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章璞 著

图书标签:

• 代数拓扑
• 代数几何
• 导出范畴
• 三角范畴
• 同调代数
• 层论
• 模论
• 表示论
• 范畴论
• 数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030445094

版次：1

商品编码：11717946

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书155

开本：16开

出版时间：2015-06-01

用纸：胶版纸

页数：516

正文语种：中文

内容简介

　　《三角范畴与导出范畴》前5章讲述三角范畴和导出范畴的基本理论；第6~11章讨论了Frobenius范畴的稳定范畴、Gorenstein同调代数、奇点范畴、Auslander-Reiten三角与Serre对偶、三角范畴的t-结构与粘合等专题。附录提供了《三角范畴与导出范畴》所要用到的范畴论方面的概念和结论。每章均配有习题并包含提示。《三角范畴与导出范畴》强调三角范畴与Abel范畴之间的比较和转化研究。

目录

《现代数学基础丛书》序
前言
第1章 三角范畴
1.1 预三角范畴
1.2 上同调函子
1.3 预三角范畴的基本性质
1.4 三角范畴
1.5 三角函子
1.6 伴随对中的三角函子
1.7 基变换和余基变换
1.8 4*4引理
习题

第2章 同伦范畴
2.1 同伦与上同调
2.2 映射锥
2.3 作为同伦核的映射筒
2.4 同伦范畴版同调代数基本定理
2.5 链可裂短正合列
2.6 复形的截断和极限
2.7 Hom复形Hom
习题

第3章 商范畴
3.1 乘法系
3.2 商范畴的右分式构造
3.3 商范畴的左分式构造
3.4 相容乘法系和Verdier商
3.5 饱和相容乘法系与厚子范畴的一一对应
3.6 厚子范畴的一个充分条件
习题

第4章 复形的分解
4.1 拉回和推出
4.2 上有界复形的上有界投射分解
4.3 下有界复形的下有界内射分解
4.4 同伦投射复形
4.5 任意复形的同伦投射分解
4.6 任意复形的同伦内射分解
习题

第5章 导出范畴
5.1 作为Verdier商的导出范畴
5.2 单边有界导出范畴实现为同伦范畴
5.3 无界导出范畴实现为同伦范畴
5.4 Db(A) = Kb(P(A))的充要条件
5.5 半单环的导出范畴
5.6 遗传环的上有界导出范畴
5.7 对偶数代数的有界导出范畴
5.8 导出函子
5.9 函子RHom和Ext
习题

第6章 稳定三角范畴
6.1 Frobenius范畴的稳定范畴
6.2 Happel定理
6.3 稳定三角范畴中好三角的另一解释
6.4 同伦范畴是代数的三角范畴
6.5 导出范畴是代数的三角范畴
习题

第7章 Gorenstein投射对象
7.1 Gorenstein投射对象的基本性质
7.2 Artin代数1817.3 真Gorenstein投射分解
7.4 Gorenstein投射维数
7.5 带关系箭图的表示
7.6 Gorenstein环
7.7 Gorenstein环上的Gorenstein投射模
7.8 Gorenstein投射对象的稳定性
7.9 CM有限代数
7.1 0由上三角扩张构造Gorenstein投射模
7.1 1箭图在代数上的单态射表示
7.1 2由单态射表示构造Gorenstein投射模
习题

第8章 奇点范畴
8.1 奇点范畴
8.2 三角范畴的完备对象和紧对象
8.3 Rickard型限制性引理
8.4 Buchweitz-Happel定理
8.5 Buchweitz-Happel定理的逆
8.6 有界导出范畴的Gorenstein投射描述
8.7 Gorenstein亏范畴
8.8 CM有限代数的Gorenstein亏范畴
习题

第9章 Auslander-Reiten理论简介
9.1 Auslander-Reiten平移
9.2 几乎可裂序列
9.3 不可约映射
9.4 Auslander-Reiten箭图
9.5 有限维代数的Cartan矩阵
9.6 有限箭图的整二次型
9.7 有限表示型路代数的Gabriel定理
9.8 相对Auslander-Reiten序列
9.9 单态射范畴的函子有限性
习题314
第10章 Auslander-Reiten三角与Serre对偶
10.1 Hom有限Krull-Schmidt范畴
10.2 有界导出范畴的Hom有限性
10.3 Auslander-Reiten三角
10.4 Serre函子
10.5 Bondal-Kapranov-VandenBergh定理
10.6 Auslander-Reiten三角与Serre函子
10.7 Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅰ
10.8 Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅱ
10.9 Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅲ
习题

