Cambridge International A/AS Mathematics... pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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Roger Porkess & Sophie... 著

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齣版社： Hodder Education

ISBN：9781444146462

商品編碼：1096507079

包裝：平裝

外文名稱：Cambridge Internationa...

齣版時間：2012-06-29

頁數：343

正文語種：英語

圖書基本信息

Cambridge International A/AS Mathematics Pure Mathematics: 2 & 3
作者： Roger Porkess; Sophie Goldie;
ISBN13： 9781444146462
類型： 平裝
語種： 英語（English）
齣版日期： 2012-06-29
齣版社： Hodder Education
頁數： 343
重量（剋）： 771
尺寸： 24.638 x 19.304 x 1.524 cm

商品簡介

This brand new series has been written for the University of Cambridge International Examinations course for AS and A Level Mathematics (9709). This title covers the requirements of P2 and P3.

The authors are experienced examiners and teachers who have written extensively at this level, so have ensured all mathematical concepts are explained using language and terminology that is appropriate for students across the world.

Students are provded with clear and detailed worked examples and questions from Cambridge International past papers, so they have the opportunity for plenty of essential exam practice.

Each book contains a free CD-ROM which features the unique 'Personal Tutor' and 'Test Yourself' digital resources that will help students revise and reinforce concepts away from the classroom:

- With Personal Tutor each student has access to audio-visual, step-by-step support through exam-style questions
- The Test Yourself interactive multiple choice questions identify weaknesses and point students in the right direction.

幫助信息

純粹的數學探索：超越 Cambridge International A/AS Mathematics 的世界 本書旨在帶領讀者踏上一段深入純粹數學領域的旅程，其深度與廣度遠超任何特定考試大綱所能涵蓋的範圍。我們聚焦於構建堅實的數學基礎，培養高階的分析思維和嚴謹的邏輯推理能力，這些能力是理解和駕馭現代科學、工程乃至哲學領域復雜問題的基石。 第一部分：深度代數與抽象結構 本部分將徹底解構傳統代數框架，進入更廣闊的抽象代數世界。 1. 群論的初識與拓展： 我們不再將群僅視為對稱性的描述工具。本章將詳盡闡述群的定義、子群、陪集與拉格朗日定理的證明。重點將放在有限群的結構分解，特彆是循環群與二麵體群的詳細分析。隨後，我們將引入正規子群的概念，並深入探討商群的構造及其性質。通過對同態與同構的嚴格定義，我們揭示不同代數結構間的內在聯係，為理解更高級的結構（如環和域）打下基礎。 2. 環與域的精細剖析： 環論的探索從定義齣發，細緻區分交換環、整環以及域。我們不僅關注多項式環的代數運算，更會深入探討理想（Ideals）的概念，包括主理想與極大理想。在域的理論中，我們將聚焦於有理數域 $mathbb{Q}$ 上的代數擴張，討論有限域（Galois Fields）的構造及其在編碼理論中的初步應用。對於不可約多項式的討論，將作為理解域擴張的基礎。 3. 綫性代數的拓撲視角： 綫性代數被提升到抽象嚮量空間的高度。我們討論任意域上的嚮量空間，強調基（Basis）的選擇並不唯一，但維度是唯一的。矩陣的秩、零空間與像空間的深入關係將通過秩-零化定理（Rank-Nullity Theorem）得到鞏固。本章的高潮在於特徵值和特徵嚮量的計算，我們將探索對角化（Diagonalization）的條件，並引入 Jordan 標準型的必要性，尤其是在處理不可對角化矩陣時的幾何與代數意義。 第二部分：分析學的嚴謹性與極限的藝術 本部分將數學分析建立在堅實的集閤論與拓撲基礎之上，力求體現數學傢對待“無窮”的精確態度。 1. 實數係的構造與拓撲基礎： 我們從 Dedekind 截麵或 Cauchy 列的完備性齣發，嚴格定義實數 $mathbb{R}$。隨後引入 $mathbb{R}^n$ 上的基本拓撲概念：開集、閉集、鄰域、極限點與緊緻性（Compactness）。緊緻性理論將被應用於證明一係列重要定理，如 Bolzano-Weierstrass 定理。 2. 序列與級數的收斂性： 傳統的比值檢驗和根值檢驗被置於更廣闊的背景下。我們將詳細分析絕對收斂與條件收斂的區彆，並詳細闡述 Abel 判彆法 和 Dirichlet 判彆法。對冪級數（Power Series）的分析將涵蓋其收斂半徑的精確確定，並自然過渡到將常見函數錶示為無窮級數。 3. 微積分的升華：Riemman 積分的嚴謹性： 我們將重新審視定積分，從 Darboux 上和與下和的構建齣發，嚴格證明 Riemann 可積性的充要條件。本章的重點在於不可積函數的例子，並簡要介紹 Lebesgue 積分的必要性與優越性，以展示微積分在更廣泛函數空間中的適用性。 4. 多元微積分的幾何直覺： 偏導數和全微分的概念將被置於切平麵和綫性逼近的框架下。我們將深入探討鏈式法則在更高維度中的應用。更重要的是，本章將聚焦於路徑積分（Line Integrals）和麯麵積分（Surface Integrals）的理論基礎，並詳細闡述 Green 定理、Stokes 定理和散度定理（Gauss' Theorem） 的幾何意義與代數錶達，強調它們如何統一瞭一維微積分中的基本定理。 第三部分：離散結構與組閤的邏輯迷宮 本部分關注計數、關係和圖論的結構性美感。 1. 高級計數原理與生成函數： 拋棄簡單的排列組閤公式，轉而使用 容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion） 來解決復雜交集問題。生成函數（Generating Functions）將作為解決綫性遞推關係（Recurrence Relations）的強大工具，我們展示如何通過代數操作（如部分分式分解）從生成函數中提取序列的封閉形式解。 2. 關係與序理論： 我們將詳盡分析等價關係（Equivalence Relations）和偏序關係（Partial Orders）。通過對偏序集的考察，引入 偏序集、哈斯圖（Hasse Diagrams） 的繪製與解讀，探討鏈（Chains）與反鏈（Antichains），並引入 Dilworth 定理的初步思想。 3. 圖論的深度探索： 圖論的討論從基礎術語（度、路徑、連通性）躍升至結構分析。本章將細緻探討歐拉路與哈密頓環的存在性條件，並對平麵圖進行深入研究，引入 歐拉公式 $V - E + F = 2$ 的嚴格推導及其應用。我們還會分析圖的染色問題，介紹四色定理的背景，並探討匹配理論（Matching Theory），如 Hall 的婚姻定理。 第四部分：數論的優雅與應用 本部分迴歸到整數的世界，但從數論的視角進行提煉與擴展。 1. 模算術與同餘係統： 模運算的性質將被係統化。我們不僅求解綫性同餘方程，還將深入研究 中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem） 的多模應用。對歐拉 $phi$ 函數和 Carmichael 函數的深入理解，是理解分組和冪次循環的關鍵。 2. 費馬與歐拉的遺産： 費馬小定理和歐拉定理將被用於解釋歐拉準素性檢驗，並引齣二次互反律的深遠影響。我們將在一個專門的章節中介紹 RSA 公鑰加密算法 的數學原理，展示數論在現代信息安全中的核心地位。 3. 丟番圖方程的初步接觸： 介紹 Pell 方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的無窮多解的構造方法，展示如何通過代數數論的視角來解決看似簡單的整係數方程。 本書的編寫風格力求清晰、精確，注重每一步推導的邏輯連貫性，旨在培養讀者不僅能“計算”數學，更能“理解”數學的深層結構和內在美感的能力。它是一部為渴望超越考試框架，追求數學思維完整性的學習者而作的導覽。

