流形上的層（英文版） [Sheaves on Manifolds] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[日] 柏原正樹（Masaki Kashiwara），Pierre Schapira 著

圖書標籤:

• Sheaves
• Manifolds
• Differential Geometry
• Topology
• Algebraic Geometry
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Advanced Mathematics
• Complex Manifolds
• Cohomology

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510070303

版次：1

商品編碼：11419299

包裝：平裝

外文名稱：Sheaves on Manifolds

開本：24開

齣版時間：2014-03-01

用紙：膠版紙

頁數：512

正文語種：英文

內容簡介

　　層論是代數拓撲、代數幾何和偏微分方程的交叉形成得一個很現代，很活躍的領域。《流形上的層（英文版）》從層論的基礎講起，強調微局部觀點。包括瞭許多有趣的觀點，寫作風格清晰明瞭，將數學的這個全新，龐大的分支展現給讀者。

內頁插圖

目錄

Introduction
A Short History: Les Debuts De La Theorie des Faheeaux By Christian Houzel
1. Homologieal Algebra
Summary
1.1. Categories and Functors
1.2. Abelian Categories
1.3. Categories of Complexes
1.4. Mapping Cones
1.5. Triangulated Categories
1.6. Localization of Categories
1.7. Derived Categories
1.8. Derived Functors
1.9. Double Complexes
1.10. Bifunctors
1.11. Ind-Objects And Pro-Objects
1.12. The Mittag-Leffler Condition
Exercises To Chapter I
Notes

Ⅱ.Sheaves
Summary
2.1. Presheaves
2.2. Sheaves
2.3. Operations on Sheaves
2.4. Injective, Flabby and Flat Sheaves
2.5. Sheaves on Locally Compact Spaces
2.6. Cohomology of Sheaves
2.7. Some Vanishing Theorems
2.8. Cohomology of Coverings
2.9. Examples of Sheaves on Real and Complex Manifolds
……
Ⅲ. poincare. verdier duality and fourier-sato transformation
Ⅳ. specialization and microlocalization
Ⅴ. micro-support of sheaves
Ⅵ. micro-support and microlocalization
Ⅶ. contact transformations and pure sheaves
Ⅷ. constructible sheaves
Ⅸ. characteristic cycles
Ⅹ. perverse sheaves
Ⅺ. applications to θ-modules and d-modules

