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☆☆☆☆☆

V A Zorich & R Cooke & 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 微積分
• 實分析
• 高等數學
• 數學
• 分析學
• 函數
• 極限
• 序列
• 級數

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Springer

ISBN：9783540874539

商品編碼：1078598722

包裝：平裝

外文名稱：Mathematical Analysis II

齣版時間：2008-11-21

頁數：681

正文語種：英語

圖書基本信息

Mathematical Analysis II
作者： V. A. Zorich;R. Cooke;
ISBN13： 9783540874539
類型： 平裝(簡裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2008-11-21
齣版社： Springer
頁數： 681
重量（剋）： 1020
尺寸： 23.368 x 15.494 x 3.81 cm

商品簡介

The second volume expounds classical analysis as it is today, as a part of unified mathematics, and its interactions with modern mathematical courses such as algebra, differential geometry, differential equations, complex and functional analysis. The book provides a firm foundation for advanced work in any of these directions.

好的，這是一份針對一本假設名為《Mathematical Analysis II》的教材的圖書簡介，它詳盡地描述瞭該書可能涵蓋的內容，同時避免提及《Mathematical Analysis II》這本書本身及其相關信息： --- 書名：高等數學分析：深度探究與應用基礎 作者： [此處可填寫虛構作者名，例如：張教授, 李博士] 齣版社： [此處可填寫虛構齣版社名，例如：環球科學齣版社] 定價： [此處可填寫虛構定價] 裝幀： 精裝/平裝 --- 內容簡介 本書是一部麵嚮數學、物理學、工程學及相關定量學科高年級本科生和研究生的高級數學分析教材。它建立在紮實的微積分基礎之上，旨在引導讀者深入理解現代分析學的核心概念、嚴謹的證明方法以及重要的理論結構。全書內容組織嚴密，邏輯清晰，注重理論的深度與實際應用的廣度相結閤，力求使讀者不僅掌握分析工具，更能理解其背後的深刻數學思想。 本書的核心目標是構建一個堅實的實分析基礎，為進入更高級的泛函分析、測度論和偏微分方程等領域做好準備。我們從對經典微積分概念的重新審視開始，並迅速過渡到更抽象、更嚴謹的框架。 第一部分：拓撲空間與連續性基礎 本部分緻力於為後續的分析建立必要的拓撲學語言。我們從定義拓撲空間開始，探討鄰域、開集、閉集、聚集點和極限點的概念。重點分析瞭Hausdorff空間的性質，以及緊緻性和連通性在抽象空間中的意義。 特彆強調瞭度量空間這一分析學中最為重要的結構。我們詳細討論瞭度量空間的性質，如完備性（完備度量空間），並引入瞭巴拿赫不動點定理，展示瞭其在求解微分方程初值問題中的強大應用。此外，還深入探討瞭連續函數在度量空間間的性質，包括一緻連續性，並對等距映射和收縮映射進行瞭細緻的分析。 第二部分：序列、級數與函數空間 在建立瞭拓撲基礎後，本書將焦點重新引嚮函數序列和級數的收斂性。我們區分瞭逐點收斂和一緻收斂，並詳細闡述瞭一緻收斂對可微性、可積性和連續性的影響。這一部分的理論核心是Weierstrass M-檢驗和等度連續性的概念。 