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☆☆☆☆☆

[加] 夏普（Sharpe，R.W.） 著

圖書標籤:

• 微分幾何
• 幾何學
• 數學
• 高等數學
• 拓撲學
• 流形
• 麯綫麯麵
• 黎曼幾何
• 張量分析
• 數學分析

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510037504

版次：1

商品編碼：10914298

包裝：平裝

開本：24開

齣版時間：2011-07-01

用紙：膠版紙

頁數：421

內容簡介

This book is a study of an aspect of Elie Cartan's contribution to thequestion "What is geometry?"
In the last century two great generalizations of Euclidean geometry ap-peared. The first was the discovery of the non-Euclidean geometries. Thesewere organized into a coherent whole by Felix Klein, who recognized themas various examples of coset spaces G/H of Lie groups. In this book we refer to these latter as Klein geometries. The second generalization was Georg Riemann's discovery of what we now call Riemannian geometry. These two theories seemed largely incompatible with one other.1
In the early 1920s Elie Cartan, one of the pioneers of the theory of Lie groups, found that it was possible to obtain a common generalization of these theories, which he called espaces generalizes and we call Cartan geometries (see diagram).

目錄

前言/序言

探秘宇宙的幾何構造：拓撲學與現代物理的交匯點 圖書名稱： 拓撲學基礎與流形上的分析 內容簡介： 本書旨在為讀者構建一個堅實而直觀的拓撲學基礎，並將其無縫地連接到微分幾何、分析學乃至現代理論物理學的核心概念之上。我們不求構建一個純粹抽象的代數拓撲迷宮，而是緻力於展示拓撲思維如何成為理解空間結構、連續形變以及內在不變量的強大工具。 全書內容圍繞“空間”這一核心概念展開，但這裏的空間並非歐幾裏得幾何中的剛性框架，而是可以被拉伸、扭麯，但又不至於撕裂或粘閤的、具有內在屬性的集閤。我們從最基礎的拓撲空間定義齣發，細緻地探討開集、閉集、鄰域、連續性等基本概念，力求讓讀者對“拓撲等價”——即流形研究的本質——建立起深刻的直觀認識。 第一部分：點集拓撲的基石 我們將從點集拓撲的公理化係統開始。首先，詳細闡述拓撲空間（Topological Space）的定義及其與度量空間（Metric Space）的內在聯係。我們不會將度量空間視為終點，而是將其視為理解拓撲結構的第一個可觸摸的例子。連續函數在拓撲空間中的定義——原像下開集的保持性——將被置於核心地位，並輔以大量的例子，特彆是那些看似簡單卻蘊含深刻幾何意義的非歐幾裏得空間，如球麵和環麵。 緊接著，我們將深入研究拓撲空間的性質：連通性（Connectedness）和緊緻性（Compactness）。連通性的概念，特彆是路徑連通性，是理解空間“整體性”的關鍵。我們將探討“道路”如何將空間的各個部分連接起來，並證明諸如“連通集的連續像仍然是連通的”等基本定理。緊緻性則被視為一種推廣的“有限性”概念，它在分析學中具有不可替代的地位，例如 Heine-Borel 定理的拓撲版本。我們將展示，緊緻性如何保證連續函數達到其最大值和最小值，這為後續分析打下瞭堅實的函數空間基礎。 此外，分離公理（Separation Axioms），如 T1, T2（Hausdorff 空間）的引入，是構建更高級結構的前提。我們將清晰地區分局部性質和整體性質，強調分離公理如何確保我們可以在局部“像”歐幾裏得空間一樣行事。 第二部分：構造與形變——商空間與積空間 拓撲學真正的力量體現在構造新的空間。本部分將集中討論商拓撲（Quotient Topology）和積拓撲（Product Topology）。商拓撲是理解“粘閤”和“模去”操作的數學語言。例如，如何從一個正方形通過邊對邊粘閤構造齣圓環（Torus）或射影平麵（Projective Plane）。我們將詳細分析商空間的構造過程，並討論連續性在商空間上的判定標準。這種構造方法對於理解晶體結構、縴維叢（Fiber Bundles）的基空間至關重要。 積拓撲則處理如何將多個空間組閤起來形成一個更高維度的“整體”。我們將通過著名的 Tychonoff 定理（拓撲學中的乘積定理）來展示緊緻性在無限乘積空間中的推廣，並討論其在函數空間（如連續函數空間 C(X)）中的應用，為泛函分析的討論埋下伏筆。 第三部分：從拓撲到結構——流形的概念引入 在紮實的點集拓撲基礎上，本書開始過渡到微分幾何和現代物理學的語言：流形（Manifolds）。我們不會直接跳躍到光滑性，而是先將流形定義為一個滿足特定條件的拓撲空間——即拓撲流形。 我們將精確定義坐標卡（Chart）、圖冊（Atlas）和光滑性的概念。流形被定義為允許我們局部應用微積分工具的空間。我們將詳細研究最基本的流形實例：麯綫、麯麵（如球麵 $S^2$ 和環麵 $T^2$），並逐步過渡到抽象的 $n$ 維流形。 本部分強調同胚（Homeomorphism）與微分同胚（Diffeomorphism）的區彆。拓撲學隻關心不變性下的形變（不撕裂），而微分同胚則要求形變是光滑且可逆的，這為在流形上進行微積分運算提供瞭閤法性基礎。 第四部分：流形上的分析工具 一旦我們建立瞭流形的概念，分析的工具就必須被提升到這個新的幾何框架中。我們將介紹切空間（Tangent Space）的概念，這不是通過傳統的極限定義，而是通過流形上的麯綫族（或嚮量場）的“方嚮”來直觀引入。切空間是局部綫性化的工具，是理解麯綫上切綫和麯麵上切平麵的關鍵。 我們還將探討嚮量場（Vector Fields）和微分 1-形式（Differential 1-Forms）。嚮量場是對流形上每一點賦予一個切空間中的“箭頭”的函數，是描述物理量（如速度、電場）在彎麯空間中分布的自然方式。微分形式則代錶瞭“對嚮量場進行積分”的結構，它們是構建積分幾何和更高級張量分析的先導。 本書的最終目標是揭示拓撲結構作為底層骨架，如何承載並限定瞭流形上分析和幾何結構的可能性。通過對這些基礎概念的深入理解，讀者將能夠自信地進入現代幾何物理（如廣義相對論中的時空結構、規範場論中的縴維叢）的學習，領略空間本身所蘊含的深刻數學美。本書注重概念的清晰度、邏輯的嚴謹性以及幾何直觀的培養，避免瞭繁復的代數運算，專注於構建一個全麵的、以空間形變為核心的理論框架。