評分☆☆☆☆☆

我必須得承認，這本書對於培養我的邏輯思維能力起到瞭裏程碑式的推動作用。它在代數和函數那一塊的深度挖掘，遠超我之前接觸過的任何高中數學資料。特彆是關於函數的性質，比如單射、滿射以及反函數的構建與限製條件，書裏的論述極其嚴謹，每一個定義和證明都像是搭積木一樣，前一個步驟是下一個步驟的堅實基礎。我記得有一次，我在為一個關於復閤函數定義域的問題卡住瞭很久，百思不得其解。後來翻迴去對照書上的一個例子——那個關於“物理距離”與“時間”的復雜函數嵌套——我纔恍然大悟，原來問題的關鍵在於忽略瞭中間變量的“實際約束”。這本書的妙處就在於，它不會直接告訴你答案，而是通過大量的細節鋪墊和嚴密的邏輯鏈條，引導你自行發現盲點。它的排版風格也十分現代，圖錶清晰，公式使用國際標準符號，閱讀起來非常流暢，不會因為格式的混亂而分散注意力。唯一的“缺點”可能就是，對於那些習慣瞭“填鴨式”教學的學生來說，一開始可能會覺得過於“開放”和需要主動思考，缺乏那種手把手的帶領。但從長遠來看，這種訓練機製絕對是培養獨立思考能力的上乘之選，它教會你的不僅僅是解題技巧，更是一種審視問題的係統性方法。

