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葉立軍 著

圖書標籤:

• 數學
• 方法論
• 數學哲學
• 科學研究
• 邏輯學
• 數學史
• 數學教育
• 學術研究
• 理論基礎
• 數學思維

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308058926

版次：1

商品編碼：10752049

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2008-06-01

頁數：335

正文語種：中文

內容簡介

《數學方法論》共十章，在介紹數學方法論的學科性質、研究對象、發展簡史以及研究意義的基礎上，結閤數學思想方法，介紹瞭數學發展史上的三次危機以及數學悖論，闡述瞭數學化歸思想、類比、歸納、猜想等數學發現的基本方法以及它們在數學解題中的應用，介紹瞭數形結閤、構造法等數學方法在數學解題中的應用。《數學方法論》還介紹瞭數學建模、數學美學方法在數學發現中的應用，在此基礎上，闡述瞭數學證明方法和數學結論的發現方法，力圖讓讀者掌握數學方法論在數學解題中的意義、作用，領悟數學思想。

作者簡介

葉立軍，杭州師範大學理學院數學係副教授，教育學碩士，碩士生導師，主要從事數學教育研究。
2004年獲得浙江省高校青年基金資助項目，2006年入選杭州市“131”優秀中青年人纔第二層次培養人選，2007年入選浙江省“新世紀151人纔工程”第三層次培養人選。
近年來，在《教育探索》、《高等理科教育》、《數學教育學報》、《數學通報》、《中學數學教學參考》等雜誌上發錶論文30多篇。在科學齣版社、廣東教育齣版社、浙江大學齣版社等齣版《數學化歸思維論》、《新課程中學數學實用教學80法》、《現代數學教學論》等專著、教材十多部，主編初中數學教與學同步訓練十多冊。主持省級、市級、校級課題十多項。多次獲得浙江省自然科學優秀論文，多次獲得市級、校級優秀帶隊教師，2007年獲得校首屆“科研促教學”先進個人。
社會兼職情況：《數學教育學報》編委，全國高等師範院校數學教育研究會理事，浙江省數學教育學會中學數學教學分會常務理事。

目錄

第一章 數學方法論簡介
第一節 相關概念辨析
第二節 數學方法論在數學中的作用和地位

第二章 數學方法論的發展和演進
第一節 數學思想方法的發展曆史
第二節 數學思想方法的幾次重大突破

第三章 數學悖論與數學危機
第一節 數學悖論
第二節 數學危機
第三節 數學基礎的三大學派

第四章 數學抽象與數學建模
第一節 數學抽象方法
第二節 數學建模

第五章 常見的數學思想與數學解題
第一節 符號化思想
第二節 方程與函數思想
第三節 公理化思想
第四節 整體化思想
第五節 分類討論思想
第六節 集閤思想

第六章 常見的數學方法與數學解題
第一節 數形結閤方法
第二節 優化決策
第三節 計算兩次
第四節 轉化與變換思想
第五節 化歸方法
第六節 關係映射反演方法
第七節 構造法
第八節 逐步逼進法
第九節 特殊化和一般化

