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Luther Pfahler Eisenhart 编

图书标签:

• 黎曼几何
• 微分几何
• 流形
• 拓扑学
• 数学
• 几何学
• 高等数学
• 曲线曲面
• 张量分析
• 数学物理

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510037498

版次：1

商品编码：10914297

包装：平装

开本：24开

出版时间：2011-07-01

用纸：胶版纸

页数：306

内容简介

目录

前言/序言

欧几里得之后的空间：一场深入拓扑与微分流形的探索 绪论：超越平坦的直觉 自古希腊人建立起欧几里得几何体系以来，人类对空间的理解似乎被锁定在平直的三维世界中。这条清晰、直观的道路统治了物理学和工程学数千年。然而，随着对宇宙深层结构的探究深入，尤其是当我们将目光投向更为精细的尺度或更高维度的抽象时，这种欧几里得的直觉开始崩塌。我们迫切需要一种新的数学工具，一种能够描述弯曲、扭曲、局部平坦但整体却呈现复杂拓扑结构的“空间”。 本书旨在提供这样一套工具，它不再满足于简单的点、线、面，而是将“空间”本身视为一个动态的、可微分的实体。我们跨越了纯粹的拓扑学界限，进入了微分几何的广阔领域。本书的重点在于构建和理解一个微分流形的概念框架，这是现代数学和理论物理学的基石之一。 第一部分：拓扑学的基石与流形的孕育 在进入微分结构之前，我们必须夯实拓扑学的地基。拓扑学，常被称为“橡皮泥几何学”，关注的是空间在连续形变下保持不变的性质。 第一章：连续性与度量空间的回顾 我们从复习拓扑学的基础概念开始：集合、拓扑、开集、闭集、邻域以及紧致性与连通性。在此基础上，我们引入度量空间的概念。度量（距离函数）是我们理解空间“大小”和“邻近性”的第一个工具。虽然拓扑结构不依赖于度量，但度量为我们引入后续的微分概念提供了必要的分析基础。我们将详细探讨完备性（Completeness）的重要性，例如巴拿赫空间，它们是无限维几何研究的起点。 第二章：流形的定义与基本实例 流形（Manifold）是本书的核心对象。一个 $n$ 维流形可以被粗略地描述为：在足够小的邻域内，它看起来像 $mathbb{R}^n$ 的空间。我们严格定义了拓扑流形，包括局部坐标系（图/Chart）、开复盖（Atlas）以及最重要的——转移映射（Transition Maps）。转移映射的性质决定了流形的结构。如果转移映射是连续的，我们得到一个拓扑流形；如果它们是可微的，我们得到了一个微分流形。 本书将详细分析关键的低维流形实例： 曲线与曲面： 从圆周 $S^1$ 到球面 $S^2$ 和环面 $T^2$。我们将探索二维流形的拓扑不变量，如亏格（Genus）。 更高维度的球面 $S^n$： 球面不仅仅是一个表面，它是一个具有深刻代数拓扑意义的对象。我们将初步触及球面上的奇异性问题。 实射影空间 $mathbb{R}P^n$ 和复射影空间 $mathbb{C}P^n$： 这些空间在代数几何和拓扑中扮演核心角色，它们的构造揭示了空间如何通过“粘合”线或平面形成更复杂的结构。 第三章：拓扑不变量与分类 为了区分不同的流形，我们需要找到在同胚映射下保持不变的量——拓扑不变量。我们将重点研究： 基本群（Fundamental Group）： 衡量一个流形“洞”的数量。我们计算 $S^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$，并讨论非平凡流形（如环面）的基本群结构。 覆盖空间（Covering Spaces）： 这是一个将低维拓扑提升到更高维度（或更复杂结构）的强大技术。