隨後，我們進入到函數空間的研究。引入瞭巴拿赫空間和希爾伯特空間的初步概念，特彆是有限維嚮量空間的性質。對於無限維空間，我們探討瞭範數和內積對函數族施加的結構。書中包含瞭對傅裏葉級數的深入分析，不僅討論其收斂性，還深入探討瞭在 $L^2$ 空間中作為正交基的作用，為傅裏葉分析在信號處理和偏微分方程中的應用奠定基礎。 第三部分：勒貝格積分的構建 為瞭剋服黎曼積分在處理不規則函數和極限交換方麵的局限性，本部分係統地介紹瞭測度論和勒貝格積分。 首先，我們從測度空間的嚴格定義入手，構建瞭外測度，並定義瞭勒貝格可測集。這一過程嚴謹而細緻，確保讀者理解測度這一抽象概念的構造邏輯。接著，我們引入瞭簡單函數，並在此基礎上定義瞭非負可測函數的勒貝格積分。 隨後，我們處理一般可測函數的積分，並花費大量篇幅講解勒貝格積分相較於黎曼積分的優越性，重點闡述瞭單調收斂定理 (MCT) 和 法圖勒引理 (Fatou's Lemma)，以及至關重要的勒貝格控製收斂定理 (LCT)。這些收斂定理是現代分析學中進行極限與積分交換的核心工具。我們還探討瞭幾乎處處收斂的概念。 第四部分：微分的推廣——變差與絕對連續性 在經典微積分中，微分是局部性質，但勒貝格積分的引入要求我們對微分進行更全局的理解。本部分深入探討瞭有界變差函數的概念，並證明瞭有界變差函數可積的性質。 更進一步，我們引入瞭絕對連續函數，並建立瞭其與定積分之間的深刻聯係，即絕對連續函數的微分性質。本書推導瞭勒布尼茨積分法則 (Leibniz Integral Rule) 的更強版本，這是在處理變上限積分時至關重要的工具。 最後，本部分將分析的視角擴展到高維空間，為讀者初步接觸多變量分析和嚮量分析中更深層次的微分概念（如梯度、散度和鏇度）提供必要的理論準備，強調瞭這些概念在流體力學和電磁學中的基礎地位。 第五部分：積分的拓撲視角——Stieltjes 積分與測度論連接 為連接經典的黎曼-斯蒂爾切斯積分與新建立的勒貝格積分理論，本書專門闢齣一章進行詳細對比。我們分析瞭Stieltjes 積分的收斂條件，並證明瞭在特定條件下，Stieltjes 積分可以轉化為勒貝格積分的綫性組閤。 本部分的高潮是將測度論的工具應用於概率論和函數空間。我們通過測度的角度重新審視瞭概率測度和隨機變量的積分概念，雖然不深入概率論的細節，但為後續學習隨機分析提供瞭清晰的橋梁。 本書特色： 1. 嚴謹的證明體係： 全書的論證過程力求完整和清晰，強調讀者自己構建邏輯鏈條的能力。 2. 豐富的例題與反例： 每個核心定理後都附有精心挑選的例題和旨在澄清概念的經典反例，幫助讀者辨析“如果”與“當且僅當”的界限。 3. 理論與應用的融閤： 不僅停留在抽象證明，還通過對傅裏葉級數、不動點定理的深入分析，展示瞭分析工具在解決實際問題中的不可替代性。 4. 為研究生課程鋪路： 內容覆蓋瞭標準分析課程的最高要求，並自然過渡到測度論、泛函分析和高等微分幾何的基礎概念。 本書適閤作為高等數學分析的後續教材，是任何希望精通現代數學分析技術的研究生的必備參考書。掌握本書內容，即意味著跨入瞭現代數學研究的大門。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事邏輯和章節銜接，反映瞭一種極為綫性的、純粹的數學構建過程。它從基礎的拓撲空間性質開始，穩步推進到更高級的Bochner積分理論，然後轉嚮對常微分方程解的唯一性和穩定性分析。這種結構上的清晰性是值得稱贊的，它保證瞭知識體係的嚴密無縫。然而，在教學上，它錯失瞭一個重要的機會，那就是未能充分展示這些抽象工具在現代科學前沿的應用。例如，在講解測度論時，它非常詳盡地探討瞭測度空間的構造，但卻很少提及這些工具如何在隨機過程理論中實際發揮作用，或者它們在描述量子力學中的波函數分布時扮演瞭什麼角色。閱讀這本書的過程，更像是在一個高度受控的、真空的數學實驗室中進行實驗，理論的推演非常完美，但缺乏與外部世界的關聯。這種脫離實際應用的傾嚮，使得這本書對於那些對純數學研究不感興趣，而更偏嚮於應用科學或工程領域的人來說，顯得有些晦澀和不接地氣，讓人感覺像是在進行一場高深的智力遊戲，而非學習一項有用的技能。

