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Roger Porkess & Sophie... 著

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出版社： Hodder Education

ISBN：9781444146462

商品编码：1096507079

包装：平装

外文名称：Cambridge Internationa...

出版时间：2012-06-29

页数：343

正文语种：英语

图书基本信息

Cambridge International A/AS Mathematics Pure Mathematics: 2 & 3
作者： Roger Porkess; Sophie Goldie;
ISBN13： 9781444146462
类型： 平装
语种： 英语（English）
出版日期： 2012-06-29
出版社： Hodder Education
页数： 343
重量（克）： 771
尺寸： 24.638 x 19.304 x 1.524 cm

商品简介

This brand new series has been written for the University of Cambridge International Examinations course for AS and A Level Mathematics (9709). This title covers the requirements of P2 and P3.

The authors are experienced examiners and teachers who have written extensively at this level, so have ensured all mathematical concepts are explained using language and terminology that is appropriate for students across the world.

Students are provded with clear and detailed worked examples and questions from Cambridge International past papers, so they have the opportunity for plenty of essential exam practice.

Each book contains a free CD-ROM which features the unique 'Personal Tutor' and 'Test Yourself' digital resources that will help students revise and reinforce concepts away from the classroom:

- With Personal Tutor each student has access to audio-visual, step-by-step support through exam-style questions
- The Test Yourself interactive multiple choice questions identify weaknesses and point students in the right direction.

帮助信息

纯粹的数学探索：超越 Cambridge International A/AS Mathematics 的世界 本书旨在带领读者踏上一段深入纯粹数学领域的旅程，其深度与广度远超任何特定考试大纲所能涵盖的范围。我们聚焦于构建坚实的数学基础，培养高阶的分析思维和严谨的逻辑推理能力，这些能力是理解和驾驭现代科学、工程乃至哲学领域复杂问题的基石。 第一部分：深度代数与抽象结构 本部分将彻底解构传统代数框架，进入更广阔的抽象代数世界。 1. 群论的初识与拓展： 我们不再将群仅视为对称性的描述工具。本章将详尽阐述群的定义、子群、陪集与拉格朗日定理的证明。重点将放在有限群的结构分解，特别是循环群与二面体群的详细分析。随后，我们将引入正规子群的概念，并深入探讨商群的构造及其性质。通过对同态与同构的严格定义，我们揭示不同代数结构间的内在联系，为理解更高级的结构（如环和域）打下基础。 2. 环与域的精细剖析： 环论的探索从定义出发，细致区分交换环、整环以及域。我们不仅关注多项式环的代数运算，更会深入探讨理想（Ideals）的概念，包括主理想与极大理想。在域的理论中，我们将聚焦于有理数域 $mathbb{Q}$ 上的代数扩张，讨论有限域（Galois Fields）的构造及其在编码理论中的初步应用。对于不可约多项式的讨论，将作为理解域扩张的基础。 3. 线性代数的拓扑视角： 线性代数被提升到抽象向量空间的高度。我们讨论任意域上的向量空间，强调基（Basis）的选择并不唯一，但维度是唯一的。矩阵的秩、零空间与像空间的深入关系将通过秩-零化定理（Rank-Nullity Theorem）得到巩固。本章的高潮在于特征值和特征向量的计算，我们将探索对角化（Diagonalization）的条件，并引入 Jordan 标准型的必要性，尤其是在处理不可对角化矩阵时的几何与代数意义。 第二部分：分析学的严谨性与极限的艺术 本部分将数学分析建立在坚实的集合论与拓扑基础之上，力求体现数学家对待“无穷”的精确态度。 1. 实数系的构造与拓扑基础： 我们从 Dedekind 截面或 Cauchy 列的完备性出发，严格定义实数 $mathbb{R}$。随后引入 $mathbb{R}^n$ 上的基本拓扑概念：开集、闭集、邻域、极限点与紧致性（Compactness）。紧致性理论将被应用于证明一系列重要定理，如 Bolzano-Weierstrass 定理。 2. 序列与级数的收敛性： 传统的比值检验和根值检验被置于更广阔的背景下。我们将详细分析绝对收敛与条件收敛的区别，并详细阐述 Abel 判别法 和 Dirichlet 判别法。对幂级数（Power Series）的分析将涵盖其收敛半径的精确确定，并自然过渡到将常见函数表示为无穷级数。 3. 微积分的升华：Riemman 积分的严谨性： 我们将重新审视定积分，从 Darboux 上和与下和的构建出发，严格证明 Riemann 可积性的充要条件。本章的重点在于不可积函数的例子，并简要介绍 Lebesgue 积分的必要性与优越性，以展示微积分在更广泛函数空间中的适用性。 4. 多元微积分的几何直觉： 偏导数和全微分的概念将被置于切平面和线性逼近的框架下。我们将深入探讨链式法则在更高维度中的应用。更重要的是，本章将聚焦于路径积分（Line Integrals）和曲面积分（Surface Integrals）的理论基础，并详细阐述 Green 定理、Stokes 定理和散度定理（Gauss' Theorem） 的几何意义与代数表达，强调它们如何统一了一维微积分中的基本定理。 第三部分：离散结构与组合的逻辑迷宫 本部分关注计数、关系和图论的结构性美感。 1. 高级计数原理与生成函数： 抛弃简单的排列组合公式，转而使用 容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion） 来解决复杂交集问题。生成函数（Generating Functions）将作为解决线性递推关系（Recurrence Relations）的强大工具，我们展示如何通过代数操作（如部分分式分解）从生成函数中提取序列的封闭形式解。 2. 关系与序理论： 我们将详尽分析等价关系（Equivalence Relations）和偏序关系（Partial Orders）。通过对偏序集的考察，引入 偏序集、哈斯图（Hasse Diagrams） 的绘制与解读，探讨链（Chains）与反链（Antichains），并引入 Dilworth 定理的初步思想。 3. 图论的深度探索： 图论的讨论从基础术语（度、路径、连通性）跃升至结构分析。本章将细致探讨欧拉路与哈密顿环的存在性条件，并对平面图进行深入研究，引入 欧拉公式 $V - E + F = 2$ 的严格推导及其应用。我们还会分析图的染色问题，介绍四色定理的背景，并探讨匹配理论（Matching Theory），如 Hall 的婚姻定理。 第四部分：数论的优雅与应用 本部分回归到整数的世界，但从数论的视角进行提炼与扩展。 1. 模算术与同余系统： 模运算的性质将被系统化。我们不仅求解线性同余方程，还将深入研究 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem） 的多模应用。对欧拉 $phi$ 函数和 Carmichael 函数的深入理解，是理解分组和幂次循环的关键。 2. 费马与欧拉的遗产： 费马小定理和欧拉定理将被用于解释欧拉准素性检验，并引出二次互反律的深远影响。我们将在一个专门的章节中介绍 RSA 公钥加密算法 的数学原理，展示数论在现代信息安全中的核心地位。 3. 丢番图方程的初步接触： 介绍 Pell 方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的无穷多解的构造方法，展示如何通过代数数论的视角来解决看似简单的整系数方程。 本书的编写风格力求清晰、精确，注重每一步推导的逻辑连贯性，旨在培养读者不仅能“计算”数学，更能“理解”数学的深层结构和内在美感的能力。它是一部为渴望超越考试框架，追求数学思维完整性的学习者而作的导览。