前言/序言

《黎曼幾何基礎》 作者： [在此處插入作者姓名] 齣版社： [在此處插入齣版社名稱] 齣版年份： [在此處插入齣版年份] --- 捲首語 數學的殿堂巍峨而深邃，其中幾何學無疑是支撐其壯麗景觀的基石之一。自古希臘對歐幾裏得平麵幾何的係統構建以來，人類對空間、形狀和測量的理解經曆瞭數次翻天覆地的變革。然而，直到十九世紀黎曼（Bernhard Riemann）提齣其革命性的幾何思想，我們纔真正開始探究那些不再受限於平坦的、彎麯的空間。 《黎曼幾何基礎》旨在為讀者構建一座堅實的橋梁，連接經典的微分幾何概念與現代黎曼幾何的深刻洞察。本書並非一本麵麵俱到的百科全書，而是一次精心策劃的探索旅程，專注於那些奠定黎曼幾何理論框架的核心概念和工具。我們力求以清晰、嚴謹且富有幾何直覺的方式，引導讀者穿梭於切空間、聯絡、麯率的迷宮，最終領略這些概念在描述物理世界和純粹數學結構中的強大力量。 本書的編寫遵循循序漸進的原則，從對可微流形概念的嚴格迴顧開始，逐步引入測度結構、度量張量，直至發展齣黎曼麯率張量。我們深知，理解黎曼幾何需要對拓撲學和綫性代數有紮實的背景，因此，我們確保對關鍵工具的引入既是必要的，也是充分的。 --- 第一部分：流形與張量分析的重溫與深化 本部分是全書的基石，旨在為後續復雜的幾何構造打下牢固的數學基礎。我們將超越教科書中對可微流形概念的初次介紹，著重於那些在黎曼幾何中至關重要的分析工具。 第一章：可微流形與坐標無關性 我們從光滑流形 $M$ 的定義齣發，強調圖冊（atlas）、坐標係（charts）以及過渡函數（transition maps）的必要性。重點在於理解局部坐標描述如何轉化為坐標無關的幾何對象。 1.1 嚮量場與切空間： 詳細闡述嚮量場作為微分算子（或在某點上的切嚮量的綫性組閤）的兩種等價視角。對任意點 $p in M$，切空間 $T_p M$ 被定義為綫性空間，它是所有通過 $p$ 的麯綫的切嚮量的集閤，並以 $mathbb{R}^k$ 上的導數概念為參照進行嚴格定義。 1.2 張量場： 深入探討張量場的本質。從張量作為多重綫性映射的定義齣發，我們區分瞭協變張量（下指標）和反變張量（上指標）。張量代數的操作，如張量積和縮並，將在本章得到詳盡的介紹，強調它們在改變坐標係時應保持不變的特性。 1.3 微分形式與外導數： 引入微分 $k$-形式 $Omega^k(M)$，它們是 $T^_p M$ 上的對稱（或反對稱）多重綫性泛函。重點分析楔積（wedge product） $wedge$ 的反對稱性及其與張量積的關係。外導數 $d$ 的定義及其核心性質——$d^2=0$——將作為後續積分和拓撲聯係的樞紐。 第二章：光滑函數與積分的分析基礎 本章關注於在流形上進行分析運算所需的工具。 2.1 嵌入與浸沒： 介紹沉浸（Immersion）和內嵌（Embedding）的嚴格定義，特彆是斯托剋斯定理（Stokes' Theorem）在流形上的推廣形式，它將微分形式的積分與邊界上的積分聯係起來： $$ int_M domega = int_{partial M} omega $$ 我們還將探討流形在歐幾裏得空間中實現的拓撲約束。 2.2 光滑函數的構造： 介紹光滑截斷函數（mollifiers）和單位分解（partition of unity）的構造性證明。這些工具對於局部定義全局對象（如黎曼度量）至關重要。 --- 第二部分：黎曼度量與測地綫幾何 第二部分是本書的核心，引入瞭度量結構，將拓撲空間提升到具有可度量性質的黎曼流形。 第三章：黎曼流形與度量張量 本章的目標是將“距離”的概念賦予流形。 3.1 黎曼度量 $g$： 黎曼度量被定義為流形上每一點切空間上的一個正定對稱二次型，即一個 $(0, 2)$ 協變張量場 $g = {g_{ij}}$. 我們明確瞭 $g$ 在局部坐標係下的分量 $g_{ij}$。 3.2 上指標張量與度量張量的逆： 定義 $g^{ij}$ 作為 $g_{ij}$ 的逆矩陣，從而得到 $(2, 0)$ 反變張量 $g^{ij}$。這允許我們在切空間和餘切空間之間進行“升降指標”的操作。 3.3 長度、角度與體積： 利用度量張量，定義切嚮量 $mathbf{v}$ 的長度（範數） $||mathbf{v}||^2 = g(mathbf{v}, mathbf{v})$，以及兩個嚮量之間的夾角。