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Sheldon Axler & 著

圖書標籤:

• 綫性代數
• 抽象代數
• 數學分析
• 嚮量空間
• 矩陣
• 綫性變換
• 內積空間
• 特徵值
• 譜定理
• 算子理論

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Springer

ISBN：9783319110790

商品編碼：10875880238

包裝：精裝

外文名稱：Linear Algebra Done Right

齣版時間：2014-12-18

頁數：340

正文語種：英語

圖書基本信息

Linear Algebra Done Right
作者： Sheldon Axler;
ISBN13： 9783319110790
類型： 精裝(精裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2014-12-18
齣版社： Springer
頁數： 340
重量（剋）： 789
尺寸： 24.5364 x 15.875 x 2.0574 cm

商品簡介

This best-selling textbook for a second course in linear algebra is aimed at undergrad math majors and graduate students. The novel approach taken here banishes determinants to the end of the book. The text focuses on the central goal of linear algebra: understanding the structure of linear operators on finite-dimensional vector spaces. The author has taken unusual care to motivate concepts and to simplify proofs. A variety of interesting exercises in each chapter helps students understand and manipulate the objects of linear algebra.

The third edition contains major improvements and revisions throughout the book. More than 300 new exercises have been added since the previous edition. Many new examples have been added to illustrate the key ideas of linear algebra. New topics covered in the book include product spaces, quotient spaces, and dual spaces. Beautiful new formatting creates pages with an unusually pleasant appearance in both print and electronic versions.

No prerequisites are assumed other than the usual demand for suitable mathematical maturity. Thus the text starts by discussing vector spaces, linear independence, span, basis, and dimension. The book then deals with linear maps, eigenvalues, and eigenvectors. Inner-product spaces are introduced, leading to the finite-dimensional spectral theorem and its consequences. Generalized eigenvectors are then used to provide insight into the structure of a linear operator.

From reviews of previous editions:
a didactic masterpiece
"Zentralblatt MATH
" a tour de force in the service of simplicity and clarity The most original linear algebra book to appear in years, it certainly belongs in every undergraduate library.
"CHOICE
" The determinant-free proofs are elegant and intuitive.
"American Mathematical Monthly
" Clarity through examples is emphasized the text is ideal for class exercises I congratulate the author and the publisher for a well-produced textbook on linear algebra.
"Mathematical Reviews""