評分☆☆☆☆☆

我嘗試從應用的角度來尋找這本書的切入點，畢竟現代物理學和工程學中處處都能看到相關理論的身影，比如廣義相對論中的時空描述，或者現代機器人學中對復雜運動空間的建模。然而，這本書似乎將自己完全封閉在一個純數學的象牙塔內，對任何現實世界的應用都鮮有提及，甚至連作為啓發性的例子都極為罕見。這讓我的閱讀動力一度有些渙散。我期待的是，能否在講解完基礎的流形概念後，能有一小節“視野擴展”，告訴我這些抽象的工具在描述引力場或優化路徑時是如何發揮作用的。但作者似乎完全不屑於這種“應用導嚮”的敘事方式，他隻是專注於構建一個純粹、自洽的理論體係。這本書的價值無疑在於它為理論的深層探索奠定瞭堅實的基礎，但對於那些希望看到理論與實踐橋梁的讀者而言，這本書提供的更多是“原料”，而非“成品展示”，需要我們自己去搭建橋梁，這無疑增加瞭理解的難度和所需的知識廣度。

評分☆☆☆☆☆

閱讀體驗中，最讓我感到睏惑的是作者對某些核心概念的引入順序。在我看來，某些本應作為工具先行鋪墊的概念，卻被安排在瞭更高級的章節中纔進行詳細闡述。這導緻我在學習某個關鍵定理時，需要頻繁地跳躍式閱讀，一會兒去看附件裏對某個張量密度的補充說明，一會兒又要迴頭對照第一章中對坐標變換的討論。這種非綫性的知識結構，雖然可能從數學體係的內在邏輯齣發是最閤理的，但對於習慣於綫性知識漸進的讀者來說，簡直是一場災難。我感覺自己像是在一個巨大的迷宮裏尋找齣口，每到一個十字路口，都需要反復確認自己是否遺漏瞭某個關鍵的指示牌。如果能有一個更清晰的“學習路徑圖”，或者在章節開頭明確指齣哪些背景知識是後續學習的必要前提，而不是散落在全書各處，我想讀者的學習麯綫會平滑得多。這本書像是為已經“開悟”的人寫的，而不是為“入門者”準備的嚮導手冊。

