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Sheldon Axler & 著

图书标签:

• 线性代数
• 抽象代数
• 数学分析
• 向量空间
• 矩阵
• 线性变换
• 内积空间
• 特征值
• 谱定理
• 算子理论

店铺： 澜瑞外文Lanree图书专营店

出版社： Springer

ISBN：9783319110790

商品编码：10875880238

包装：精装

外文名称：Linear Algebra Done Right

出版时间：2014-12-18

页数：340

正文语种：英语

图书基本信息

Linear Algebra Done Right
作者： Sheldon Axler;
ISBN13： 9783319110790
类型： 精装(精装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2014-12-18
出版社： Springer
页数： 340
重量（克）： 789
尺寸： 24.5364 x 15.875 x 2.0574 cm

商品简介

This best-selling textbook for a second course in linear algebra is aimed at undergrad math majors and graduate students. The novel approach taken here banishes determinants to the end of the book. The text focuses on the central goal of linear algebra: understanding the structure of linear operators on finite-dimensional vector spaces. The author has taken unusual care to motivate concepts and to simplify proofs. A variety of interesting exercises in each chapter helps students understand and manipulate the objects of linear algebra.

The third edition contains major improvements and revisions throughout the book. More than 300 new exercises have been added since the previous edition. Many new examples have been added to illustrate the key ideas of linear algebra. New topics covered in the book include product spaces, quotient spaces, and dual spaces. Beautiful new formatting creates pages with an unusually pleasant appearance in both print and electronic versions.

No prerequisites are assumed other than the usual demand for suitable mathematical maturity. Thus the text starts by discussing vector spaces, linear independence, span, basis, and dimension. The book then deals with linear maps, eigenvalues, and eigenvectors. Inner-product spaces are introduced, leading to the finite-dimensional spectral theorem and its consequences. Generalized eigenvectors are then used to provide insight into the structure of a linear operator.

From reviews of previous editions:
a didactic masterpiece
"Zentralblatt MATH
" a tour de force in the service of simplicity and clarity The most original linear algebra book to appear in years, it certainly belongs in every undergraduate library.
"CHOICE
" The determinant-free proofs are elegant and intuitive.
"American Mathematical Monthly
" Clarity through examples is emphasized the text is ideal for class exercises I congratulate the author and the publisher for a well-produced textbook on linear algebra.
"Mathematical Reviews""