第11章 三角范畴的$mt$-!结构与粘合
11.1 $t$-结构的基本性质
11.2 $t$-结构的心：Beilinson-Bernstein-Deligne定理
11.3 稳定$t$-结构
11.4 三角范畴的粘合
11.5 由粘合的一半到粘合
11.6 粘合间的比较函子组
11.7 稳定t-结构和粘合的关系
11.8 可裂粘合与Calabi-Yau范畴
11.9 对称粘合
11.1 0应用1：有限维数和整体维数
11.1 1应用2：粘合诱导的$t$-结构
11.1 2导出范畴的粘合
1.1 3奇点范畴的粘合
习题

第12章 附录：范畴论中若干基本概念和结论
12.1 范畴
12.2 核与余核
12.3 函子范畴
12.4 范畴的等价
12.5 直和、直积、加法范畴
12.6 加法函子
12.7 可表函子和Yoneda引理
12.8 伴随对
12.9 Abel范畴
12.1 0Abel范畴中有关正合性的若干引理
12.1 1正合函子
12.1 2投射对象与内射对象
12.1 3生成子和余生成子
12.1 4正向极限与逆向极限
12.1 5Abel范畴中的Grothendieck条件
12.1 6Grothendieck范畴
习题
主要参考文献
其他参考文献
中英文名词索引
常用记号
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

