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叶立军 著

图书标签:

• 数学
• 方法论
• 数学哲学
• 科学研究
• 逻辑学
• 数学史
• 数学教育
• 学术研究
• 理论基础
• 数学思维

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308058926

版次：1

商品编码：10752049

包装：平装

开本：16开

出版时间：2008-06-01

页数：335

正文语种：中文

内容简介

《数学方法论》共十章，在介绍数学方法论的学科性质、研究对象、发展简史以及研究意义的基础上，结合数学思想方法，介绍了数学发展史上的三次危机以及数学悖论，阐述了数学化归思想、类比、归纳、猜想等数学发现的基本方法以及它们在数学解题中的应用，介绍了数形结合、构造法等数学方法在数学解题中的应用。《数学方法论》还介绍了数学建模、数学美学方法在数学发现中的应用，在此基础上，阐述了数学证明方法和数学结论的发现方法，力图让读者掌握数学方法论在数学解题中的意义、作用，领悟数学思想。

作者简介

叶立军，杭州师范大学理学院数学系副教授，教育学硕士，硕士生导师，主要从事数学教育研究。
2004年获得浙江省高校青年基金资助项目，2006年入选杭州市“131”优秀中青年人才第二层次培养人选，2007年入选浙江省“新世纪151人才工程”第三层次培养人选。
近年来，在《教育探索》、《高等理科教育》、《数学教育学报》、《数学通报》、《中学数学教学参考》等杂志上发表论文30多篇。在科学出版社、广东教育出版社、浙江大学出版社等出版《数学化归思维论》、《新课程中学数学实用教学80法》、《现代数学教学论》等专著、教材十多部，主编初中数学教与学同步训练十多册。主持省级、市级、校级课题十多项。多次获得浙江省自然科学优秀论文，多次获得市级、校级优秀带队教师，2007年获得校首届“科研促教学”先进个人。
社会兼职情况：《数学教育学报》编委，全国高等师范院校数学教育研究会理事，浙江省数学教育学会中学数学教学分会常务理事。

目录

第一章 数学方法论简介
第一节 相关概念辨析
第二节 数学方法论在数学中的作用和地位

第二章 数学方法论的发展和演进
第一节 数学思想方法的发展历史
第二节 数学思想方法的几次重大突破

第三章 数学悖论与数学危机
第一节 数学悖论
第二节 数学危机
第三节 数学基础的三大学派

第四章 数学抽象与数学建模
第一节 数学抽象方法
第二节 数学建模

第五章 常见的数学思想与数学解题
第一节 符号化思想
第二节 方程与函数思想
第三节 公理化思想
第四节 整体化思想
第五节 分类讨论思想
第六节 集合思想

第六章 常见的数学方法与数学解题
第一节 数形结合方法
第二节 优化决策
第三节 计算两次
第四节 转化与变换思想
第五节 化归方法
第六节 关系映射反演方法
第七节 构造法
第八节 逐步逼进法
第九节 特殊化和一般化