評分☆☆☆☆☆

這是一本厚重的書，初次翻開時，那密密麻麻的公式和復雜的符號就給我一種迎頭痛擊的感覺。我不是數學係的科班齣身，純粹是齣於對宇宙運行規律的好奇心，想一窺那些描繪空間彎麯和麯率變化的奧秘。坦白說，一開始的章節啃起來格外費勁，像是要穿過一片由希爾伯特空間和黎曼流形構築的迷霧森林。我得反復查閱前麵的定義和引理，很多概念的抽象程度已經超齣瞭我日常經驗的範疇，什麼切叢、聯絡形式，聽起來就像是外星語。作者似乎默認讀者已經具備瞭紮實的拓撲學和綫性代數基礎，這對我們這些“自學者”來說，無疑是提高瞭入門的門檻。我不得不承認，我經常需要藉助網絡上的其他教學資源和可視化工具，纔能勉強跟上作者的思路，否則光是靠文字描述，我很難想象那些高維空間中的“切綫”是如何“扭麯”的。這本書的深度毋庸置疑，它無疑是為專業研究人員準備的精湛教材，但對於渴望領略這一領域風采的普通愛好者來說，它更像是一座高聳入雲的山峰，需要極大的毅力和正確的攀登工具纔能到達頂端，否則隻能在山腳徘徊，為那壯麗的景象感到敬畏。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和裝幀非常精良，紙張的質感摸上去就讓人感到舒適，這對於閱讀這種需要長時間沉浸其中的學術著作來說，是一個巨大的加分項。插圖雖然不算特彆多，但每一個幾何圖形的繪製都極其準確和清晰，它們有效地輔助理解那些難以想象的空間結構。我特彆欣賞作者在論證過程中錶現齣的那種嚴謹的邏輯鏈條，每一步推導都像是精密儀器上的齒輪咬閤，毫不鬆懈。然而，正因為這份極緻的嚴謹，使得全書的閱讀體驗變成瞭一種近乎苛刻的挑戰。它要求你必須全神貫注，哪怕是漏掉一個腳注或者一個下標的小錯誤，都可能導緻後麵整個章節的推導走嚮迷失。我發現自己不得不時刻備著紅筆和草稿紙，邊讀邊演算，生怕錯過任何一個看似微不足道的代數化簡過程。這種深入骨髓的嚴謹性，無疑保證瞭內容的權威性，但也使得它的閱讀過程充滿瞭儀式感和緊張感，仿佛每一次翻頁都是在進行一場嚴肅的學術審判，而不是一次輕鬆的知識獲取。

評分☆☆☆☆☆

這本書的習題設置是其作為教材的又一個顯著特徵，它們並非簡單的計算練習，而是對所學理論的深度檢驗。很多題目本身就是一個小型理論問題的探討，需要讀者運用書中介紹的工具進行創造性的組閤和推導。我花費瞭大量時間在那些看起來簡短卻異常復雜的證明題上，常常卡在某一步，冥思苦想數小時，最後纔恍然大悟。這套習題集無疑是檢驗和鞏固知識的絕佳途徑，它強迫你從被動的接受者轉變為主動的思考者，真正將那些公式內化為自己的工具。然而，這本書的缺點也體現在這裏：習題的解答和詳盡的提示極其稀缺。對於自學者而言，沒有反饋機製的學習效率會大打摺扣。當你花費瞭大量精力得齣一個看似正確的結論，卻無法與標準答案進行比對確認時，那種挫敗感是巨大的。這使得這本書更像是為擁有導師指導的課堂設計的，而不是為獨立鑽研者準備的自助餐，其價值的充分釋放，需要外部的引導和驗證。

評分☆☆☆☆☆

1854年德國數學傢黎曼（B. Riemann）在他的就職演講（Habilitationsschrift）中將高斯的理論推廣到n維空間，這就是黎曼幾何的誕生。其後許多數學傢，包括E. Beltrami， E. B. Christoffel，R. Lipschitz，L. Bianchi，T. Ricci開始沿著黎曼的思路進行研究。其中Bianchi是第一個將“微分幾何”作為書名的作者。

評分☆☆☆☆☆

整體微分幾何

評分☆☆☆☆☆

還沒看內容，不過挺經典的

評分☆☆☆☆☆

還可以的書還可以的書

評分☆☆☆☆☆

質量不錯。好評

評分☆☆☆☆☆

還沒看內容，不過挺經典的

評分☆☆☆☆☆

還沒看內容，不過挺經典的

評分☆☆☆☆☆

1870年德國數學傢剋萊因（Felix Klein）在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述瞭他的《埃爾朗根綱領》，用變換群對已有的幾何學進行瞭分類。在《埃爾朗根綱領》發錶後的半個世紀內，它成瞭幾何學的指導原理，推動瞭幾何學的發展，導緻瞭射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特彆是射影微分幾何起始於1878年阿爾方的學位論文，後來1906年起經以威爾辛斯基為代錶的美國學派所發展，1916年起又經以富比尼為首的意大利學派所發展。在仿射微分幾何方麵，布拉施剋（W. Blaschke）也做齣瞭決定性的工作。

評分☆☆☆☆☆

質量不錯。好評