深入浅出：现代数学中的代数结构与拓扑联系 本书聚焦于代数拓扑、同调代数以及范畴论在描述现代数学结构中的核心作用，旨在为读者构建一座连接抽象代数与几何概念的桥梁。 本书是一部面向具有扎实代数基础（群论、环论、线性代数）和初步拓扑学知识（同伦、同调的初步概念）的读者，深入探讨代数结构如何通过范畴的语言被精确描述、分类和相互转换的专著。全书结构严谨，从基础概念出发，逐步引入高阶工具，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的理解路径。 第一部分：范畴论的基石与应用 本部分作为全书的理论基础，详细阐述了范畴论的核心概念及其在数学各个分支中的普遍适用性。我们不会停留在对“对象”和“态射”的简单罗列，而是深入挖掘范畴论作为一种“元语言”的强大威力。 1. 范畴的基本结构与性质： 我们从定义一个范畴所需的最小元素——对象、态射、复合、恒等态射——开始。重点剖析了函子（Functor）和自然变换（Natural Transformation）的概念，强调自然性如何保证数学结构在不同范畴间的“忠实”映射。通过对“积”和“上积”（极限与上极限）的详细讨论，我们展示了范畴论如何抽象地定义集合论中的笛卡尔积、群论中的直积等结构，揭示了它们统一的内在联系。 2. 特殊范畴的构造： 本章着重介绍了几种在代数和几何中至关重要的范畴类型。我们详细讨论了阿贝尔范畴（Abelian Categories）的特性，例如短正合列、核与上核的存在性与构造，并阐明了为何这些性质是同调代数得以建立的必要前提。此外，也探讨了预加法范畴和预交错范畴（Pre-additive and Pre-crossed Categories）的概念，为后续引入链复形打下基础。 3. 伴随函子（Adjoint Functors）： 伴随关系被认为是范畴论中最深刻、最富有洞察力的结构之一。本书用大量的例子（如自由函子与遗忘函子、张量积与Hom函子之间的伴随）来阐释左伴随与右伴随的对偶性。我们深入分析了伴随函子在构建代数结构（如自由代数、张量代数）时所扮演的关键角色，并展示了其在拓扑语境中（如连续映射与同调类之间的关系）的应用潜力。 --- 第二部分：同调代数的根基与链复形理论 本部分将理论的视角转向代数拓扑和表示论的基石——同调代数。我们强调了链复形（Chain Complexes）作为信息传递载体的核心地位。 4. 链复形与链映射： 我们精确定义了链复形，并引入了链映射的概念，特别是链同伦（Chain Homotopy）。本书通过实例说明，为何仅凭态射本身不足以捕捉到结构间的“柔性”，而链同伦则提供了处理这种“形变不变性”的工具。我们详细分析了短正合列在链复形范畴中的意义，并推导出五引理（The Five Lemma）的证明及其在核、上核计算中的实用价值。 5. 导出函子与张量积的推广： 这是本书技术性较强但至关重要的一部分。我们首先回顾在阿贝尔范畴中定义张量积和Hom函子的局限性（特别是在非交换或非光滑的环境下）。为了克服这些局限，本书详细构建了投射分解（Projective Resolutions）和内射分解（Injective Resolutions）。随后，我们基于这些分解，系统地定义了Tor 函子和Ext 函子。我们展示了如何利用这些导出函子，将原有的代数关系推广到更广泛的设置中，例如在环论中计算平坦模和外同集。 6. 谱序列的初步引入（基于长正合列）： 虽然我们将深入的谱序列分析留待后续更高阶的教材，但本部分利用链复形范畴中的短正合列来推导出长正合列（Long Exact Sequences）的构造方法。我们展示了从一个短正合列中如何自然地导出关于上同调群的无限序列，这是所有谱序列结构的最基本体现。 --- 第三部分：拓扑空间与代数结构的互动 本部分将抽象的代数工具应用于具体的拓扑问题，主要关注基础拓扑不变量的代数实现。 7. 基本群与覆盖空间： 我们讨论了基本群（Fundamental Group）作为一种“非交换”的代数不变量，在区分拓扑空间上的“洞”方面的作用。本书随后引入了覆盖空间（Covering Spaces）的概念，并利用范畴论的语言描述了覆盖变换群（Covering Transformation Group）。关键在于，我们利用群的表示理论，将覆盖空间的问题转化为群作用的代数问题，展示了万有覆盖（Universal Cover）的唯一性和其在代数结构上的反映。 8. 同伦群与纤维化序列： 在分析更高阶的同伦群时，我们引入了纤维丛（Fiber Bundles）的概念。本章的核心是证明著名的迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）的代数构造过程，该序列是利用链复形范畴上的分解结构，将一个空间分解为两个子空间的同调群联系起来。我们强调了纤维化序列（Fibration Sequences）在同伦理论中的作用，并展示了它如何导出同伦群的长正合序列，这在计算流形的上同调类时具有不可替代的地位。 9. 范畴论在几何中的应用： 最后，本书简要探讨了代数几何和微分几何中范畴论的应用。我们讨论了层（Sheaves）作为一种“局部到整体”的工具，在代数结构上如何被框架化为一种特殊的范畴结构（层范畴）。通过介绍局部环化（Localization）的概念，我们展示了如何通过“反演”某些态射来构造新的、更精细的范畴，这为理解局部化在代数和几何分析中的重要性提供了范畴论的视角。 总结： 本书的最终目标是培养读者运用范畴论思维来解决复杂代数和几何问题的能力。它强调了抽象结构的统一性，而非孤立知识点的堆砌。读者在完成本书的学习后，将能够熟练地在不同的数学领域间切换视角，并具备理解更前沿研究（如$K$理论、高阶范畴理论）所需的基础理论素养。本书的论证过程力求清晰、详尽，并配有精心挑选的例证和练习，以巩固对核心概念的掌握。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我对范畴论的初次接触，是在学习某些代数几何教材的时候，当时感觉像是雾里看花，很多概念虽然写在书上，但总觉得缺少一些内在的联系和清晰的图景。这本书的出现，就像是在一片迷雾中点亮了一盏灯。我一直认为，“三角范畴”和“导出范畴”是连接不同代数结构，尤其是同调代数和表示论之间桥梁的关键。我希望这本书能够循序渐进地引导我，从基础的范畴论概念出发，逐步深入到这些更复杂但又至关重要的结构。我期待它能够提供清晰的定义、丰富的例子，以及一些巧妙的论证，帮助我理解这些概念的本质和它们之间的关系。我希望这本书不仅仅是一本工具书，更是一本能够启发我思考，让我能够真正“理解”这些数学概念的书。