第七章 数学发现方法
第一节 观察和实验
第二节 猜想
第三节 归纳法
第四节 类比
第五节 演绎推理

第八章 数学证明方法
第一节 数学归纳法
第二节 数学归纳法在中学阶段的应用举例
第三节 反证法与同一法
第四节 综合法与分析法

第九章 数学美学法
第一节 数学美概述
第二节 数学美的特征
第三节 数学美的教学功能
第四节 培养数学美的途径

第十章 数学方法论与数学教育
第一节 数学思想方法在数学教学中的意义和作用
第二节 数学思想方法论的课堂教学策略
参考文献

精彩书摘

（3）技巧性的数学方法，如换元法、待定系数法、配方法等，它们往往和具体数学内容联系在一起，是解决某类数学问题的方法。
若按数学方法的运用功能可分为数学发现方法、数学证明方法等。
七、数学方法的特点
数学方法具有以下几个特点：
（一）概括性
数学知识的学习离不开概括，且较之其他学科的知识更抽象、更概括。例如，物理学中的匀速直线运动的运动规律s＝vt（s、v、t分别表示运动的路程、速度和时间）和简谐运动的规律（m、x、a分别表示小球的质量、离开平衡位置的位移和运动的加速度，k是常数）均是对现实世界具体事物的抽象和概括，而数学上的正比例函数概念则是在上述基础上的再抽象和再概括。数学思想方法是不断从数学概念、数学命题和数学理论中提炼和概括的产物。正是由于数学对象本身的概括性以及数学思想方法又是对数学知识的提炼和再概括，使得概括性成为数学思想方法的最本质的特征。
数学思想方法一旦形成，便舍弃了具体的数学内容，只以形式而存在，从而可以运用到一切合适的场合之中。例如，数学中的关系映射反演法的建立标志着一般的化归方法达到更高更新的抽象概括程度，因而成为数学研究各个领域中有普遍应用价值的一般方法。
（二）隶属性
数学思想方法高度的概括性，使它不同于具体的数学知识，而以元认知的形态与数学知识浑然一体地存在着，成为数学科学体系中两个不可分割的部分。数学知识内部蕴涵着丰富的数学思想方法，数学思想方法隶属于数学知识。形象地说，数学思想方法是生长在数学知识这块“皮”上的“毛”。数学知识成为数学思想方法的载体，数学思想方法通过数学知识来显化。

前言/序言

　　随着数学教育改革与发展的不断深人，数学思想方法在数学教学中的重要性日趋凸现，人们已经越来越认识到数学思想方法是数学教学的重要内容。
　　数学方法论是哲学、方法论和数学史等多门学科的交叉科学，其着眼点在于数学的创新。它是研究数学发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明等的一门学科。数学思想方法是数学的核心与灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动力。
　　中外数学家都十分重视数学思想方法的研究与应用。日本著名数学教育家米山国藏曾说过：科学工作者所需要的数学知识，相对地说是不多的，而数学的精神、思想与方法却是绝对必要的。数学的知识可以记忆一时，但数学的精神、思想和方法却随时随地发挥作用，可以使人受益终身。
　　作为数学教师了解数学思想方法的产生、发展和特点，掌握数学中的典型方法，了解数学的创造法则以及数学运动发展规律，形成正确的数学观，并能自觉地用数学方法论去指导数学学习与数学教学，从而提高数学教师驾驭教材之能力，是十分重要的。