好的，以下是一本名為《Linear Algebra Done Right》的圖書的詳細內容簡介，該簡介不包含原書《Linear Algebra Done Right》中的具體內容，而是構建瞭一個全新且詳盡的綫性代數教材的介紹： --- 《現代矩陣理論與應用：從基礎到前沿》 導言：重塑綫性代數的視角 在科學、工程、數據分析和計算機科學的廣闊領域中，綫性代數無疑是基石。然而，許多傳統的教材往往側重於繁瑣的計算和具體的求解步驟，而忽略瞭支撐這些計算背後的深刻幾何直覺和抽象結構。 《現代矩陣理論與應用：從基礎到前沿》旨在提供一條全新的學習路徑。本書的核心理念是“結構優先，應用為輔”。我們緻力於將讀者從機械的運算中解放齣來，引導他們理解嚮量空間、綫性變換和矩陣如何作為描述復雜係統的強大工具。我們堅信，隻有深刻理解瞭背後的代數結構，纔能更靈活、更有效地運用這些工具解決實際問題。 本書的結構設計經過精心策劃，力求流暢且富有啓發性，確保初學者能夠建立堅實的理論基礎，同時為進階研究者提供深入探討的材料。 --- 第一部分：嚮量空間的結構與基礎（The Foundations of Vector Spaces） 本部分是理解整個綫性代數體係的基石。我們不會急於引入矩陣，而是首先從集閤論的嚴謹性齣發，定義和探索嚮量空間這一核心概念。 第 1 章：抽象空間與基本性質 嚮量的本質重構： 跳齣二維和三維空間的直覺，將嚮量定義為遵循特定公理的集閤元素。探討域（Field）的選擇對空間性質的影響（如實數域 $mathbb{R}$、復數域 $mathbb{C}$ 和有限域）。 子空間與生成集： 嚴格定義子空間，探討綫性組閤、生成（Span）的概念。引入綫性無關性的精確定義，並證明生成集與綫性無關性之間的內在聯係。 基與維數： 這是本章的重點。通過嚴謹的證明，闡述任何有限維嚮量空間都存在基，並且所有基具有相同的“大小”（即維數）。探討基變換的幾何意義。 第 2 章：綫性變換的幾何與代數 變換的定義與性質： 將綫性變換視為連接兩個嚮量空間（定義域和值域）的結構保持映射。重點分析變換的核（Kernel/Null Space）和像（Image/Range）如何揭示變換的特性。 同構與同態： 引入更抽象的視角，討論嚮量空間之間的同構關係，證明同構的等價性條件（基於維數）。 對偶空間與綫性泛函： 介紹函數空間的概念，特彆是與原空間維度相同的對偶空間。探討如何使用對偶基來處理綫性函數，為後續的特徵值分析打下基礎。 --- 第二部分：矩陣的代數結構與錶示（Algebraic Structure of Matrices） 在本部分，我們將矩陣視為綫性變換的具體“快照”，側重於矩陣乘法的結構意義，而非僅僅是運算規則。 第 3 章：矩陣作為綫性映射的錶示 坐標係依賴性： 詳細分析一個固定綫性變換在不同基下的矩陣錶示形式如何通過相似變換（Similarity Transformation）聯係起來。強調矩陣的相似性是描述變換本質的關鍵。 矩陣的初等行/列運算的深層含義： 將初等行變換理解為左乘一個初等矩陣（對應於對域上的操作），初等列變換理解為右乘一個初等矩陣（對應於對嚮量的操作）。 第 4 章：行列式的代數構造 超越三角函數的定義： 采用更具結構性的定義方法（如基於多綫性映射或張量外積的定義），而不是傳統的拉普拉斯展開。重點闡述行列式如何度量綫性變換對體積（或麵積）的縮放因子。 行列式與可逆性： 證明 $det(A) eq 0$ 與 $A$ 的列（或行）綫性無關的等價性，並建立其與綫性方程組唯一解之間的聯係。 --- 第三部分：內部結構與幾何洞察（Inner Structure and Geometric Insight） 本部分將綫性代數從純代數結構提升到具有度量和幾何意義的空間，引入內積和譜理論。 第 5 章：內積空間與幾何結構 內積的公理化定義： 引入內積（Inner Product）的概念，如何定義角度、長度和正交性。 正交基與投影： 重點介紹 Gram-Schmidt 正交化過程的幾何意義，並證明任何有限維內積空間都存在正交基。深入探討正交投影定理，這是最小二乘法和傅裏葉分析的理論核心。 伴隨算子（Adjoint Operator）： 嚴格定義綫性變換的伴隨算子，並探討自伴隨（Self-Adjoint）和正交算子（Orthogonal Operator）在幾何上的特殊意義（如鏇轉與反射）。 第 6 章：特徵值、特徵嚮量與對角化 譜理論的初探： 討論特徵值和特徵嚮量的本質——它們是綫性變換下方嚮保持不變的嚮量。 對角化條件： 詳述一個矩陣可對角化的充分必要條件，這與代數重數和幾何重數的精確關係緊密相關。 實數域上的結構分解： 專門討論在實數域上，非對稱矩陣如何通過相似變換分解為 Jordan 標準型（或Schur分解）的簡化形式，以處理不可約的鏇轉和拉伸。 --- 第四部分：先進主題與應用橋梁（Advanced Topics and Application Bridges） 本部分為那些希望將理論應用於更復雜模型的讀者準備，專注於跨學科的連接點。 第 7 章：矩陣函數與微分方程 矩陣指數與求解： 嚴格定義矩陣函數（如 $e^A$），並討論其在求解綫性常微分方程組（LODEs）中的應用。證明指數映射的性質，如 $exp(A+B) = exp(A)exp(B)$ 僅在 $A$ 和 $B$ 可對易時成立。 譜分解的應用： 展示如何利用特徵分解來計算高次冪矩陣 $A^k$ 或函數 $f(A)$。 第 8 章：張量分析與多重綫性映射 超越矩陣的工具： 介紹張量的基本概念，將其視為多重綫性映射的推廣，而非僅僅是高維數組。 張量的變換律： 闡述協變張量和反變張量在坐標變換下的不同行為，這是物理學和微分幾何的語言基礎。 特徵值問題的推廣： 簡要探討高階張量分解（如 HOSVD）在數據科學中的應用，作為標準矩陣特徵值問題的自然延伸。 --- 總結：麵嚮未來的綫性代數 《現代矩陣理論與應用》不僅是一本關於計算的書，更是一本關於思維方式的書。通過強調抽象結構、幾何直覺以及嚴謹的證明，本書旨在培養讀者對綫性係統進行建模和分析的深刻洞察力，為他們在數學、物理、機器學習和信號處理等領域的進一步探索鋪平道路。讀者將學會“看穿”矩陣的錶象，直達其背後的綫性變換的本質。

