数学奥赛辅导丛书：不定方程（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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单墫，余红兵 著

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• 数学奥赛
• 不定方程
• 数论
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• 高中数学
• 奥数辅导
• 第二版
• 数学竞赛
• 解题技巧
• 进阶学习

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312029134

版次：2

商品编码：10968673

包装：平装

开本：32开

出版时间：2012-02-01

用纸：胶版纸

页数：177

字数：132000

正文语种：中文

内容简介

随着数学的不断发展，不定方程的重要性日益显著，现代数学的重要分支，如代数数论，代数几何，表示理论……都在这里交汇，不定方程几乎成为一块试金石，用以检验新的数学理论和新的数学方法。

内页插图

目录

再版前言
前言
1 一次不定方程
2 一次不定方程组
3 分解
4 估计
5 同余
6 恒等式
7 佩尔方程
8 勾股数
9 无穷递降法
10 杂例
11 习题
12 习题解答概要
附录整数的基本知识

前言/序言

数学奥赛辅导丛书：代数基础与初等数论（第3版） 专为渴望在数学竞赛中取得突破的学子量身打造 本书特色与定位 本卷是“数学奥赛辅导丛书”系列中的核心力作，专注于为中学生（尤其是有志于参加全国初中数学联赛、全国高中数学联赛、以及各类国际数学奥林匹克选拔赛的选手）构建坚实的代数基础，并深入剖析初等数论的精髓。我们深知，在现代数学竞赛中，对基础概念的深刻理解和灵活运用是取得成功的关键。本书并非对某一特定难度或某一特定章节的简单重复，而是致力于提供一个系统化、多层次的知识体系，引导读者从基础概念出发，逐步迈向高难度的解题技巧。 内容结构概览 本书结构设计力求逻辑清晰、循序渐进，共分为五个主要部分，涵盖了代数与数论领域内奥赛选手必须掌握的核心知识点： 第一部分：代数基础与恒等变形的艺术 本部分旨在巩固和深化学生对基础代数工具的掌握。我们着重于超越课本范围的、在竞赛中频繁出现的代数技巧： 1. 多项式理论的深化： 讨论高次多项式的根的性质、有理根定理的推广应用、因式分解的高级技巧（如利用对称性、周期性进行构造性分解）。特别强化了多项式与数论的结合，例如利用多项式的取值特性证明数论性质。 2. 不等式的精炼运用： 详细剖析了 均值不等式（AM-GM） 的变形式、柯西-施瓦茨不等式 的几何意义与代数应用、Jensen不等式 在凸函数上的应用。不仅讲解了基本形式，更侧重于如何通过变量代换、构造函数来巧妙地引入这些不等式，并给出大量利用“等号成立条件”来确定最优解的实例。 3. 函数方程与函数性质的综合考察： 探讨了线性函数、二次函数之外的函数方程求解（如柯西方程的有限域或特定结构下的解法）。深入分析了函数的单调性、奇偶性、周期性在解题中的价值，特别是与数列、极限概念的初步接轨。 4. 代数结构与变换： 引入基本的群论思想的萌芽，如置换群的初步概念，理解对称性在代数表达式简化中的重要作用。 第二部分：初等数论核心概念的全面突破 数论历来是奥赛的“兵家必争之地”。本部分构建了坚实的数论地基，并逐步引入竞赛难度： 1. 整数的性质与整除理论： 从素数、合数的定义出发，系统回顾了最大公约数和最小公倍数的性质。