《几何的奇迹：从欧几里得到非欧几何的探索》 一、 绪论：空间的直觉与逻辑的疆域 本书并非探讨抽象的数学推理的通用框架，亦非聚焦于数域、函数或代数结构的演化。相反，我们选择了一条更为具体、更贴近人类直观认知的路径——对“空间”的理解与描述的演变史。我们将目光投向几何学，这一人类文明早期便试图用严谨的公理去锚定我们所感知的外部世界的基础学科。 《几何的奇迹》旨在梳理自古希腊黄金时代，以欧几里得的《几何原本》为基石，人类对平面和立体构型的认识如何一步步被拓展、挑战，最终实现范式转移的过程。我们关注的重点在于那些深刻影响了物理学、哲学乃至艺术形式的几何思想，而非数学逻辑的构建方法论本身。 二、 欧氏几何的辉煌与基石 本书的首篇将详尽剖析“公理化方法”的典范——欧几里得几何。我们不会深入探讨如何运用这些公理进行逻辑演绎的技巧（这属于方法论的范畴），而是专注于欧氏几何所建立的空间模型的内在美感与局限性。 我们将详细解读五条公设和五条公理，特别是被誉为“几何学皇冠”的第五公设——平行公设。我们会描述亚历山大港学派的学者们如何长期试图从前四条公设中推导出第五公设，这种近乎宗教般的执着，体现了当时数学家对“完美”和“自洽”的追求。我们将分析欧氏体系如何成功地为古代工程、天文学和建筑学提供了精确的数学语言，描述了在平坦空间中直线、角、三角形和圆的确定关系。这部分内容，是对一个稳定、永恒的宇宙图像的数学刻画。 三、 悖论的萌芽：曲率的首次触碰 在欧氏几何近两千年的统治地位下，第五公设的“多余性”始终像一根刺。本书的第二部分将聚焦于这种“不适感”如何催生了数学史上最伟大的革命之一。 我们将回顾那些试图构造“反例”的努力。这些尝试并非为了建立新理论，而是为了证明第五公设的独立性——即，如果第五公设不成立，会产生什么样的逻辑后果。我们将详细考察那些早期探索者们在尝试“否定”平行公设时，无意中触及到的非欧几何的雏形。例如，关于在球面上观察三角形内角和的现象，以及对双曲空间中“缺陷”的早期直观理解。这一阶段的叙述，着重于描述在欧氏框架下思考其边界的思维过程。 四、 黎曼与罗巴切夫斯基：非欧空间的诞生与特征 本书的核心叙事转向了十九世纪中叶，两位巨匠——尼古拉·罗巴切夫斯基和伯恩哈德·黎曼——如何最终完成了对空间的彻底解放。我们不会着重分析他们构建全新代数工具的过程，而是侧重于他们所揭示的空间本质的多元性。 罗巴切夫斯基的成果将被描绘为对“负曲率”空间的首次系统性构建。我们将通过具体的情境演示，说明在双曲空间中，三角形的内角和总是小于180度，且不存在与给定直线平行的直线。我们将深入探讨这些反直觉的性质如何影响了基本的几何关系，例如圆的周长与半径之间的关系不再是简单的线性比例。 黎曼的贡献则更为深远和抽象，他提出了一个更为广阔的框架——黎曼几何。这里的关键概念不是平行性，而是曲率和度量。我们将探讨黎曼如何将几何学从欧几里得所限定的“平面”或“简单曲面”中解放出来，允许空间在任何一点拥有不同的弯曲程度。我们将使用图像化的方式，对比描述在恒定正曲率（球面几何）、恒定负曲率（双曲几何）和可变曲率（黎曼几何）空间中，测地线（最短路径）的行为差异。 五、 几何与物理的交汇：从空间到时空 几何学的革命并非仅仅停留在纯数学领域。本书的最后部分将探讨非欧几何如何找到了其在自然科学中的决定性应用。 我们将简要回顾爱因斯坦的狭义相对论如何将欧氏空间的概念引入了时间维度，形成了闵可夫斯基的四维时空。随后，我们将详细分析广义相对论中的核心思想：引力即时空的弯曲。在这里，黎曼几何不再是数学家的智力游戏，而是描述引力场的精确工具。行星的轨道、光线的弯曲，都源于物质对周围时空结构的“弯曲”作用。 本书的结尾将强调，几何学的演进史，本质上是人类对外部世界模型不断修正和深化的历史。从欧几里得那坚实的平面，到爱因斯坦那动态的时空，我们所学到的不是一套解决问题的技巧，而是理解世界存在形式的全新语言。我们追求的是空间本身的结构，而非组织数学推理的通用方法。 （全书篇幅重点在于描述不同几何体系下的具体空间性质、公理的逻辑替代后果，以及空间概念的哲学意义，完全避开了关于“什么是好的数学证明方法”、“如何进行严格演绎”或“代数结构如何抽象化”的讨论。）

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书和我想象中的“数学方法论”完全是两码事。我原本以为，这会是一本深入探讨数学思维本质的书籍，它或许会解析数学家们是如何进行抽象和概括的，是如何发现模式和规律的，又是如何在严谨的逻辑框架下构建出庞大而精妙的数学体系的。我期待它能帮助我理解数学的语言，掌握数学的思考方式，让我能够更深刻地洞察事物的本质，并运用数学的思维去分析和解决各种问题。我甚至希望，书中能够包含一些关于数学哲学和数学史的讨论，让我从更广阔的视野去认识数学的演进历程及其在人类文明中的地位。我期望它能是一本能够启迪思想、拓展视野的书籍，让我不仅学会“如何做数学”，更能理解“数学是什么”。然而，这本书的内容，完全没有达到我预期的任何一个点，与我理解的“数学方法论”完全不搭边。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对不是我想象的那种“数学方法论”。我本来以为它会像一本学习方法指导手册，手把手教我如何更高效地理解和掌握数学概念，比如如何构建清晰的解题思路，如何避免常见的思维误区，甚至可能会分享一些学习心得和励志故事，让我觉得学习数学不再那么枯燥乏味。我期待着里面能有各种各样的学习技巧，比如如何快速定位问题核心，如何有效地归纳总结，如何利用图表辅助理解等等，希望能从中找到一些能切实提升我数学成绩的“秘籍”。甚至，我脑海中描绘的画面是，它会像一位循循善诱的老师，用平易近人的语言，带领我穿越数学的迷宫，让我不再对复杂的公式和定理感到畏惧，而是能从中发现数学的逻辑之美和趣味所在。我期待它能帮助我建立起对数学的信心，甚至培养出我对数学的浓厚兴趣，让我不再只是为了应付考试而学习，而是能真正地享受数学带来的思考乐趣。然而，拿到这本书后，我才发现我的期待完全落空了，它与我所设想的“方法论”几乎没有任何关联。