通过分析 $mathbb{R}$ 如何覆盖 $S^1$，我们能更深入地理解 $S^1$ 的结构。 第二部分：微分结构：切空间与张量场 拓扑流形只告诉我们空间是“连续”的，但要进行微积分、研究曲率和测地线，我们需要微分结构。 第四章：光滑性与切空间 我们引入光滑流形的严格定义，要求转移映射是无穷可微的 ($C^{infty}$)。在此基础上，我们发展出微分几何的核心工具：切空间 ($T_pM$)。 向量场的定义： 切空间是流形上每一点的“切面”，它捕捉了在该点所有可能的瞬时方向和变化率。我们从曲线上的速度向量开始，推广到整个流形上的光滑向量场。 切丛（Tangent Bundle）： 将所有点的切空间集合起来，形成一个更大的流形——切丛 $TM$，这是研究微分几何的第一个“孪生”结构。 第五章：张量、微分形式与外导数 要进行积分和微分运算，我们需要超越向量的范畴，引入张量。 张量场： 从协变（对偶）向量场（1-形式）到更一般的 $(k, l)$ 型张量场。我们阐述张量如何在坐标变换下保持其几何意义不变。 外代数与楔积： 介绍微分 $k$-形式 ($Omega^k(M)$)。楔积（Wedge Product）是定义体积和积分形式的基础，它赋予了高阶微分形式反对称的结构。 外微分（Exterior Differentiation）： 这是微分的核心操作 $d$，它推广了梯度、散度和旋度的概念。我们详细分析 $d$ 算子的基本性质，特别是 $d^2=0$ 的重要性，这是推广微积分基本定理的关键。 第六章：积分与德拉姆上同调 微分形式的强大之处在于它们能被积分。 流形上的积分： 如何在弯曲空间上定义对 $k$-形式的积分。 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）： 本章的高潮是将微积分基本定理推广到任意维度的流形上的普适公式。这个定理简洁地统一了格林、高斯和牛顿-莱布尼茨定理。 德拉姆上同调（de Rham Cohomology）： 利用 $d^2=0$ 的事实，我们定义了上同调群 $H^k_{dR}(M)$。这是将拓扑信息（如“洞”）编码到分析对象（微分形式）中的桥梁。我们展示封闭形式不一定是恰当形式（即存在“洞”）。 第三部分：黎曼几何的入口：度量与曲率 虽然前两部分奠定了微分流形的基础，但要谈论长度、角度和曲率，我们需要在流形上植入一个黎曼度量。 第七章：黎曼度量与长度 黎曼度量张量 $g$： 在每个切空间上定义一个正定的内积。这个度量 $g$ 允许我们在流形上测量向量的长度和夹角。 诱导度量与测地线： 通过黎曼度量，我们可以计算流形上曲线的长度，并引出测地线（Geodesics）的概念——空间中“最短的路径”。我们推导出测地线方程，它们是测地线在弯曲空间中的运动规律。 第八章：联络与曲率的几何 在曲线上，我们知道如何平行移动一个向量（保持方向不变）。但在弯曲流形上，一个向量从一点移动到邻近点时，其方向如何保持“平行”？这就需要一个联络。 仿射联络与协变导数： 引入 $ abla$ 算子，用于定义沿曲线的向量平行移动。 黎曼几何的核心： 我们定义了 黎曼几何 特有的概念：度量兼容性（$ abla g = 0$）和无挠性（Torsion-free）。 里奇张量与曲率张量： 检验一个联络是否“保持平行”的理想状态（即平坦），就是研究其曲率。里奇曲率张量 $R$ 衡量了曲面在无穷小邻域内偏离平坦的程度。我们将分析二维曲面的高斯曲率，并引入高斯绝妙定理，展示曲率是如何被内蕴地编码在流形本身中的。 本书在引入这些核心概念后，为读者提供了深入研究爱因斯坦场方程（需要利用里奇张量）或更高级的纤维丛理论（如主丛和向量丛）的坚实基础，但将这些应用留给后续的专业探讨。我们聚焦于如何从最基本的拓扑概念出发，系统地构建起一个可以进行微积分和几何测量的数学框架。