重点讲解了扩展欧几里得算法的原理与应用，以及中国剩余定理（CRT）的原理推导、多模运算的求解策略，并给出其在密码学基础中的体现。 2. 同余理论的深度挖掘： 详细阐述了同余的基本运算规则、模的性质。深入讲解 费马小定理、欧拉定理、卡迈克尔函数 的推导过程及其在简化大数次幂计算中的威力。对比分析了勒让德符号、雅可比符号的定义与计算，为进阶的二次剩余问题做好铺垫。 3. 算术函数与积性函数： 首次系统介绍 莫比乌斯函数 ($mu(n)$) 和 欧拉函数 ($phi(n)$) 的定义、性质及其互相联系。通过大量实例展示了如何利用它们的积性来分解复杂函数的计算，是解决涉及因子和、因子个数等问题的利器。 4. 丢番图方程导论： 侧重于线性丢番图方程的求解。引入简单的二次丢番图方程，例如佩尔方程（Pell's Equation）的求解思路，强调如何通过构造无穷递降法或同余约束来排除无解情况。 第三部分：数论中的组合思想应用 本部分是连接数论与组合学的桥梁，是高难度赛题的常见考点： 1. 抽屉原理（鸽巢原理）的数论表达： 讲解如何将抽屉原理应用于证明数列中元素间的关系，例如证明存在特定余数的子序列或子集。 2. 构造性证明与反证法的应用： 通过数论问题（如关于素数分布的断言）展示如何运用严谨的数学归纳法、反证法进行论证。 3. 模运算在计数问题中的作用： 探讨如何利用模运算来简化排列组合中的重复计算或周期性问题。 第四部分：典型题型解析与解题模板 本部分提供了一个实用的“工具箱”，针对奥赛中反复出现的经典题型，提炼出高效的解题模式： 1. 代数恒等式的构造性证明（如Schur不等式在特定情境下的变体应用）。 2. 涉及周期性和循环性的数论问题（如数位问题、周期小数）。 3. 涉及同余关系的区间整数计数问题。 4. 利用生成函数思想对代数表达式进行初步分析的案例（非严格意义上的生成函数，而是其在多项式系数分析中的雏形应用）。 第五部分：历年精选赛题分析与拓展阅读 本书精选了近十年来国内外重要数学竞赛中，不涉及高等微积分、不涉及抽象代数，但对代数和初等数论知识点有高强度要求的真题。每道例题均提供两至三种不同的解题思路，特别是突出“最简洁的思路”与“最稳妥的思路”的对比分析。最后，附有推荐的进阶阅读材料清单，为有志于冲击更高级别竞赛（如IMO初选）的学员指明方向。 本书目标读者 正在备战初、高中数学联赛的在校学生。 希望系统性梳理和提升代数与数论知识的数学爱好者。 需要权威参考资料的数学竞赛教练及辅导教师。 学习成果预期 完成本书的学习后，读者将能熟练掌握竞赛中常用的代数工具，对数论的四大基本分支（整除性、同余、算术函数、丢番图方程基础）建立起深刻而灵活的理解，并能独立解决大部分难度相当于全国联赛一试中代数与数论板块的难题。本书旨在培养的，不仅是解题的技巧，更是数学思维的严谨性与创造性。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，初次接触微分几何时，我感到非常吃力，那些流形、切空间的概念总让我感觉抓不住重点。直到我拿到了这本《微分几何基础导论》，情况才有了根本性的改变。这本书的叙述风格非常“讲故事”，它从欧几里得空间中的曲线和曲面入手，非常自然地引导读者进入更高维度的抽象空间。作者花了大量的篇幅来解释为什么需要“局部坐标系”和“张量”的概念，使得这些工具不再是凭空出现的数学怪兽，而是解决微分几何问题的必要“拐杖”。书中对曲率的探讨尤其精彩，通过具体的例子展示了如何从不同的角度（如第一、第二基本形式）来刻画空间的弯曲程度。这本书的阅读体验是渐入佳境的，让人感到数学的严谨性与几何的美妙可以如此和谐地共存。