評分☆☆☆☆☆

這本教材的排版和印刷質量真是令人印象深刻，紙張的選擇非常厚實，拿在手裏沉甸甸的，有一種高品質的感覺。裝幀設計簡潔而不失現代感，封麵色彩搭配得恰到好處，即便是放在書架上也是一道亮麗的風景綫。內頁的字體清晰度極高，即使是長時間閱讀也不會感到眼睛疲勞，這對於需要鑽研復雜數學概念的學習者來說至關重要。作者在章節劃分上做得非常精妙，邏輯鏈條清晰可見，每一步推導都像精心編織的藝術品，讓人在閱讀時能感受到一種智力上的愉悅。尤其是那些復雜的定理證明，圖文並茂的展示方式，極大地降低瞭理解的門檻。我特彆喜歡它在頁邊空白處留齣的注釋空間，這對於我個人在學習中隨時記錄靈感和疑問非常有幫助，體現瞭設計者對讀者體驗的深度關懷。總而言之，從物理層麵和視覺感受上來說，這是一次非常愉快的“開箱”體驗，讓人對即將展開的閱讀之旅充滿瞭期待，這絕不是那種可以隨便翻閱的普及讀物，而是沉甸甸的知識載體。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，初次翻閱時，我立刻感受到瞭作者在敘事風格上所采取的激進立場——完全拋棄瞭那些繁瑣、機械化的計算技巧，轉而專注於綫性代數的核心思想與結構之美。這種“概念先行”的教學方法，對於那些厭倦瞭隻停留在矩陣乘法和行列式運算的讀者來說，無疑是一種醍醐灌頂。作者仿佛是一位經驗豐富的嚮導，他不是簡單地把你領到目的地，而是帶你領略沿途的風景，讓你真正理解“為什麼”要引入嚮量空間，而不是僅僅記住“如何”計算基嚮量。例如，他對綫性變換的幾何直覺的挖掘，遠比任何一本傳統教材來得深刻和直觀。書中的例子雖然數量上可能不如一些“題海戰術”型的教材，但其每一個例子的選取都經過瞭深思熟慮，旨在強化某個特定的抽象概念。這迫使讀者必須調動更高層次的抽象思維能力，去構建一個穩固的、基於結構的知識體係，而不是依賴於死記硬背的操作流程。對於希望真正掌握這門學科精髓的人來說，這種深度的哲學式探討是無價之寶。

評分☆☆☆☆☆

閱讀過程中，我發現書中對於“同構”和“對偶空間”等高級主題的處理方式，簡直是教科書級彆的典範。作者並沒有將這些內容視為高年級纔需要觸碰的“禁區”，而是巧妙地將其融入到基礎理論的構建之中，使得讀者在不知不覺中就已經接觸並理解瞭這些更深層次的聯係。特彆是關於內積空間的部分，作者對正交性的討論極其詳盡，不僅展示瞭如何運用Gram-Schmidt過程，更重要的是，它闡釋瞭正交性在理論分析中的基礎性地位，例如傅立葉級數在函數空間中的展開。這種貫穿始終的嚴謹性，讓我感覺自己不是在解題，而是在進行一場邏輯上的探險。書中對一些經典誤解的澄清尤為齣色，那些在其他教材中常常被一帶而過、實則暗藏陷阱的地方，在這裏得到瞭細緻入微的剖析，讓人茅塞頓開，避免瞭未來學習中可能齣現的認知偏差。這種對細節的執著和對清晰度的不懈追求，極大地提升瞭學習的效率和深度。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，某種程度上更像是在聆聽一位大師的私人講座，而不是麵對一本冷冰冰的教科書。作者的語言風格充滿瞭自信和一種難以言喻的幽默感，盡管主題是高度抽象的數學，但閱讀起來卻始終保持著一種令人愉悅的節奏感。他善於使用類比，將那些看似遙不可及的代數概念，與我們日常生活中可以觸摸到的空間關係聯係起來，這種“接地氣”的闡釋，極大地彌補瞭純符號推導帶來的疏離感。更值得稱贊的是，書中幾乎所有的證明都采用瞭“自洽”的方式，即證明過程所需的前提知識，要麼在書中已經被明確建立，要麼是讀者應有的基礎背景知識，極少齣現為瞭節省篇幅而“跳步”的情況。對於那些自學成纔的求知者而言，這種尊重讀者獨立思考能力的寫作態度，是構建堅實知識體係的基石。它教會我們的不僅僅是綫性代數的知識點，更重要的是一種嚴謹而優雅的數學思維模式。

評分☆☆☆☆☆

我對比過許多不同版本的綫性代數教材，發現此書在處理綫性代數與分析學、拓撲學交叉領域時的視野是極其開闊的。它不僅僅將綫性代數視為一個孤立的學科，而是將其定位為更宏大數學結構中的一個關鍵樞紐。例如，在引入特徵值和特徵嚮量時，作者毫不吝嗇地展示瞭它們在微分方程解法中的實際應用潛力，這使得學習過程充滿瞭目的性和前瞻性。這種跨學科的視野，極大地拓寬瞭我的學習格局，讓我看到瞭學好綫性代數後可以通往的無數理論高地。此外，書中對某些定義的選擇體現瞭作者對數學美學的深刻理解，它們是如此自然、如此簡潔，仿佛是宇宙的底層代碼一般。這本書的價值不在於讓你快速通過考試，而在於讓你在多年後迴首這段學習經曆時，仍能感受到那種被真正啓濛的震撼，它是一次對智力邊界的溫柔但堅定的拓展，是真正值得反復品味的經典之作。