第七章 數學發現方法
第一節 觀察和實驗
第二節 猜想
第三節 歸納法
第四節 類比
第五節 演繹推理

第八章 數學證明方法
第一節 數學歸納法
第二節 數學歸納法在中學階段的應用舉例
第三節 反證法與同一法
第四節 綜閤法與分析法

第九章 數學美學法
第一節 數學美概述
第二節 數學美的特徵
第三節 數學美的教學功能
第四節 培養數學美的途徑

第十章 數學方法論與數學教育
第一節 數學思想方法在數學教學中的意義和作用
第二節 數學思想方法論的課堂教學策略
參考文獻

精彩書摘

（3）技巧性的數學方法，如換元法、待定係數法、配方法等，它們往往和具體數學內容聯係在一起，是解決某類數學問題的方法。
若按數學方法的運用功能可分為數學發現方法、數學證明方法等。
七、數學方法的特點
數學方法具有以下幾個特點：
（一）概括性
數學知識的學習離不開概括，且較之其他學科的知識更抽象、更概括。例如，物理學中的勻速直綫運動的運動規律s＝vt（s、v、t分彆錶示運動的路程、速度和時間）和簡諧運動的規律（m、x、a分彆錶示小球的質量、離開平衡位置的位移和運動的加速度，k是常數）均是對現實世界具體事物的抽象和概括，而數學上的正比例函數概念則是在上述基礎上的再抽象和再概括。數學思想方法是不斷從數學概念、數學命題和數學理論中提煉和概括的産物。正是由於數學對象本身的概括性以及數學思想方法又是對數學知識的提煉和再概括，使得概括性成為數學思想方法的最本質的特徵。
數學思想方法一旦形成，便捨棄瞭具體的數學內容，隻以形式而存在，從而可以運用到一切閤適的場閤之中。例如，數學中的關係映射反演法的建立標誌著一般的化歸方法達到更高更新的抽象概括程度，因而成為數學研究各個領域中有普遍應用價值的一般方法。
（二）隸屬性
數學思想方法高度的概括性，使它不同於具體的數學知識，而以元認知的形態與數學知識渾然一體地存在著，成為數學科學體係中兩個不可分割的部分。數學知識內部蘊涵著豐富的數學思想方法，數學思想方法隸屬於數學知識。形象地說，數學思想方法是生長在數學知識這塊“皮”上的“毛”。數學知識成為數學思想方法的載體，數學思想方法通過數學知識來顯化。

前言/序言

　　隨著數學教育改革與發展的不斷深人，數學思想方法在數學教學中的重要性日趨凸現，人們已經越來越認識到數學思想方法是數學教學的重要內容。
　　數學方法論是哲學、方法論和數學史等多門學科的交叉科學，其著眼點在於數學的創新。它是研究數學發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明等的一門學科。數學思想方法是數學的核心與靈魂，它不僅是數學的重要組成部分，而且是數學發展的源泉與動力。
　　中外數學傢都十分重視數學思想方法的研究與應用。日本著名數學教育傢米山國藏曾說過：科學工作者所需要的數學知識，相對地說是不多的，而數學的精神、思想與方法卻是絕對必要的。數學的知識可以記憶一時，但數學的精神、思想和方法卻隨時隨地發揮作用，可以使人受益終身。
　　作為數學教師瞭解數學思想方法的産生、發展和特點，掌握數學中的典型方法，瞭解數學的創造法則以及數學運動發展規律，形成正確的數學觀，並能自覺地用數學方法論去指導數學學習與數學教學，從而提高數學教師駕馭教材之能力，是十分重要的。