评分☆☆☆☆☆

这本《数论导引》简直是为那些渴望深入理解数论世界的朋友们量身打造的宝典！我特别喜欢它那种层层递进的讲解方式，从最基础的同余理论讲起，逐步过渡到更复杂的丢番图方程和二次型理论。书中的例题设计得非常巧妙，不仅能帮助我们巩固刚刚学到的知识点，还能启发我们去思考更深层次的数学问题。尤其是在介绍费马大定理的某些简化版本时，作者的笔触细腻而精确，让人在阅读过程中有一种茅塞顿开的快感。对于我这种自学数论的爱好者来说，这本书的结构清晰、逻辑严密，简直是不可多得的良师益友。它不像一些教科书那样枯燥乏味，而是充满了探索的乐趣，让人忍不住一页接一页地读下去，去追寻数论那迷人的光辉。

评分☆☆☆☆☆

我一直对应用数学中的优化理论深感兴趣，而这本《线性规划与对偶理论》简直就是我一直在寻找的那把钥匙。作者在阐述单纯形法时，没有仅仅停留在算法步骤的描述上，而是深入挖掘了其背后的几何意义——即在多面体的顶点之间进行移动。这种几何视角的引入，极大地降低了理解复杂迭代过程的难度。更让我赞叹的是，对偶问题的讲解部分，它不仅展示了如何从原问题构造对偶问题，还深刻阐释了对偶变量的经济学意义，让原本冰冷的数学模型立刻鲜活了起来，充满了现实指导价值。读罢此书，我对如何用数学工具去解决资源分配、生产计划等实际问题，有了一种前所未有的清晰认知和信心。

评分☆☆☆☆☆

这本关于组合数学的教材，可以说是将“艺术”与“逻辑”完美结合的典范。我最欣赏的是它对生成函数和组合恒等式处理的独到见解。很多教材在讲生成函数时，往往直接给出结论，让读者感到有些“黑箱操作”的感觉，但这本书却详尽地展示了如何通过构造特定的函数模型来解决实际的计数问题，每一步推导都清晰可见，充满了数学美感。此外，书中对图论基础知识的介绍也非常到位，特别是关于欧拉路径和哈密顿回路的讨论，配图清晰直观，帮助我立刻区分了它们的异同。对于任何想要在组合数学领域深耕的读者而言，这本书提供的不仅是知识，更是一种解决复杂计数难题的“内功心法”。

评分☆☆☆☆☆

我最近在准备一些高等代数相关的竞赛，偶然翻到了这本关于抽象代数基础的书。它的精彩之处在于，它没有急于展示那些华丽的定理，而是花了大量篇幅来构建群、环、域这些核心概念的直观理解。作者似乎很清楚初学者的思维定势，所以在解释同态、同构这些抽象概念时，总是能找到最贴切的比喻，比如用“结构保持的映射”来描绘它们之间的关系，让人一下子就抓住了问题的本质。书中的习题部分也是一大亮点，它们被精心编排，从基础的验证性练习到需要综合运用多个定理的难题都有涉猎，极大地锻炼了我的抽象思维能力。读完这本书，我感觉自己对整个代数体系有了一个更加坚实和立体的认识，不再是零散知识点的堆砌。

评分☆☆☆☆☆

对参加杯赛很有帮助，孩子很喜欢

评分☆☆☆☆☆

刚想完，就被告之，这次为时三天的培训选拔费用是大约三万人民币。

评分☆☆☆☆☆

这书买的真是一波三折啊

评分☆☆☆☆☆

作为我个人，很讨厌在一个陌生的地方尤其是国家，坐一个陌生人开的车，在一条陌生的高速公路上，而且还是晚上，去往一个从来没去过的地方。这让人感觉自己像张从二十楼扔下的餐巾纸。

评分☆☆☆☆☆

刘小姐说她是代表一个叫马特汽车咨询公司的，公司在上海，专门负责赛车和车手经济的事务。并且让我马上邮寄我的护照给她。我一般自认为很有辨别能力，而且因为我的手机号码是比较早的那批，所以一直接到不少莫名电话。电话那头基本全是激动得告诉我我中了一辆帕萨特，让我马上邮寄自己的身份证和汇2000元手续费。我一般的回答全是去你妈的。

评分☆☆☆☆☆

送货速度很快。质量不错！购买很方便！

评分☆☆☆☆☆

买来收藏，大学都快毕业了

评分☆☆☆☆☆

我为什么喜欢在京东买东西，因为今天买明天就可以送到。我为什么每个商品的评价都一样，因为在京东买的东西太多太多了，导致积累了很多未评价的订单，所以我统一用段话作为评价内容。京东购物这么久，有买到很好的产品，也有买到比较坑的产品，如果我用这段话来评价，说明这款产品没问题，至少85分以上，而比较垃圾的产品，我绝对不会偷懒到复制粘贴评价，我绝对会用心的差评，这样其他消费者在购买的时候会作为参考，会影响该商品销量，而商家也会因此改进商品质量。

评分☆☆☆☆☆

作为我个人，很讨厌在一个陌生的地方尤其是国家，坐一个陌生人开的车，在一条陌生的高速公路上，而且还是晚上，去往一个从来没去过的地方。这让人感觉自己像张从二十楼扔下的餐巾纸。