评分☆☆☆☆☆

这本《剑桥国际 A/AS 数学》的教材，我接触了大概有半年多了，说实话，它确实是那种需要你投入大量时间和精力的“硬菜”。初次翻开的时候，那种厚度和密集的公式符号阵列，着实让人有点望而生畏。我记得最清楚的是刚开始接触微积分那部分，书里的讲解路径非常清晰，它不是那种直接丢给你一堆定理让你硬背的类型，而是从几何直观入手，一步步构建起极限的概念。比如，它在引入导数的时候，会花大量篇幅去探讨切线斜率的渐进过程，图示和文字的配合极其到位，即便是像我这种对概念理解比较慢的人，也能通过反复揣摩那些案例分析，在脑海中勾勒出一个立体的理解模型。而且，它对不同层次的练习题设置也颇为讲究，基础的计算题旨在巩固运算能力，而那些应用型的“挑战题”则常常需要你跳出固有的思维框架，去思考数学工具如何解决现实世界中的复杂问题。我特别欣赏它在每章末尾提供的“复习和拓展”部分，那里往往会联系到更深层次的数学理论或者提及一些历史背景，这极大地提升了我学习的兴趣，让我感觉自己不仅仅是在解题，更是在探索数学这门学科的宏伟结构。当然，说句实在话，如果只是指望看一遍就能掌握所有内容，那是不切实际的，这本书的知识密度非常高，很多定理和推论需要反复咀嚼，甚至要结合配套的练习册才能真正消化吸收。