评分☆☆☆☆☆

这是一本挑战极限的数学著作，需要读者具备相当的数学功底，并且有耐心去细嚼慢咽。如果你期望找到一本轻松易懂的入门读物，那么这本书可能不是你的首选。然而，对于那些渴望深入理解现代几何学核心的学者和学生来说，它无疑是一座宝藏。作者在处理一些最核心的数学概念时，展现出了惊人的清晰度和深度，尽管过程依然充满挑战。我反复阅读了关于黎曼流形上的微分算子以及它们与几何结构的深刻联系的章节，每一次阅读都有新的体会。书中的证明严谨而又不失优雅，让我能够追踪作者的思路，一步步走向结论。它不仅仅是一本教材，更是一份对数学之美的致敬。读这本书，需要一种沉静的心态，需要一种不畏艰难、勇于探索的精神，但一旦你克服了最初的障碍，你所获得的将是无与伦比的数学洞见。

评分☆☆☆☆☆

这本书为我打开了一个全新的数学视角，让我看到了数学在描述自然界中的强大力量。它不仅仅是抽象的符号游戏，而是能够真实地反映我们所处宇宙的几何本质。书中关于曲率张量如何刻画空间弯曲程度的讲解，让我仿佛能够“触摸”到时空的变形。我被书中对黎曼几何在广义相对论中的应用的精彩阐释所深深吸引，这让我意识到，那些晦涩的数学公式背后，隐藏着对宇宙最深刻的理解。作者的写作风格，带着一种独特的哲学韵味，他不仅仅是在陈述事实，更是在引导读者去思考数学与现实世界之间的联系。读这本书的过程，就像是在进行一场智力上的跋涉，每一次攻克难关，都能感受到数学的魅力和力量。它让我对物理学和宇宙学有了更深刻的理解，也让我对数学的抽象之美有了更深的敬畏。

评分☆☆☆☆☆

这本书就像一座精美的数学迷宫，让我彻底迷失其中，但又沉醉其中无法自拔。刚翻开时，那些抽象的概念和复杂的符号像一层迷雾，让我有些望而却步。然而，随着一页页地深入，我仿佛被引领着穿梭于一个由曲面、测地线和曲率编织而成的奇妙世界。作者巧妙地将直观的几何图像与严谨的代数工具相结合，使得那些原本难以想象的高维空间变得触手可及。书中对张量、联络、曲率张量等核心概念的讲解，如同为我打开了一扇通往更深层次数学理解的大门。我尤其欣赏作者在阐述这些概念时所展现出的细致入微，他不仅给出了严格的定义，更通过丰富的例子和类比，让我能够深刻体会其几何意义。读这本书的过程，与其说是在学习，不如说是在经历一场智力上的探险，每一次克服一个难点，都带来巨大的成就感。它让我重新认识了空间，不再仅仅是熟悉的欧几里得三维空间，而是充满了无限可能与复杂性的黎曼流形。

评分☆☆☆☆☆

这本书如同一场精妙的数学“侦探小说”，每一个定理、每一个证明都像是一个等待被解开的谜团。作者用一种极其精巧的方式，将那些原本看似独立的概念串联起来，构建起一个宏大而和谐的数学体系。我尤其着迷于书中对曲率和测地线之间关系的深刻探讨，这让我看到了数学内部逻辑的强大自洽性。作者的讲解风格，时而严谨得如同外科手术般精确，时而又富含洞察力，能够穿透表象直达本质。阅读这本书，需要一种高度的专注和分析能力，你需要不断地在概念和公式之间建立联系，才能真正理解其中的精髓。它让我体会到了数学之美，不仅仅在于其形式的优雅，更在于其能够揭示事物本质的深邃力量。这是一本值得反复品味的书，每一次重读，都能从中发现新的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，就像是在一次精心策划的哲学思辨之旅。它不仅仅是在教授数学公式和定理，更是在引导读者去思考“空间”本身的本质。“距离”不再仅仅是简单的尺子丈量，而是由流形的内在性质决定的，这种“内在地”的度量方式，彻底颠覆了我原有的空间观。书中关于测地线的讨论，让我得以窥见宇宙中最“自然”的路径，它们是如何在弯曲的时空中“伸展”自身的。作者的叙述风格，时而如同一位睿智的老者，娓娓道来，引人入胜；时而又像一位严谨的学者，一丝不苟，不容置疑。我被书中对微分几何深刻洞察所深深吸引，每一次对曲率的深入剖析，都让我对世界的运作方式有了更进一步的理解。读完这本书，我感觉自己看待周围的世界，都多了一层由数学织就的滤镜，那些日常的景象，似乎都蕴含着更深层的几何结构。

评分☆☆☆☆☆

1 The General Topology of Dynamical Systems, Ethan Akin (1993, ISBN 978-0-8218-4932-3)[1]

评分☆☆☆☆☆

好书啊，盼着很久了终于买到了。

评分☆☆☆☆☆

好好好好好好

评分☆☆☆☆☆

4 The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Russell A. Gordon (1994, ISBN 978-0-8218-3805-1)

评分☆☆☆☆☆

以下一段讨论涉及物理时所说的“欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。

评分☆☆☆☆☆

在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限

评分☆☆☆☆☆

1 The General Topology of Dynamical Systems, Ethan Akin (1993, ISBN 978-0-8218-4932-3)[1]

评分☆☆☆☆☆

物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。

评分☆☆☆☆☆

非常好的书，快递给力