谢模型等，这让我能够快速地将书中的理论知识应用于我自己的研究课题。我尤其对书中关于守恒律的数值处理方法感兴趣，在许多生物系统中，物质和能量的守恒是基本原理，而数值方法能否准确地保持这些守恒律，直接关系到模型结果的可靠性。这本书在这方面的讨论，给了我非常大的启发。我正在尝试将书中介绍的更高级的数值方法，如多步法和预测-校正法，应用于我正在研究的基因调控网络的模型中，希望能获得更精确的模拟结果。
评分这本书的出现，对我这个一直以来都在与复杂数学模型搏斗的研究生来说，简直是一场及时雨。我过去在处理某些实际问题时，常常会遇到解析解难以获得，甚至完全不存在的瓶颈。那种感觉就像是面对一座高不可攀的山峰，知道它下面蕴藏着宝藏，却始终找不到一条可行的攀登路线。而《微分方程数值解法（第4版）》这本书，就像是为我量身打造的登山工具箱，它系统地梳理了各种数值方法的原理、优缺点以及适用范围。我特别喜欢它对欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法等经典方法的详细阐述，不仅仅是公式的堆砌，更是从几何意义上，通过图形化的解释，让我深刻理解了这些方法是如何逼近真实解的。书中对每种方法的误差分析也相当到位，让我能够清晰地认识到不同方法的精度差异，以及如何根据问题的特性选择最合适的方法，这对于我后续的实验设计和数据分析至关重要。另外，书中还引入了一些更高级的数值技术，比如有限差分法、有限元法等，这对我拓展研究思路，尝试解决更复杂的偏微分方程问题提供了理论基础和实践指导。我不得不说，这本书的编排结构非常合理，从基础概念到高级应用，循序渐进，即使是我这样背景不是特别深厚的读者，也能逐步掌握。在实际应用层面，书中提供的算例也非常丰富，覆盖了物理、工程、生物等多个领域，这让我能够很快地将书本知识与我的研究课题联系起来，大大缩短了理论转化为实践的距离。总而言之，这本书是我近期在学术道路上遇到的最宝贵的财富之一，它不仅提升了我的理论认知，更激发了我利用数值方法解决实际问题的信心和能力。
评分我是一名软件工程师，日常工作中经常需要处理一些需要模拟物理过程的场景，比如流体动力学仿真、结构应力分析等等。这些场景往往涉及到复杂的微分方程，而传统的解析求解方式不仅耗时耗力，很多时候根本行不通。因此，一本好的微分方程数值解法教材就显得尤为重要。《微分方程数值解法（第4版）》这本书，恰恰填补了我在这方面的知识空白。我尤其欣赏书中关于算法稳定性和收敛性的讨论，这对于我编写鲁棒的仿真程序来说是至关重要的。我之前就遇到过因为算法选择不当，导致仿真结果出现震荡甚至发散的情况，这种经历非常令人沮丧。这本书详细解释了不同数值方法的稳定性条件，以及如何通过步长选择、算法改进来提高计算的稳定性。此外，书中还提供了一些关于如何将这些数值方法实现为计算机程序的建议和伪代码，这对我来说简直是雪中送炭。我曾经尝试自己从零开始编写求解器，但往往会因为对细节把握不准而效率低下，甚至出现错误。而这本书提供的指导，让我能够更清晰地理解算法的实现细节，更快地构建出高效可靠的数值求解模块。我特别喜欢书中关于并行计算和GPU加速的内容，这对于处理大规模的仿真问题来说，是提升计算效率的关键。我目前正在尝试将书中介绍的一些方法应用到我们公司的产品研发中，希望能通过更精确的数值模拟，提升产品的性能和可靠性。这本书的实践指导性很强，让我觉得学到的知识能够真正落地，而不是停留在理论层面。
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