评分☆☆☆☆☆

我必须得承认，这本书对于培养我的逻辑思维能力起到了里程碑式的推动作用。它在代数和函数那一块的深度挖掘，远超我之前接触过的任何高中数学资料。特别是关于函数的性质，比如单射、满射以及反函数的构建与限制条件，书里的论述极其严谨，每一个定义和证明都像是搭积木一样，前一个步骤是下一个步骤的坚实基础。我记得有一次，我在为一个关于复合函数定义域的问题卡住了很久，百思不得其解。后来翻回去对照书上的一个例子——那个关于“物理距离”与“时间”的复杂函数嵌套——我才恍然大悟，原来问题的关键在于忽略了中间变量的“实际约束”。这本书的妙处就在于，它不会直接告诉你答案，而是通过大量的细节铺垫和严密的逻辑链条，引导你自行发现盲点。它的排版风格也十分现代，图表清晰，公式使用国际标准符号，阅读起来非常流畅，不会因为格式的混乱而分散注意力。唯一的“缺点”可能就是，对于那些习惯了“填鸭式”教学的学生来说，一开始可能会觉得过于“开放”和需要主动思考，缺乏那种手把手的带领。但从长远来看，这种训练机制绝对是培养独立思考能力的上乘之选，它教会你的不仅仅是解题技巧，更是一种审视问题的系统性方法。

评分☆☆☆☆☆

阅读和使用这本教材的过程，与其说是在学习数学，不如说是在进行一场思维的“耐力训练”。这本书对于细节的关注达到了近乎苛刻的程度，尤其是在涉及“证明”的部分。它要求读者必须清晰地阐述每一步的依据，不允许有逻辑上的跳跃或模糊不清的表述。这种对严谨性的要求，是很多国内教材中常常被简化掉的部分。我尤其欣赏它在处理“级数收敛性”和“微积分应用中的误差分析”时所展现的深度。它会细致地讨论各种收敛判别法的适用范围和局限性，并给出大量的反例来警示读者不要轻易做出错误的推断。这种教育理念，在我看来，远超出了单纯应试教育的范畴，它真正培养的是一种科学研究者必备的怀疑精神和求真态度。尽管有时会因为一个微小的定义理解偏差而花费大量时间，但一旦突破，那种“豁然开朗”的感觉是无与伦比的。这本书就像一位耐心而严格的导师，它不会放过你思维中的任何漏洞，最终的目标是让你成为一个真正能够独立进行数学思考的人。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“几何学”章节，给我带来了耳目一新的感觉。我们都知道，传统教材中对几何的讲解往往停留在欧氏几何的平面和立体图形上，但这本书则大胆地将向量代数和解析几何做了非常紧密的融合。通过使用坐标系和向量运算来处理复杂的空间问题，比如求两条异面直线之间的最短距离，或者判断一个平面与另一个平面的夹角，书中的方法显得异常简洁和高效。它不是简单地罗列公式，而是通过三维坐标系下的向量叉积和点积运算，将抽象的几何关系转化为具体的数值计算，这种转化过程的教学演示极为精妙。我记得有一节课专门讲解了如何用向量法来证明三角形的性质，整个过程如同在解一个精心设计的谜题，每一步都充满了数学的美感。此外，书中对于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义和性质的讨论也十分深入，它不仅给出了标准方程，还探讨了如何利用参数方程来描述运动轨迹，这对于未来学习物理学中的运动学是非常有益的储备知识。总的来说，它成功地将几何的直觉性与代数的精确性完美结合，让几何学习不再是单纯的记忆，而是一种强大的空间想象和计算工具。

评分☆☆☆☆☆

从一个更注重考试导向的角度来看，这套教材的价值也体现得淋漓尽致。它对考试大纲的覆盖率是毋庸置疑的，几乎所有可能出现的题型和知识点都能在书中找到对应的讲解和例题。尤其是在概率和统计部分，这本书的处理方式非常系统化，它不仅教授了基本的组合与排列公式，更深入探讨了二项分布、正态分布在实际情境中的应用，以及如何正确地解读P值和置信区间。我印象深刻的是，它用好几个实际的商业案例来展示如何利用统计模型进行风险评估和决策支持，这让原本枯燥的统计学变得生动起来。在学习这些内容时，我经常会参考书中的“解题步骤提示”栏目，那里总结了解决特定类型难题的最优路径，避免了我们在考场上走弯路。不过，我发现这本书更偏向于“理解后自行推导”，而不是“死记硬背公式”。因此，如果只是临时抱佛脚，试图在考前突击，效果可能不会太理想，因为它要求你对底层原理有扎实的把握。但如果你是长期规划，希望系统性地提升数学能力，这本书绝对是你的最佳伙伴，它提供的深度和广度，足以让你在任何高级数学考试中游刃有余。