好的，以下是一本名为《Linear Algebra Done Right》的图书的详细内容简介，该简介不包含原书《Linear Algebra Done Right》中的具体内容，而是构建了一个全新且详尽的线性代数教材的介绍： --- 《现代矩阵理论与应用：从基础到前沿》 导言：重塑线性代数的视角 在科学、工程、数据分析和计算机科学的广阔领域中，线性代数无疑是基石。然而，许多传统的教材往往侧重于繁琐的计算和具体的求解步骤，而忽略了支撑这些计算背后的深刻几何直觉和抽象结构。 《现代矩阵理论与应用：从基础到前沿》旨在提供一条全新的学习路径。本书的核心理念是“结构优先，应用为辅”。我们致力于将读者从机械的运算中解放出来，引导他们理解向量空间、线性变换和矩阵如何作为描述复杂系统的强大工具。我们坚信，只有深刻理解了背后的代数结构，才能更灵活、更有效地运用这些工具解决实际问题。 本书的结构设计经过精心策划，力求流畅且富有启发性，确保初学者能够建立坚实的理论基础，同时为进阶研究者提供深入探讨的材料。 --- 第一部分：向量空间的结构与基础（The Foundations of Vector Spaces） 本部分是理解整个线性代数体系的基石。我们不会急于引入矩阵，而是首先从集合论的严谨性出发，定义和探索向量空间这一核心概念。 第 1 章：抽象空间与基本性质 向量的本质重构： 跳出二维和三维空间的直觉，将向量定义为遵循特定公理的集合元素。探讨域（Field）的选择对空间性质的影响（如实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$ 和有限域）。 子空间与生成集： 严格定义子空间，探讨线性组合、生成（Span）的概念。引入线性无关性的精确定义，并证明生成集与线性无关性之间的内在联系。 基与维数： 这是本章的重点。通过严谨的证明，阐述任何有限维向量空间都存在基，并且所有基具有相同的“大小”（即维数）。探讨基变换的几何意义。 第 2 章：线性变换的几何与代数 变换的定义与性质： 将线性变换视为连接两个向量空间（定义域和值域）的结构保持映射。重点分析变换的核（Kernel/Null Space）和像（Image/Range）如何揭示变换的特性。 同构与同态： 引入更抽象的视角，讨论向量空间之间的同构关系，证明同构的等价性条件（基于维数）。 对偶空间与线性泛函： 介绍函数空间的概念，特别是与原空间维度相同的对偶空间。探讨如何使用对偶基来处理线性函数，为后续的特征值分析打下基础。 --- 第二部分：矩阵的代数结构与表示（Algebraic Structure of Matrices） 在本部分，我们将矩阵视为线性变换的具体“快照”，侧重于矩阵乘法的结构意义，而非仅仅是运算规则。 第 3 章：矩阵作为线性映射的表示 坐标系依赖性： 详细分析一个固定线性变换在不同基下的矩阵表示形式如何通过相似变换（Similarity Transformation）联系起来。强调矩阵的相似性是描述变换本质的关键。 矩阵的初等行/列运算的深层含义： 将初等行变换理解为左乘一个初等矩阵（对应于对域上的操作），初等列变换理解为右乘一个初等矩阵（对应于对向量的操作）。 第 4 章：行列式的代数构造 超越三角函数的定义： 采用更具结构性的定义方法（如基于多线性映射或张量外积的定义），而不是传统的拉普拉斯展开。重点阐述行列式如何度量线性变换对体积（或面积）的缩放因子。 行列式与可逆性： 证明 $det(A) eq 0$ 与 $A$ 的列（或行）线性无关的等价性，并建立其与线性方程组唯一解之间的联系。 --- 第三部分：内部结构与几何洞察（Inner Structure and Geometric Insight） 本部分将线性代数从纯代数结构提升到具有度量和几何意义的空间，引入内积和谱理论。 第 5 章：内积空间与几何结构 内积的公理化定义： 引入内积（Inner Product）的概念，如何定义角度、长度和正交性。 正交基与投影： 重点介绍 Gram-Schmidt 正交化过程的几何意义，并证明任何有限维内积空间都存在正交基。深入探讨正交投影定理，这是最小二乘法和傅里叶分析的理论核心。 伴随算子（Adjoint Operator）： 严格定义线性变换的伴随算子，并探讨自伴随（Self-Adjoint）和正交算子（Orthogonal Operator）在几何上的特殊意义（如旋转与反射）。 第 6 章：特征值、特征向量与对角化 谱理论的初探： 讨论特征值和特征向量的本质——它们是线性变换下方向保持不变的向量。 对角化条件： 详述一个矩阵可对角化的充分必要条件，这与代数重数和几何重数的精确关系紧密相关。 实数域上的结构分解： 专门讨论在实数域上，非对称矩阵如何通过相似变换分解为 Jordan 标准型（或Schur分解）的简化形式，以处理不可约的旋转和拉伸。 --- 第四部分：先进主题与应用桥梁（Advanced Topics and Application Bridges） 本部分为那些希望将理论应用于更复杂模型的读者准备，专注于跨学科的连接点。 第 7 章：矩阵函数与微分方程 矩阵指数与求解： 严格定义矩阵函数（如 $e^A$），并讨论其在求解线性常微分方程组（LODEs）中的应用。证明指数映射的性质，如 $exp(A+B) = exp(A)exp(B)$ 仅在 $A$ 和 $B$ 可对易时成立。 谱分解的应用： 展示如何利用特征分解来计算高次幂矩阵 $A^k$ 或函数 $f(A)$。 第 8 章：张量分析与多重线性映射 超越矩阵的工具： 介绍张量的基本概念，将其视为多重线性映射的推广，而非仅仅是高维数组。 张量的变换律： 阐述协变张量和反变张量在坐标变换下的不同行为，这是物理学和微分几何的语言基础。 特征值问题的推广： 简要探讨高阶张量分解（如 HOSVD）在数据科学中的应用，作为标准矩阵特征值问题的自然延伸。 --- 总结：面向未来的线性代数 《现代矩阵理论与应用》不仅是一本关于计算的书，更是一本关于思维方式的书。通过强调抽象结构、几何直觉以及严谨的证明，本书旨在培养读者对线性系统进行建模和分析的深刻洞察力，为他们在数学、物理、机器学习和信号处理等领域的进一步探索铺平道路。读者将学会“看穿”矩阵的表象，直达其背后的线性变换的本质。