《幾何的奇跡：從歐幾裏得到非歐幾何的探索》 一、 緒論：空間的直覺與邏輯的疆域 本書並非探討抽象的數學推理的通用框架，亦非聚焦於數域、函數或代數結構的演化。相反，我們選擇瞭一條更為具體、更貼近人類直觀認知的路徑——對“空間”的理解與描述的演變史。我們將目光投嚮幾何學，這一人類文明早期便試圖用嚴謹的公理去錨定我們所感知的外部世界的基礎學科。 《幾何的奇跡》旨在梳理自古希臘黃金時代，以歐幾裏得的《幾何原本》為基石，人類對平麵和立體構型的認識如何一步步被拓展、挑戰，最終實現範式轉移的過程。我們關注的重點在於那些深刻影響瞭物理學、哲學乃至藝術形式的幾何思想，而非數學邏輯的構建方法論本身。 二、 歐氏幾何的輝煌與基石 本書的首篇將詳盡剖析“公理化方法”的典範——歐幾裏得幾何。我們不會深入探討如何運用這些公理進行邏輯演繹的技巧（這屬於方法論的範疇），而是專注於歐氏幾何所建立的空間模型的內在美感與局限性。 我們將詳細解讀五條公設和五條公理，特彆是被譽為“幾何學皇冠”的第五公設——平行公設。我們會描述亞曆山大港學派的學者們如何長期試圖從前四條公設中推導齣第五公設，這種近乎宗教般的執著，體現瞭當時數學傢對“完美”和“自洽”的追求。我們將分析歐氏體係如何成功地為古代工程、天文學和建築學提供瞭精確的數學語言，描述瞭在平坦空間中直綫、角、三角形和圓的確定關係。這部分內容，是對一個穩定、永恒的宇宙圖像的數學刻畫。 三、 悖論的萌芽：麯率的首次觸碰 在歐氏幾何近兩韆年的統治地位下，第五公設的“多餘性”始終像一根刺。本書的第二部分將聚焦於這種“不適感”如何催生瞭數學史上最偉大的革命之一。 我們將迴顧那些試圖構造“反例”的努力。這些嘗試並非為瞭建立新理論，而是為瞭證明第五公設的獨立性——即，如果第五公設不成立，會産生什麼樣的邏輯後果。我們將詳細考察那些早期探索者們在嘗試“否定”平行公設時，無意中觸及到的非歐幾何的雛形。例如，關於在球麵上觀察三角形內角和的現象，以及對雙麯空間中“缺陷”的早期直觀理解。這一階段的敘述，著重於描述在歐氏框架下思考其邊界的思維過程。 四、 黎曼與羅巴切夫斯基：非歐空間的誕生與特徵 本書的核心敘事轉嚮瞭十九世紀中葉，兩位巨匠——尼古拉·羅巴切夫斯基和伯恩哈德·黎曼——如何最終完成瞭對空間的徹底解放。我們不會著重分析他們構建全新代數工具的過程，而是側重於他們所揭示的空間本質的多元性。 羅巴切夫斯基的成果將被描繪為對“負麯率”空間的首次係統性構建。我們將通過具體的情境演示，說明在雙麯空間中，三角形的內角和總是小於180度，且不存在與給定直綫平行的直綫。我們將深入探討這些反直覺的性質如何影響瞭基本的幾何關係，例如圓的周長與半徑之間的關係不再是簡單的綫性比例。 黎曼的貢獻則更為深遠和抽象，他提齣瞭一個更為廣闊的框架——黎曼幾何。這裏的關鍵概念不是平行性，而是麯率和度量。我們將探討黎曼如何將幾何學從歐幾裏得所限定的“平麵”或“簡單麯麵”中解放齣來，允許空間在任何一點擁有不同的彎麯程度。我們將使用圖像化的方式，對比描述在恒定正麯率（球麵幾何）、恒定負麯率（雙麯幾何）和可變麯率（黎曼幾何）空間中，測地綫（最短路徑）的行為差異。 五、 幾何與物理的交匯：從空間到時空 幾何學的革命並非僅僅停留在純數學領域。本書的最後部分將探討非歐幾何如何找到瞭其在自然科學中的決定性應用。 我們將簡要迴顧愛因斯坦的狹義相對論如何將歐氏空間的概念引入瞭時間維度，形成瞭閔可夫斯基的四維時空。隨後，我們將詳細分析廣義相對論中的核心思想：引力即時空的彎麯。在這裏，黎曼幾何不再是數學傢的智力遊戲，而是描述引力場的精確工具。行星的軌道、光綫的彎麯，都源於物質對周圍時空結構的“彎麯”作用。 本書的結尾將強調，幾何學的演進史，本質上是人類對外部世界模型不斷修正和深化的曆史。從歐幾裏得那堅實的平麵，到愛因斯坦那動態的時空，我們所學到的不是一套解決問題的技巧，而是理解世界存在形式的全新語言。我們追求的是空間本身的結構，而非組織數學推理的通用方法。 （全書篇幅重點在於描述不同幾何體係下的具體空間性質、公理的邏輯替代後果，以及空間概念的哲學意義，完全避開瞭關於“什麼是好的數學證明方法”、“如何進行嚴格演繹”或“代數結構如何抽象化”的討論。）

評分☆☆☆☆☆

這本書絕對不是我想象的那種“數學方法論”。我本來以為它會像一本學習方法指導手冊，手把手教我如何更高效地理解和掌握數學概念，比如如何構建清晰的解題思路，如何避免常見的思維誤區，甚至可能會分享一些學習心得和勵誌故事，讓我覺得學習數學不再那麼枯燥乏味。我期待著裏麵能有各種各樣的學習技巧，比如如何快速定位問題核心，如何有效地歸納總結，如何利用圖錶輔助理解等等，希望能從中找到一些能切實提升我數學成績的“秘籍”。甚至，我腦海中描繪的畫麵是，它會像一位循循善誘的老師，用平易近人的語言，帶領我穿越數學的迷宮，讓我不再對復雜的公式和定理感到畏懼，而是能從中發現數學的邏輯之美和趣味所在。我期待它能幫助我建立起對數學的信心，甚至培養齣我對數學的濃厚興趣，讓我不再隻是為瞭應付考試而學習，而是能真正地享受數學帶來的思考樂趣。然而，拿到這本書後，我纔發現我的期待完全落空瞭，它與我所設想的“方法論”幾乎沒有任何關聯。

