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萧荫堂，陈志华，钟家庆 著

图书标签:

• 数学
• 复变函数
• 多复变函数
• 函数论
• 数学分析
• 高等数学
• 学术
• 教材
• 理论
• 解析函数

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040362688

版次：1

商品编码：11133692

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2013-01-01

用纸：胶版纸

页数：298

字数：340000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础31：多复变函数论》包含多复变函数研究中分析、层论与复几何这三个最主要方面的主要研究成果与方法。较之国内外相应的多复变函数著作，《现代数学基础31：多复变函数论》的内容更全面，而且通过阅读本书，读者可以充分了解多复变函数与几何、拓扑、方程和实分析等相关分支的交叉关系。
　　《现代数学基础31：多复变函数论》的撰写尽可能地适于自学之用，主要读者对象为数学系高年级本科生、研究生与青年教师，同时也可供其他理工科专业本科生、研究生、青年教师及相关工程技术人员学习参考之用。

作者简介

　　萧荫堂，1966年获普林斯顿大学博士学位，现任哈佛大学数学系教授。他是世界上近三十年在多复变函数研究领域公认的最有影响力的学者，开创了多复变函数与代数几何、微分几何的交叉学科分支的研究，美国数学会曾授予其Bergmann奖，表彰他在科学研究上的杰出成就。他先后3次（1978，1983，2002）应邀在国际数学家大会上作报告。萧荫堂1993年被选为格丁根科学院通讯院士，1998年被选为美国艺术与科学学院院士，2002年被选为美国国家科学院院士，2004年被选为中国科学院外籍院士。
　　
　　陈志华，1956年考入北京大学数学力学系数学专业学习，1962年在北京大学毕业后先后供职于中国科学院数学研究所函数论室，上海交通大学应用数学系和同济大学数学系，从事基础数学的教学与研究工作，著有《紧黎曼曲面引论》（与伍鸿熙、吕以辇合作）、《层论及其上同调群》、《近代分析基础》和《复流形》等书。
　　
　　钟家庆（1937-1987），1956年考入北京大学数学力学系数学专业学习，1962年考入中国科学院数学研究所师从华罗庚教授。致力于多复变函数与微分几何的研究，对于紧黎曼流形的拉普拉斯算子第一特征值，获得了其最佳估计；还与著名数学家莫毅明教授合作，证明了非负全纯双截曲率的紧凯勒一爱因斯坦流形必等度于紧的埃尔米特对称空间，受到国内外数学界的高度评价。1987年荣获首届“陈省身数学奖”。

内页插图

目录

第一章 全纯域与全纯凸域
§1.1 全纯域
§1.2 全纯凸域

第二章 拟凸域
§2.1 拟凸域
§2.2 多次调和函数

第三章 L2估计
§3.1 L2方法
§3.2 Levi问题
§3.3 Cousin问题与除法问题
§3.3.1 第一Cousin问题
§3.3.2 第二Cousin问题
§3.3.3 除法问题