引入體積元 $mathrm{dvol}$，其密度由度量張量行列式的平方根決定。 3.4 拉迴（Pullback）與度量： 討論光滑映射 $f: N o M$ 如何將 $M$ 上的黎曼度量“拉迴”到 $N$ 上，形成 $f^g$，這是後續比較幾何結構的基礎。 第四章：聯絡、平行移動與測地綫 在黎曼流形上，我們需要一個機製來比較不同點的切嚮量，這就是聯絡（Connection）的概念。 4.1 仿射聯絡的引入： 仿射聯絡 $ abla$ 提供瞭微分運算的推廣，允許我們計算協變導數 $ abla_X Y$。重點分析無撓性（Torsion-free）的條件，即 $ abla_X Y - abla_Y X = [X, Y]$。 4.2 黎曼聯絡（Levi-Civita 聯絡）： 黎曼幾何的核心在於黎曼聯絡，它是滿足兩個關鍵條件的唯一聯絡： a) 無撓性： $ abla$ 是對稱的。 b) 度量兼容性（Metric Compatibility）： $ abla g = 0$，意味著沿任何嚮量方嚮的平行移動會保持度量張量不變。 4.3 測地綫方程： 基於黎曼聯絡，我們定義測地綫（Geodesics）為“沒有加速度”的麯綫。對於參數麯綫 $gamma(t)$，其測地綫方程錶現為： $$ frac{d^2 x^k}{d t^2} + Gamma^k_{ij} frac{d x^i}{d t} frac{d x^j}{d t} = 0 $$ 其中 $Gamma^k_{ij}$ 是剋裏斯托費爾符號（Christoffel Symbols），它們完全由黎曼度量 $g_{ij}$ 的一階偏導數決定。 4.4 測地綫的變分性質： 探討測地綫如何成為兩點之間“最短路徑”（在小範圍內），這通過作用量泛函的變分原理得到嚴格描述。 --- 第三部分：麯率的幾何錶達 本部分深入探討流形彎麯的程度，麯率是黎曼幾何中最深刻的特徵之一。 第五章：麯率的定義與計算 5.1 麯率的必要性： 解釋為什麼在彎麯空間中，平行移動一個嚮量繞閉閤迴路一周後，嚮量的方嚮會發生變化。 5.2 黎曼麯率張量 $R$： 黎曼麯率張量是衡量聯絡非交換性的四階張量，它定義為： $$ R(X, Y) Z = abla_X abla_Y Z - abla_Y abla_X Z - abla_{[X, Y]} Z $$ 我們將推導齣其在局部坐標係下的分量 $R^i_{jkl}$，該分量完全由度量張量 $g_{ij}$ 的二階偏導數決定。 5.3 麯率的代數性質： 分析黎曼麯率張量滿足的四個關鍵代數恒等式，特彆是第一布安基恒等式（First Bianchi Identity），這些恒等式是幾何結構自洽性的體現。 5.4 截麵麯率（Sectional Curvature）： 引入截麵麯率 $K(Pi)$，它是在流形上任意一個二維平麵 $Pi$ 上的純量，是衡量該平麵內測地綫匯聚或發散程度的局部不變量。 第六章：麯率的積分不變量 本章將麯率張量與拓撲學聯係起來，展示麯率如何“編碼”流形的全局結構。 6.1 裏奇張量（Ricci Tensor）： 裏奇張量 $Ric$ 是黎曼麯率張量的縮並： $R_{jk} = R^i_{jik}$。它是一個 $(0, 2)$ 張量，揭示瞭流形在特定方嚮上的平均麯率。 6.2 標量麯率（Scalar Curvature）： 標量麯率 $S$ 是裏奇張量的縮並： $S = g^{jk} R_{jk}$。它是一個全局函數，代錶瞭流形在每一點上的平均彎麯度。 6.3 高斯-邦內特定理（Gauss-Bonnet Theorem）： 對於二維流形（麯麵），本定理展示瞭其拓撲性質（如歐拉示性數 $chi$）與截麵麯率的積分之間的驚人聯係： $$ int_M K , mathrm{dvol} = 2pi chi(M) $$ 本書將此定理作為連接微分幾何和拓撲學的典範範例，並簡要討論瞭其在高維流形上的推廣（如陳-萊姆傑理論的先驅思想）。 --- 結語 《黎曼幾何基礎》緻力於提供一個堅實且可操作的框架，使讀者能夠獨立地運用黎曼幾何的工具來解決問題。本書的結構設計確保瞭從最基本的局部結構到最深刻的全局不變量的平滑過渡。完成本書的學習後，讀者將對彎麯空間中的長度、角度、最短路徑和麯率有深刻的理解，並為進一步深入研究廣義相對論、規範場論或現代拓撲學打下不可動搖的基礎。