评分☆☆☆☆☆

我一直坚信，好的数学书籍不仅要严谨地传递知识，更要能够激发读者的思考和探索欲。这本书的名字，"三角范畴与导出范畴"，光听起来就充满了高级数学的气息，让我联想到那些在现代代数研究中扮演着核心角色的重要工具。我一直对如何将不同数学分支的深刻思想融会贯通感到好奇，而范畴论正是实现这一目标的有力武器。这本书似乎在尝试着将某些看似独立的数学概念联系起来，构建一个更宏观、更统一的理论框架。我非常期待它能提供一些新颖的视角，让我能够跳出原有的思维定势，看到数学研究中那些更深层次的联系。也许，通过学习这本书，我能够更好地理解那些在顶尖数学期刊中出现的论文，理解那些研究者们是如何构建和运用这些强大的理论工具的。这种学习的动力，来自于对未知数学世界的渴望，来自于对知识边界的不断拓展。

评分☆☆☆☆☆

当我看到这本书的书名时，一种强烈的求知欲油然而生。我一直认为，数学的魅力在于它能够用抽象的语言描述极其普遍的规律，而范畴论无疑是这种抽象化和普遍化的集大成者。我对于“三角范畴”和“导出范畴”的理解，目前还停留在一些非常初步的层面上，更多的是一种模糊的概念认知，而缺乏系统性的学习。我深信，掌握了这些概念，将能够极大地提升我在代数几何、表示论、甚至代数拓扑等领域的分析能力。我非常期待这本书能够提供一种系统、深入的学习路径，让我能够真正掌握这些强大的数学工具。我希望它能够帮助我建立起一套严谨的逻辑框架，能够清晰地理解不同数学对象之间的同态关系，以及如何在不同范畴之间进行迁移和转换。

评分☆☆☆☆☆

我最近在啃一些同调代数的经典文献，发现很多地方都会涉及到“三角范畴”和“导出范畴”的概念。坦白说，我之前对这些概念的理解一直都是断断续续的，像是拼凑起来的碎片，缺乏一个整体性的认识。我希望能通过这本书，能够系统地学习这些内容，构建起一个完整的知识体系。我特别希望书中能够解释清楚，为什么“三角范畴”和“导出范畴”在同调代数中如此重要，它们到底解决了哪些问题，又提供了哪些新的视角。我期待书中能有详细的例子，能够展示这些抽象概念如何在具体的代数结构中得到体现。对我而言，这本书不仅仅是关于数学概念的学习，更是一种数学思维的训练，一种理解数学深层结构的尝试。

评分☆☆☆☆☆

我刚拿到这本书，就被它的封面设计吸引了，那种深邃的蓝色搭配抽象的几何图形，似乎预示着里面蕴含着令人着迷的数学世界。我一直对抽象代数和同调代数有着浓厚的兴趣，而“范畴论”这个词本身就充满了神秘感和吸引力。尽管我之前接触过一些范畴论的基础概念，比如函子、自然变换，但对于“三角范畴”和“导出范畴”这样更深入的主题，我一直感到有些望而却步。这本书的出现，让我看到了一个深入探索这些高级概念的绝佳机会。我期待着它能够为我揭开范畴论神秘的面纱，让我能够更清晰地理解那些看似抽象却又至关重要的数学结构。这本书的题目本身就带着一种挑战感，也充满了数学的美感，仿佛是通往更高层次数学理解的一扇门。我希望能在这本书的指引下，一步步构建起对这些复杂概念的直观认识，并最终能够将它们应用于解决更具体的问题，比如在代数几何或者表示论中的应用。

评分☆☆☆☆☆

比定价便宜，书状态不错，京东书挺全的。

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发了一本破书过来，无语了

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一般啦一般啦一般啦一般啦

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好书值得购买 价格实惠

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很不错的一次购物

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值得研究生们购买阅读

评分☆☆☆☆☆

比定价便宜，书状态不错，京东书挺全的。

评分☆☆☆☆☆

一本三角范畴理论的入门书，每章均配有习题并包含提示，值得每个代数专业的研究生拥有。