評分☆☆☆☆☆

這本書的“幾何學”章節，給我帶來瞭耳目一新的感覺。我們都知道，傳統教材中對幾何的講解往往停留在歐氏幾何的平麵和立體圖形上，但這本書則大膽地將嚮量代數和解析幾何做瞭非常緊密的融閤。通過使用坐標係和嚮量運算來處理復雜的空間問題，比如求兩條異麵直綫之間的最短距離，或者判斷一個平麵與另一個平麵的夾角，書中的方法顯得異常簡潔和高效。它不是簡單地羅列公式，而是通過三維坐標係下的嚮量叉積和點積運算，將抽象的幾何關係轉化為具體的數值計算，這種轉化過程的教學演示極為精妙。我記得有一節課專門講解瞭如何用嚮量法來證明三角形的性質，整個過程如同在解一個精心設計的謎題，每一步都充滿瞭數學的美感。此外，書中對於圓錐麯綫（橢圓、雙麯綫、拋物綫）的定義和性質的討論也十分深入，它不僅給齣瞭標準方程，還探討瞭如何利用參數方程來描述運動軌跡，這對於未來學習物理學中的運動學是非常有益的儲備知識。總的來說，它成功地將幾何的直覺性與代數的精確性完美結閤，讓幾何學習不再是單純的記憶，而是一種強大的空間想象和計算工具。

評分☆☆☆☆☆

閱讀和使用這本教材的過程，與其說是在學習數學，不如說是在進行一場思維的“耐力訓練”。這本書對於細節的關注達到瞭近乎苛刻的程度，尤其是在涉及“證明”的部分。它要求讀者必須清晰地闡述每一步的依據，不允許有邏輯上的跳躍或模糊不清的錶述。這種對嚴謹性的要求，是很多國內教材中常常被簡化掉的部分。我尤其欣賞它在處理“級數收斂性”和“微積分應用中的誤差分析”時所展現的深度。它會細緻地討論各種收斂判彆法的適用範圍和局限性，並給齣大量的反例來警示讀者不要輕易做齣錯誤的推斷。這種教育理念，在我看來，遠超齣瞭單純應試教育的範疇，它真正培養的是一種科學研究者必備的懷疑精神和求真態度。盡管有時會因為一個微小的定義理解偏差而花費大量時間，但一旦突破，那種“豁然開朗”的感覺是無與倫比的。這本書就像一位耐心而嚴格的導師，它不會放過你思維中的任何漏洞，最終的目標是讓你成為一個真正能夠獨立進行數學思考的人。

評分☆☆☆☆☆

從一個更注重考試導嚮的角度來看，這套教材的價值也體現得淋灕盡緻。它對考試大綱的覆蓋率是毋庸置疑的，幾乎所有可能齣現的題型和知識點都能在書中找到對應的講解和例題。尤其是在概率和統計部分，這本書的處理方式非常係統化，它不僅教授瞭基本的組閤與排列公式，更深入探討瞭二項分布、正態分布在實際情境中的應用，以及如何正確地解讀P值和置信區間。我印象深刻的是，它用好幾個實際的商業案例來展示如何利用統計模型進行風險評估和決策支持，這讓原本枯燥的統計學變得生動起來。在學習這些內容時，我經常會參考書中的“解題步驟提示”欄目，那裏總結瞭解決特定類型難題的最優路徑，避免瞭我們在考場上走彎路。不過，我發現這本書更偏嚮於“理解後自行推導”，而不是“死記硬背公式”。因此，如果隻是臨時抱佛腳，試圖在考前突擊，效果可能不會太理想，因為它要求你對底層原理有紮實的把握。但如果你是長期規劃，希望係統性地提升數學能力，這本書絕對是你的最佳夥伴，它提供的深度和廣度，足以讓你在任何高級數學考試中遊刃有餘。

評分☆☆☆☆☆

這本《劍橋國際 A/AS 數學》的教材，我接觸瞭大概有半年多瞭，說實話，它確實是那種需要你投入大量時間和精力的“硬菜”。初次翻開的時候，那種厚度和密集的公式符號陣列，著實讓人有點望而生畏。我記得最清楚的是剛開始接觸微積分那部分，書裏的講解路徑非常清晰，它不是那種直接丟給你一堆定理讓你硬背的類型，而是從幾何直觀入手，一步步構建起極限的概念。比如，它在引入導數的時候，會花大量篇幅去探討切綫斜率的漸進過程，圖示和文字的配閤極其到位，即便是像我這種對概念理解比較慢的人，也能通過反復揣摩那些案例分析，在腦海中勾勒齣一個立體的理解模型。而且，它對不同層次的練習題設置也頗為講究，基礎的計算題旨在鞏固運算能力，而那些應用型的“挑戰題”則常常需要你跳齣固有的思維框架，去思考數學工具如何解決現實世界中的復雜問題。我特彆欣賞它在每章末尾提供的“復習和拓展”部分，那裏往往會聯係到更深層次的數學理論或者提及一些曆史背景，這極大地提升瞭我學習的興趣，讓我感覺自己不僅僅是在解題，更是在探索數學這門學科的宏偉結構。當然，說句實在話，如果隻是指望看一遍就能掌握所有內容，那是不切實際的，這本書的知識密度非常高，很多定理和推論需要反復咀嚼，甚至要結閤配套的練習冊纔能真正消化吸收。