评分☆☆☆☆☆

我承认，我对于这本书的封面和标题产生了一点误解，本来以为它会是一本深入剖析数学推理过程的书籍。我曾设想，它可能会详细讲解不同类型的数学证明方法，比如直接证明、反证法、数学归纳法等等，并且通过大量的实例来演示这些方法的具体运用。我期望书中能够清晰地阐释数学公理、定义、定理之间的逻辑关系，帮助读者建立起严谨的数学思维框架。也许，它还会涉及一些关于集合论、逻辑学等基础数学理论的介绍，为理解更复杂的数学概念打下基础。我甚至期待，这本书能够引导我学习如何进行数学建模，如何将现实世界中的问题转化为数学模型，并利用数学工具来解决它们。这样一来，不仅能提升我的解题能力，更能培养我独立分析和解决问题的能力，让我在面对各种挑战时，都能运用数学的思维方式去应对。然而，这本书的内容，完全没有触及到我所想象的任何一个方面，它和我理解的“数学方法论”南辕北辙。

评分☆☆☆☆☆

我以为这会是一本教我如何学习和理解数学的书，比如如何高效地记忆数学公式，如何培养数学直觉，或者如何克服学习数学时的畏难情绪。我曾憧憬着书中会有各种各样的学习策略，能够帮助我循序渐进地掌握复杂的数学知识，并且能找到适合自己的学习节奏。或许，它还会包含一些关于数学学习心理学的讨论，帮助我认识到自己在学习过程中可能遇到的心理障碍，并提供有效的解决方案。我甚至期待，书中能分享一些来自成功数学学习者的经验，让他们的人生故事和学习心得能够激励我，让我对数学学习充满信心和动力。我设想它应该是一本充满了积极向上能量的书，能够点燃我对数学学习的热情，让我从被动应付转向主动探索。可我拿到这本书后，才发现我的所有设想，都与这本书的内容毫无关联，这完全不是我期望的“数学方法论”。

评分☆☆☆☆☆

我真是太失望了！翻开这本书，我以为会看到一些关于数学史的有趣轶事，或者是一些数学家们如何思考、如何解决难题的案例分析。我希望能从中了解那些伟大的数学发现是如何诞生的，是怎样的灵感火花，或是漫长的探索过程，促成了那些我们现在耳熟能详的定理和公式。或许，书中还会穿插一些关于数学在不同领域应用的精彩故事，比如它如何在物理学、计算机科学、经济学甚至艺术中扮演着不可或缺的角色，这样能让我更直观地感受到数学的魅力和实用性。我还设想，作者可能会在书中探讨数学教育的理念，或者分享一些关于培养数学思维的思考，例如如何从小培养孩子的逻辑能力，如何引导他们建立抽象思维等等。这本《数学方法论》在我脑海中应该是一本充满智慧启迪的书籍，能让我从更宏观的视角去理解数学这门学科的本质，以及它在人类文明发展中的重要地位。可结果呢？完全不是那么回事，它所包含的内容，与我脑海中对“数学方法论”的任何一点期待都背道而驰。

评分☆☆☆☆☆

不错，上课需要就买了。

评分☆☆☆☆☆

哈哈哈哈

评分☆☆☆☆☆

哈哈哈哈

评分☆☆☆☆☆

书的内容很好，看了很有收获。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

很强大~~~~~~~~~~~~

评分☆☆☆☆☆

哈哈哈哈

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还可以的

评分☆☆☆☆☆

还可以的