评分☆☆☆☆☆

阅读过程中，我发现书中对于“同构”和“对偶空间”等高级主题的处理方式，简直是教科书级别的典范。作者并没有将这些内容视为高年级才需要触碰的“禁区”，而是巧妙地将其融入到基础理论的构建之中，使得读者在不知不觉中就已经接触并理解了这些更深层次的联系。特别是关于内积空间的部分，作者对正交性的讨论极其详尽，不仅展示了如何运用Gram-Schmidt过程，更重要的是，它阐释了正交性在理论分析中的基础性地位，例如傅立叶级数在函数空间中的展开。这种贯穿始终的严谨性，让我感觉自己不是在解题，而是在进行一场逻辑上的探险。书中对一些经典误解的澄清尤为出色，那些在其他教材中常常被一带而过、实则暗藏陷阱的地方，在这里得到了细致入微的剖析，让人茅塞顿开，避免了未来学习中可能出现的认知偏差。这种对细节的执着和对清晰度的不懈追求，极大地提升了学习的效率和深度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，某种程度上更像是在聆听一位大师的私人讲座，而不是面对一本冷冰冰的教科书。作者的语言风格充满了自信和一种难以言喻的幽默感，尽管主题是高度抽象的数学，但阅读起来却始终保持着一种令人愉悦的节奏感。他善于使用类比，将那些看似遥不可及的代数概念，与我们日常生活中可以触摸到的空间关系联系起来，这种“接地气”的阐释，极大地弥补了纯符号推导带来的疏离感。更值得称赞的是，书中几乎所有的证明都采用了“自洽”的方式，即证明过程所需的前提知识，要么在书中已经被明确建立，要么是读者应有的基础背景知识，极少出现为了节省篇幅而“跳步”的情况。对于那些自学成才的求知者而言，这种尊重读者独立思考能力的写作态度，是构建坚实知识体系的基石。它教会我们的不仅仅是线性代数的知识点，更重要的是一种严谨而优雅的数学思维模式。

评分☆☆☆☆☆

这本教材的排版和印刷质量真是令人印象深刻，纸张的选择非常厚实，拿在手里沉甸甸的，有一种高品质的感觉。装帧设计简洁而不失现代感，封面色彩搭配得恰到好处，即便是放在书架上也是一道亮丽的风景线。内页的字体清晰度极高，即使是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳，这对于需要钻研复杂数学概念的学习者来说至关重要。作者在章节划分上做得非常精妙，逻辑链条清晰可见，每一步推导都像精心编织的艺术品，让人在阅读时能感受到一种智力上的愉悦。尤其是那些复杂的定理证明，图文并茂的展示方式，极大地降低了理解的门槛。我特别喜欢它在页边空白处留出的注释空间，这对于我个人在学习中随时记录灵感和疑问非常有帮助，体现了设计者对读者体验的深度关怀。总而言之，从物理层面和视觉感受上来说，这是一次非常愉快的“开箱”体验，让人对即将展开的阅读之旅充满了期待，这绝不是那种可以随便翻阅的普及读物，而是沉甸甸的知识载体。

评分☆☆☆☆☆

我对比过许多不同版本的线性代数教材，发现此书在处理线性代数与分析学、拓扑学交叉领域时的视野是极其开阔的。它不仅仅将线性代数视为一个孤立的学科，而是将其定位为更宏大数学结构中的一个关键枢纽。例如，在引入特征值和特征向量时，作者毫不吝啬地展示了它们在微分方程解法中的实际应用潜力，这使得学习过程充满了目的性和前瞻性。这种跨学科的视野，极大地拓宽了我的学习格局，让我看到了学好线性代数后可以通往的无数理论高地。此外，书中对某些定义的选择体现了作者对数学美学的深刻理解，它们是如此自然、如此简洁，仿佛是宇宙的底层代码一般。这本书的价值不在于让你快速通过考试，而在于让你在多年后回首这段学习经历时，仍能感受到那种被真正启蒙的震撼，它是一次对智力边界的温柔但坚定的拓展，是真正值得反复品味的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，初次翻阅时，我立刻感受到了作者在叙事风格上所采取的激进立场——完全抛弃了那些繁琐、机械化的计算技巧，转而专注于线性代数的核心思想与结构之美。这种“概念先行”的教学方法，对于那些厌倦了只停留在矩阵乘法和行列式运算的读者来说，无疑是一种醍醐灌顶。作者仿佛是一位经验丰富的向导，他不是简单地把你领到目的地，而是带你领略沿途的风景，让你真正理解“为什么”要引入向量空间，而不是仅仅记住“如何”计算基向量。例如，他对线性变换的几何直觉的挖掘，远比任何一本传统教材来得深刻和直观。书中的例子虽然数量上可能不如一些“题海战术”型的教材，但其每一个例子的选取都经过了深思熟虑，旨在强化某个特定的抽象概念。这迫使读者必须调动更高层次的抽象思维能力，去构建一个稳固的、基于结构的知识体系，而不是依赖于死记硬背的操作流程。对于希望真正掌握这门学科精髓的人来说，这种深度的哲学式探讨是无价之宝。