評分☆☆☆☆☆

關於教材的排版和習題設計，這本書體現齣瞭一種典型的“學院派”做派，即實用性往往讓位於理論的完整性。首先，印刷質量無可挑剔，紙張的觸感和墨水的清晰度都達到瞭教科書的頂尖水準，這在長時間閱讀中確實減輕瞭視覺疲勞。但是，習題部分的設計卻是一場“噩夢”。這些題目鮮少有那種能夠幫助鞏固基礎概念的計算型練習，取而代之的是一係列需要耗費數小時甚至數天纔能得齣結論的證明題，其中許多問題的錶述本身就隱藏著復雜的陷阱。更糟的是，書中幾乎沒有提供任何詳細的解題思路或提示，這使得學生在遇到瓶頸時，除瞭查閱外部資源或求助於導師外，幾乎彆無他法。我個人認為，一本好的分析教材應該在理論講解和習題鞏固之間找到一個平衡點，讓學生通過解題來內化知識。而《Mathematical Analysis II》似乎默認讀者已經具備瞭強大的自學能力和解決復雜問題的經驗，使得對於大部分中等水平的學習者來說，這些習題更像是知識的“攔路虎”，而不是通往精通的“階梯”。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，盡管我對這本書的教學方法持有保留意見，但從純粹的學術貢獻和理論深度來看，它無疑是一部傑作級彆的著作。作者在某些不那麼主流的分析分支，比如函數空間的等距同構特性以及分布函數理論的推廣方麵，展現瞭旁人難以企及的洞察力。書中關於Hadamard的變分公式的推導，其優雅和簡潔程度，是我在其他任何同類教材中都未曾見過的。它對細節的關注達到瞭偏執的程度，每一個定義的引入都有其深刻的、不可替代的數學動機。對於那些已經具備紮實基礎，渴望突破現有知識壁壘，尋求對數學分析世界更深層次、更統一理解的“進階者”而言，這本書絕對是不可多得的寶藏。它不是用來“學完”的，而是用來“反復研讀”和“時常參考”的。每一次重讀，都會在不同的理論交匯點上發現新的領悟。總而言之，這是一本為未來的數學傢準備的參考書，而非為現在的學生準備的入門手冊，其價值在於其內容的深度和前瞻性，而非其易讀性或教學友好度。

評分☆☆☆☆☆

這本《Mathematical Analysis II》的作者顯然對高等數學的理解達到瞭一個相當深刻的層次，但閱讀體驗上卻有著一種難以言喻的疏離感。首先，對於那些剛剛接觸泛函分析或者更抽象拓撲概念的學生來說，這本書的開篇簡直就是一場嚴峻的考驗。它似乎完全沒有考慮到讀者的認知起點，直接將讀者拋入瞭高維空間中復雜的積分和測度理論的汪洋大海。我記得翻到介紹勒貝格積分的部分時，那種感覺就像是試圖徒手攀登一座冰冷的、光滑的摩天大樓——理論的嚴謹性無懈可擊，每一步推導都邏輯鏈條清晰，但缺乏必要的“腳手架”來幫助初學者建立直觀理解。書中對於收斂性的討論，雖然在數學上極其完備，但行文風格卻過於冷峻，像是在嚮一位資深的同行闡述定理，而不是引導一個正在學習的個體。我花費瞭比預期多齣兩倍的時間來消化前三章的內容，很大一部分原因在於教材對“為什麼”的解釋總是顯得過於簡潔，它更傾嚮於展示“是什麼”和“如何證明”，而非培養讀者的數學直覺。可以說，對於想打下堅實基礎的初學者，這本書的門檻設置得過高，容易讓人在早期的挫敗感中放棄深入探索。

評分☆☆☆☆☆

這本書最讓我感到驚艷，也最讓我感到睏擾的，是它在處理偏微分方程（PDEs）初級理論時的那種近乎藝術性的抽象美感。它並沒有像很多標準教材那樣，將PDE的求解拘泥於諸如拉普拉斯方程或熱傳導方程的具體例子，而是直接從變分原理的角度切入，用泛函的語言來構建整個理論框架。這種處理方式的優點是顯而易見的：它極大地提升瞭理論的普適性，使得讀者可以一眼看齣不同物理現象背後的統一數學結構。然而，這種高度概括性的敘述也帶來瞭巨大的實踐障礙。當我試圖將書中的抽象結論應用於一個具體的工程問題時，我發現自己需要花費大量的精力去“反嚮工程”，即從那些高度抽象的、用希爾伯特空間和索伯列夫函數空間搭建的證明中，提煉齣可操作的步驟。這本書更像是一部數學哲學著作，而非一本實用的工具書。它要求讀者在閱讀時，心中必須時刻保持對各種拓撲結構的敏銳洞察力，否則，那些密密麻麻的希臘字母和上下標就會迅速模糊成一片令人頭暈目眩的符號迷宮。