第四章 层与上同调
§4.1 层
§4.2 层的上同调群

第五章 δ方程解的一致估计

第六章 解析簇
§6.1 全纯函数的局部环
§6.2 Hilbert零点定理

第七章 凝聚层
§7.1 凝聚层
§7.2 0ka定理

第八章 多圆域的上同调论
§8.1 Dolbeault引理
§8.2 解析层的投影分解
§8.3 Cartan引理

第九章 Stein空间
§9.1 0ka定理
§9.2 Stein空间
§9.3 Cartan定理A，B

第十章 Hermite流形与Hermite向量丛
§10.1 全纯向量丛
§10.2 Hermite流形的几何

第十一章 Hodge定理
§11.1 Hodge定理
§11.2 Rellich定理，Garding不等式和Sobolev引理的证明

第十二章 消灭定理与嵌入定理
参考文献

现代数学基础31：多复变函数论 图书简介 本书是“现代数学基础”系列中的第三十一卷，专注于深入探讨多复变函数论这一数学分支的核心内容。多复变函数论是复分析在多个复变量情形下的自然推广，它不仅继承了单复变函数论的深刻理论，更引入了诸多全新的、极富挑战性的概念和方法。本书旨在为数学专业高年级本科生、研究生以及相关领域的科研人员提供一个系统、严谨且深入的教材和参考资料。 全书结构清晰，从基础概念出发，逐步深入到高级理论，力求在严谨性与可读性之间取得平衡。我们力求展示多复变函数的独特魅力，以及它在代数几何、微分几何、数学物理等领域的广泛应用。 --- 第一部分：基础与全纯函数（Holomorphic Functions） 本部分奠定多复变函数论的分析基础，重点关注多维空间中全纯函数（或称解析函数）的性质。 第一章：多复变函数的基本概念 本章首先回顾单复变函数论中的核心概念，如复空间 $mathbb{C}^n$ 的拓扑结构，开集、紧集、有界区域等。随后，引入多变量函数的复可微性（Fréchet 可微性与全纯性）。关键在于阐明在 $mathbb{C}^n$ 中，全纯性等价于在每个变量上分别全纯，并导出 Cauchy-Riemann 方程组在 $mathbb{C}^n$ 上的形式。我们详细讨论了这种等价性在更高维度上的微妙之处，并引入了多重指数表示法。 第二章：幂级数与区域收敛性 多复变函数论的核心工具之一是多重幂级数。本章系统分析了 $mathbb{C}^n$ 上多重幂级数的收敛域——即“多圆柱体”。我们推导了收敛半径的确定方法，并讨论了收敛域的边界行为。随后，通过构造性的证明展示了多重幂级数在收敛域内部的局部性质，包括它们的无穷次复可微性，并导出了推广的 Cauchy 积分公式。 第三章：多重积分与 Cauchy 公式推广 Cauchy 积分公式是单复变理论的基石，本章将其推广至 $mathbb{C}^n$。我们首先需要定义和研究积分的路径——即 $k$ 维的复链（Chains）和边界（Boundaries）。在引入“环绕数”的概念后，我们详细阐述了多重 Cauchy 积分公式，该公式将全纯函数在区域内的值与其在边界上的值联系起来。本章还讨论了 Taylor 展开与 Laurent 展开在多变量情形下的适用性与局限性。 第四章：全纯函数的局部性质与恒等性原理 本章深入探讨全纯函数在局部上的行为。我们证明了多变量情形下的恒等性原理（Identity Theorem），即如果两个全纯函数在一个区域内无限接近，则它们在整个连通域上相等。此外，我们还详细分析了孤立奇点（Essential, Pole, Removable Singularities）的分类，并阐述了 Riemann 映射定理在 $mathbb{C}^n$ 上的推广（如范畴映射定理，尽管对于 $n>1$ 的情况远比 $n=1$ 复杂）。 --- 第二部分：微分形式与柯西-黎曼方程组的系统解法 本部分引入微分几何和代数工具，特别是微分形式和外导数，为解决更复杂的问题奠定基础。 第五章：微分形式与外导数 本章回顾和发展了微分几何中的基础概念，特别是 $p$ 阶微分形式 $omega$ 在 $mathbb{C}^n$ 上的定义。我们引入了外积（Wedge Product）和外导数 $d$ 的概念。关键在于定义复值微分形式，并将其分解为实部和虚部，从而自然地引出柯西-黎曼方程组的微分形式表达。我们详细研究了 $d^2=0$ 的性质，以及可积性条件（即闭合性）与全纯性的内在联系。 第六章：Hodge 分解与 $ar{partial}$ 算子 本章是多复变分析方法论的核心。我们定义了 $ar{partial}$ 算子（或称 $partial_b$ 算子），它是全纯性条件在微分形式上的体现。$ar{partial}$ 算子的基本性质，如 $ar{partial}^2 = 0$，被详细讨论。随后，我们介绍了 $L^2$ 理论的基础，特别是在光滑有界域上的 H-M-V (Hopf-Mori-Viterbi) 理论的早期思想。本章的重点是 $ar{partial}$ 方程组的解的存在性，这通常依赖于对特定算子（如 $ar{partial}$ 算子的格林函数或积分核）的分析。 --- 第三部分：多圆柱体上的函数与施泰因域 多复变函数论的复杂性在很大程度上源于 $mathbb{C}^n$ 上的区域结构，特别是“多圆柱体”的特殊地位。 第七章：多圆柱体上的全纯函数 多圆柱体 $P = D_1 imes D_2 imes cdots imes D_n$ 是 $mathbb{C}^n$ 中最容易处理的区域。本章研究了在多圆柱体上全纯的函数。我们证明了多圆柱体上的全纯函数可以被完美地分解为其分量函数的组合（即乘积原理）。本章还侧重于探讨多圆柱体上的局部极大模原理及其严格证明。 第八章：有界域上的泛函分析方法 当区域不再是多圆柱体时，分析难度激增。我们引入了著名的 H. Cartan 定理 A 和 定理 B 的背景知识（尽管本书不会涉及更深入的同调论），主要关注其在经典应用中的体现。我们探讨了单位球和多圆盘上的全纯函数，重点关注 $ar{partial}$ 方程组在这些区域上的可解性。 第九章：多复变中的凸性概念 本章引入并区分了几种重要的几何概念：复凸性 (Complex Convexity)、伪凸性 (Pseudoconvexity) 和 全纯凸性 (Holomorphically Convex)。我们重点分析了伪凸性在全纯函数理论中的重要性，并介绍了 施泰因域 (Stein Domains) 的概念——即那些 $ar{partial}$ 方程组局部可解的区域。这为理解何时 $ar{partial}$ 方程组存在解提供了几何基础。 --- 第四部分：解析结构与举例 本部分将理论应用于具体的函数类和几何对象，展示多复变函数论的广阔前景。 第十章：幂级数与范畴映射（Möbius Transformations） 本章重新审视了 $mathbb{C}^n$ 上的全局解析函数（即全纯函数的整体延拓）。我们研究了有理函数的结构，并分析了在 $mathbb{C}^n$ 上的分式线性变换（或称 Möbius 变换）的群结构，特别是在伯哥曼空间上的作用。 第十一章：从代数到分析的桥梁：希尔伯特空间方法 本章是连接经典分析与现代泛函分析的关键。我们引入了 Bergman 核函数（Bergman Kernel）的构造，它是描述特定区域上全纯函数空间的重要工具。我们讨论了 Bergman 空间 $H(Omega)$ 的完备性，以及如何利用 $L^2$ 理论来构造和分析这些重要的积分核，特别是其在研究边界正则性时的应用。 --- 全书的论证方法力求保持经典数学教材的严谨性，同时注重引入现代分析的视角。通过大量的例题和习题，读者可以逐步掌握多复变函数论的核心技巧和深层结构。本书旨在使读者不仅理解“是什么”，更能领悟“为什么”——即这些理论结构在多维复空间中的必然性。