評分☆☆☆☆☆

我購買《流形上的層》是因為一次偶然的學術會議上的討論。當時，幾位頂尖的數學傢在探討某個前沿課題時，頻繁地提及瞭“層”在解決某些棘手問題上的關鍵作用。這激起瞭我強烈的好奇心，於是我便將這本書列入瞭我的必讀清單。我並非專門研究流形或層理論的學者，但作為一名對數學抱有廣泛興趣的研究者，我深知掌握這些基礎而強大的理論工具對於拓展研究視野的重要性。我期待這本書能夠幫助我理解層理論是如何構建的，以及它與流形這一幾何對象的內在聯係。我尤其感興趣的是，層理論是否能夠為我理解那些在微分幾何、代數拓撲甚至廣義相對論等領域中齣現的復雜結構提供新的視角和方法。我預感這本書的閱讀過程不會輕鬆，但我相信，它所帶來的洞察力將是無價的。

評分☆☆☆☆☆

拿到《流形上的層》這本書，我的第一感覺就是它的重量——不僅僅是物理上的，更是它所承載的數學分量的重量。我一直認為，要真正理解一個復雜的數學對象，除瞭對其進行直觀的幾何描述，還需要一套抽象而精妙的代數工具來對其進行刻畫和分析。流形，作為現代幾何學中最核心的概念之一，本身就具有豐富的內涵，而“層”則似乎提供瞭一種更加精細化的視角來審視這些流形。我希望通過閱讀這本書，能夠深入理解層理論是如何被構建起來的，以及它在流形上的應用是如何工作的。我期待書中能夠清晰地闡述諸如“截麵”、“粘閤”、“同調”等概念，並展示它們是如何協同作用，從而揭示流形的深刻性質。雖然我知道這會是一段充滿挑戰的閱讀旅程，但我相信，最終我將能夠從中獲得一種對數學本體的更深刻理解，以及一套全新的解決問題的思路。

評分☆☆☆☆☆

翻開《流形上的層》，一股撲麵而來的學術氣息讓我有些敬畏，但更多的是好奇。我並非科班齣身，但對數學，尤其是幾何與拓撲領域有著濃厚的興趣。這本書的標題本身就激發瞭我極大的探索欲。“流形”這個詞，總是讓我聯想到那些精美而復雜的幾何形態，而“層”則似乎是一種更抽象、更普遍的數學結構。我迫不及待地想知道，作者是如何將這兩種概念巧妙地結閤起來，構建齣如此宏大的理論框架。從目錄上看，書中涉及的數學工具似乎相當深奧，但我相信，作者定然會以一種循序漸進、引導性的方式來呈現這些內容。我尤其期待書中關於層在解決幾何問題上的應用，比如如何用層同調來研究流形的各種不變量，或者如何利用它們來理解函數空間的結構。這本書對我來說，不僅僅是一本技術性的參考書，更像是一次精神上的冒險，一次對數學邊界的探索。我希望通過閱讀它，能夠獲得一種全新的視角，去審視那些看似尋常卻又蘊含無限奧秘的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

對於我這樣一個在數學領域摸索多年的學生來說，《流形上的層》宛如一座知識的寶庫，靜待我去挖掘。我曾經在學習微分幾何時，對流形的概念有過初步的接觸，但總覺得缺少瞭某種能夠“刻畫”和“理解”流形局部性質的工具。而“層”這個概念，仿佛正是填補瞭這一空白。我瞭解到，層理論在代數幾何、拓撲學等諸多領域都扮演著至關重要的角色，而將它應用於流形，無疑為我們理解這些光滑空間提供瞭更為強大的武器。我尤其對書中關於“層論”與“同調論”相結閤的部分充滿期待，這預示著我們將能夠藉助代數工具來研究幾何對象的深刻性質。我相信，這本書的作者一定是一位在這方麵有著深刻造詣的大傢，他能夠將如此抽象而復雜的理論，以一種清晰而有邏輯的方式呈現齣來。即使我對書中部分內容還需要反復咀嚼，但我堅信，這本書將為我打開一扇通往更高級數學世界的大門，讓我對數學的理解達到一個新的高度。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就充滿瞭哲學意味，那抽象的幾何圖形和深邃的藍色調，仿佛在暗示著內容將是怎樣一種遨遊於數學宇宙的旅程。拿到《流形上的層》時，我感覺就像拿到瞭一把開啓某個全新理解大門的鑰匙。雖然我還沒有真正深入到書中的每一個定理和證明，但光是目錄的瀏覽，就足以讓我感受到那種嚴謹而又充滿創造力的學術氛圍。那些諸如“概形”、“譜序列”、“同調論”之類的詞匯，雖然對我而言 still somewhat daunting，但它們背後蘊含的深刻思想，以及作者是如何將它們與“流形”這個直觀的幾何對象聯係起來，這本身就極具吸引力。我特彆期待書中關於層理論在拓撲空間和微分流形上的具體應用，想象著如何用這些抽象的工具來描繪和理解那些光滑、彎麯的空間。我相信，這本書不僅會為我提供一套全新的數學語言，更會重塑我對幾何學和拓撲學的理解方式。即使最終我隻能理解其中的一部分，那也足以讓我受益匪淺，開啓對更廣闊數學世界的探索。

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