評分☆☆☆☆☆

我以為這會是一本教我如何學習和理解數學的書，比如如何高效地記憶數學公式，如何培養數學直覺，或者如何剋服學習數學時的畏難情緒。我曾憧憬著書中會有各種各樣的學習策略，能夠幫助我循序漸進地掌握復雜的數學知識，並且能找到適閤自己的學習節奏。或許，它還會包含一些關於數學學習心理學的討論，幫助我認識到自己在學習過程中可能遇到的心理障礙，並提供有效的解決方案。我甚至期待，書中能分享一些來自成功數學學習者的經驗，讓他們的人生故事和學習心得能夠激勵我，讓我對數學學習充滿信心和動力。我設想它應該是一本充滿瞭積極嚮上能量的書，能夠點燃我對數學學習的熱情，讓我從被動應付轉嚮主動探索。可我拿到這本書後，纔發現我的所有設想，都與這本書的內容毫無關聯，這完全不是我期望的“數學方法論”。

評分☆☆☆☆☆

我承認，我對於這本書的封麵和標題産生瞭一點誤解，本來以為它會是一本深入剖析數學推理過程的書籍。我曾設想，它可能會詳細講解不同類型的數學證明方法，比如直接證明、反證法、數學歸納法等等，並且通過大量的實例來演示這些方法的具體運用。我期望書中能夠清晰地闡釋數學公理、定義、定理之間的邏輯關係，幫助讀者建立起嚴謹的數學思維框架。也許，它還會涉及一些關於集閤論、邏輯學等基礎數學理論的介紹，為理解更復雜的數學概念打下基礎。我甚至期待，這本書能夠引導我學習如何進行數學建模，如何將現實世界中的問題轉化為數學模型，並利用數學工具來解決它們。這樣一來，不僅能提升我的解題能力，更能培養我獨立分析和解決問題的能力，讓我在麵對各種挑戰時，都能運用數學的思維方式去應對。然而，這本書的內容，完全沒有觸及到我所想象的任何一個方麵，它和我理解的“數學方法論”南轅北轍。

評分☆☆☆☆☆

我真是太失望瞭！翻開這本書，我以為會看到一些關於數學史的有趣軼事，或者是一些數學傢們如何思考、如何解決難題的案例分析。我希望能從中瞭解那些偉大的數學發現是如何誕生的，是怎樣的靈感火花，或是漫長的探索過程，促成瞭那些我們現在耳熟能詳的定理和公式。或許，書中還會穿插一些關於數學在不同領域應用的精彩故事，比如它如何在物理學、計算機科學、經濟學甚至藝術中扮演著不可或缺的角色，這樣能讓我更直觀地感受到數學的魅力和實用性。我還設想，作者可能會在書中探討數學教育的理念，或者分享一些關於培養數學思維的思考，例如如何從小培養孩子的邏輯能力，如何引導他們建立抽象思維等等。這本《數學方法論》在我腦海中應該是一本充滿智慧啓迪的書籍，能讓我從更宏觀的視角去理解數學這門學科的本質，以及它在人類文明發展中的重要地位。可結果呢？完全不是那麼迴事，它所包含的內容，與我腦海中對“數學方法論”的任何一點期待都背道而馳。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書和我想象中的“數學方法論”完全是兩碼事。我原本以為，這會是一本深入探討數學思維本質的書籍，它或許會解析數學傢們是如何進行抽象和概括的，是如何發現模式和規律的，又是如何在嚴謹的邏輯框架下構建齣龐大而精妙的數學體係的。我期待它能幫助我理解數學的語言，掌握數學的思考方式，讓我能夠更深刻地洞察事物的本質，並運用數學的思維去分析和解決各種問題。我甚至希望，書中能夠包含一些關於數學哲學和數學史的討論，讓我從更廣闊的視野去認識數學的演進曆程及其在人類文明中的地位。我期望它能是一本能夠啓迪思想、拓展視野的書籍，讓我不僅學會“如何做數學”，更能理解“數學是什麼”。然而，這本書的內容，完全沒有達到我預期的任何一個點，與我理解的“數學方法論”完全不搭邊。

評分☆☆☆☆☆

感覺不像是正品啊！有木有同感的啊！

評分☆☆☆☆☆

給老婆買的，現在都沒問題，應該不錯

評分☆☆☆☆☆

很強大~~~~~~~~~~~~

評分☆☆☆☆☆

數學方法論的書不多，值得一讀

評分☆☆☆☆☆

感覺不像是正品啊！有木有同感的啊！

評分☆☆☆☆☆

數學方法論的書不多，值得一讀

評分☆☆☆☆☆

不錯，上課需要就買瞭。

評分☆☆☆☆☆

好

評分☆☆☆☆☆

感覺不像是正品啊！有木有同感的啊！