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拿到《现代数学基础31：多复变函数论》这本书，我立刻被它的专业性所震撼。我一直认为，数学的魅力在于其严谨的逻辑和普适的语言，而多复变函数论无疑是数学中最精妙的领域之一。我希望这本书能够系统地梳理出多复变函数论的经典理论框架。从最基础的Holomorphic函数定义、Cauchy-Riemann方程组在高维空间的表现，到更复杂的领域，如多复变下的积分公式、级数展开、以及解析延拓的理论。 我特别关注书中如何处理多复变函数论中特有的“奇点”问题。单复变函数论中，奇点（极点、本质奇点）的研究已经相当深入，而在多复变的情形下，奇点的结构和分类会变得更加复杂。书中是否会介绍如“Removable Singularity Theorem”在高维的情形，或者关于“Essential Singularity”的讨论？我期待这本书能够提供清晰的概念解释和严谨的证明，帮助我理解这些深奥的理论。此外，我也希望书中能够触及一些与代数几何和微分几何相关的概念，因为多复变函数论在这些领域有着广泛的应用，例如对复空间的几何性质的刻画。

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作为一名对数学理论抱有深厚兴趣的爱好者，我常常在寻找能够拓展我数学视野的书籍。《现代数学基础31：多复变函数论》这个书名本身就充满了吸引力。我希望这本书能够不仅仅是简单罗列公式和定理，而是能够深入挖掘多复变函数论背后蕴含的深刻数学思想。比如，它如何看待多复变量下的解析性？这与单变量的情形有何根本性的区别？书中是否会强调“多重性”带来的几何直观，例如在C^n这个空间中，区域的形状和性质会如何影响函数的行为？ 我特别关注书中是否会介绍一些在现代数学研究中扮演重要角色的工具和概念。例如，多复变函数论与微分几何之间的紧密联系，比如复微分流形、Kahler流形等概念的引入，以及它们如何影响全纯函数的性质。另外，我一直对一些“现代”的理论工具很感兴趣，比如代数几何中的一些方法是如何被引入到多复变函数论的研究中的。这本书是否会涉及这些前沿的交叉领域，例如通过代数几何的语言来描述复解析空间的性质？我期待着它能在我现有的数学知识基础上，为我打开一扇新的大门，让我窥探到更广阔的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

这部《现代数学基础31：多复变函数论》给我的第一印象是它似乎是一本非常“硬核”的数学专著。标题中的“基础”二字，或许意味着它会深入浅出地介绍这个领域的基石，但“多复变函数论”本身就不是一个容易入门的领域。我关注的重点在于其内容是否能够系统地梳理出多复变函数论的发展脉络，从最基本的定义和定理开始，逐步构建起复杂的理论体系。例如，对于多复变函数论的“多”的本质，即复变量个数增加带来的数学结构的变化，书中是如何揭示的？我希望它能详细介绍诸如函数族、多重积分、以及复向量空间等概念。 同时，我特别在意书中对一些重要定理的证明是否足够详尽和易于理解。在学习数学的过程中，证明是理解概念精髓的关键。《多复变函数论》中的许多证明可能涉及到复杂的分析技巧和拓扑概念，如果书中能够提供清晰的证明思路，或者分解成若干小步，并解释每一步的逻辑依据，那么对于读者来说将是巨大的帮助。我还在思考，书中是否会涉及到一些经典的多复变函数论教材中才会出现的“大定理”，例如Dolbeault定理、Kodaira嵌入定理等，这些定理不仅是多复变函数论的里程碑，也是连接代数几何和复几何的重要桥梁。我非常期待书中能够以一种循序渐进的方式，将这些深奥的理论呈现在我们面前。

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刚拿到这本《现代数学基础31：多复变函数论》，还没来得及深入研读，但粗略翻阅后，我被其严谨的数学语言和清晰的逻辑结构所吸引。作为一名对数学理论充满好奇的学生，我尤其关注那些能够构建起知识体系核心的著作。《多复变函数论》这个方向，本身就蕴含着极其丰富的数学思想，它将单复变函数论的优雅推广到更高的维度，触及了微分几何、代数几何等多个前沿领域。我期待着书中能够系统地阐述多复变函数论的核心概念，比如Holomorphic函数、Cauchy积分公式的推广、Riemann球面在高维情形下的表现，以及各种重要的算子（如Laplace算子、d-bar算子）在多复变空间中的性质。 我非常关心它如何处理多复变函数论中特有的难点，例如多变量下的解析延拓问题，以及由多重连通域带来的复杂性。对于初学者而言，理解诸如Stein流形、Hartogs域等概念的几何直观是非常重要的，希望书中能通过恰当的图示或形象的语言来辅助理解。此外，多复变函数论在偏微分方程、代数几何、甚至理论物理（如弦理论）中都有着举足轻重的应用，我希望书中能够至少在某个章节点明这些联系，哪怕只是简要的提及，都能极大地激发读者的学习兴趣和对该领域价值的认识。我特别期待书中在介绍完基础理论后，能提供一些更具挑战性的习题，能够引导我独立思考，巩固所学知识，并尝试解决一些实际问题。

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《现代数学基础31：多复变函数论》这本书的书名就足够吸引我了。我一直对数学的抽象性和普遍性着迷，而多复变函数论正是这种抽象性与普遍性的绝佳体现。在我看来，一本优秀的数学著作，不仅要能够传递知识，更要能够激发读者的思考和探索欲。我非常希望这本书能够深入探讨多复变函数论的核心概念，比如在C^n空间中，Holomorphic函数的性质是如何发生的根本性改变的。 我特别关注书中是否会介绍诸如Bochner-Martinelli公式、Leray的同调积分等在多复变函数论中至关重要的积分公式。这些公式不仅是理论研究的利器，也是理解多复变函数性质的关键。书中对这些公式的推导过程是否清晰明了？它是否能帮助我理解这些公式的几何意义和分析含义？此外，我也很想知道，书中是否会涉及一些关于复空间（如Stein空间、Pseudoconvex空间）的讨论，以及这些空间在多复变函数论研究中的重要性。我期待这本书能够为我打开一个全新的数学视野，让我能够更深入地理解数学世界的奥秘。

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这本书想买很久了，但是找了好几个书店和网站，只有京东有。包装一般，但是磕得也不厉害，还不错。

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好书，快递给力，值得收藏

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多复变经典教材，值得学习

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近几年，大数据不可谓不火，尤其是2017年，发展大数据产业被写入政府工作报告中，大数据开始不只是出现在企业的战略中，也开始出现在政府的规划之内，可以说是互联网世界的宠儿。

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多复变经典教材，值得学习

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据《大数据人才报告》显示，目前全国的大数据人才仅46万，未来3-5年内大数据人才的缺口将高达150万，可又有多少人知道大数据的价值呢？

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很不错的书，内容很详细，还会继续关注的！

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好好好好好好好好好好好好

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很不错的学习几何和拓扑的书籍，很满意。